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空间点、直线、平面之间的位置关系 一、知识要点： 1.平面的基本性质： 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 公理2：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 2.空间中直线与直线之间的位置关系： 空间两条直线的位置关系有且只有三种： 如图：AB与BC相交于B点，AB与A′B′平行，AB与B′C′异面。
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 3.空间中直线与平面之间的位置关系： （1）直线在平面内……有无数个公共点； （2）直线与平面相交……有且只有一个公共点； （3）直线与平面平行……没有公共点。 其中直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。 注意，我们不提倡如下画法． 4.平面与平面之间的位置关系： （1）两个平面平行……没有公共点； （2）两个平面相交……有一条公共直线。
二、例题讲解： 例1、根据图形，写出图形中点、直线和平面之间的关系． 图1可以用几何符号表示为：___________________________________________． 图2可以用几何符号表示为：___________________________________________． 分析：本题关键是找出图中基本元素点、直线、平面，然后再仔细分析点与直线、点与平面、直线与平面的位置关系，最后用文字语言和符号语言写出． 解：图1可以用几何符号表示为： 即：平面与平面相交于直线AB，直线a在平面内，直线b在平面内，直线a平行于直线AB，直线b平行于直线AB． 图2可以用几何符号表示为：，△ABC的三个顶点满足条件 即：平面与平面相交于直线MN，△ABC的顶点A在直线MN上，点B在内但不在直线MN上，点C在平面内但不在直线MN上． 例2、观察下面的三个图形，说出它们有何异同．
分析：图1既可能是平面图形，也可能是一个空间图形的直观图；图2、图3均用了一条直线衬托，它们都是空间图形的直观图． 解：图1可能是平面图形，也可能是空间图形的直观图；图2是MN凸在外面的一个空间图形的直观图；图3是MN凹在里面的一个空间图形的直观图． 点评：（1）本题隐含了三个平面两两相交的直观图画法及平面的画法、立体几何图的画法．而这些画法的掌握程度将影响对空间结构的认识、对空间图形的分析和对立体几何的学习． （2）与本题类似的其它变形还有： 用虚线画出图4正方体和图5三棱锥中被遮挡的棱，完成图形． 例3、正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）DD1和A1B1的位置关系如何？ D1B和AC的位置关系如何？ A1C和D1B的位置关系如何？ （2）和AD成异面直线的棱所在直线有几条？ （3）和BD1成异面直线的棱所在直线有几条？ （4）六个面的正方形对角线共12条，这些对角线所在直线中，异面直线共有多少对？
解析：我们知道空间两条直线的位置关系有且只有三种，判断的依据是看两条直线是共面还是异面及是否有公共点。 （1）异面直线；异面直线；相交直线； （2）4条．分别是A1B1、B1B、C1D1、C1C； （3）6条．分别是AA1、CC1、A1B1、B1C1、AD、CD； （4）30对。 例4、已知：如图，立体图形A—BCD的四个面分别是△ABC、△ACD、△ABD和△BCD ，E、F、G分别为线段AB、AC、AD上的点，EF∥BC，FG∥CD． 求证：△EFG∽△BCD． 证明：∵在平面ABC中，EF∥BC，∴＝． 又在平面ACD中，FG∥CD，∴=． ∴=． ∴EG∥BD． ∴∠EFG=∠BCD． 同理∠FGE=∠CDB， ∴△EFG∽△BCD．
与本例类似变形还有： 已知：将一张长方形的纸片ABCD对折一次，EF为折痕再打开竖直在桌面上，如图所示，连结AD、BC． 求证：ADBC，∠ADE＝∠BCF．（证明略） 三、练习： 1．下列图形中，满足的图形是（ ）． （A） （B） （C） （D） 2．已知A、B表示点，b表示直线，、表示平面，下列命题和表示方法都正确的是（ ）． （A） （B） （C） （D） 3．用符号表示“若A、B是平面内的两点，C是直线AB上的点，则C必在内”，即是________________．
4．“a，b为异面直线”是指： （1）且a不平行于b； （2）且； （3）且； （4）； （5）不存在平面，使且成立． 上述结论中，正确的是（ ）． （A）（1）（4）（5） （B）（1）（3）（4） （C）（2）（4） （D）（1）（5） 5．一条直线和两条异面直线的一条平行，则它和另一条的位置关系是（ ）． （A）平行或异面 （B）异面 （C）相交 （D）相交或异面 6．如图，空间四边形ABCD中，M、N分别是△ABC和△ACD的重心，若BD＝m，则MN＝__________． 7.如图，是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AF、BC、DE这三条线段所在直线是异面直线的是__________，它们所成的角为________度。
四、练习答案： 1.提示:根据平面的无限延展性及平面画法来判断． 答案:（C）． 2.提示：根据点与平面应用“”“”连接排除A；根据公理两个平面相交为一条直线，排除B；再跟据图形可排除D，因为A有可能在平面上． 答案：（C）． 3.提示:熟悉点与线，点与平面的关系，正确使用“”、“”等符号． 答案:. 4.提示：根据异面直线定义“不同在任何一个平面内，没有公共点的两条直线叫异面直线”，结合图形可排除（2）、（3）、（4）．（∵（2）中可能有a∥b，（3）中可能有a∥b，（4）可能有a与b相交或平行．）（5）是正确的，再由直线位置关系可得（1）也是正确的． 答案：（D）． 5.提示：由公理可排除（A），再结合图形可利用平移方法验证． 答案：（D）． 6.提示：重心是三条中线的交点，并分每条中线的比为2∶3．连结AM并延长交BC于E，连结AN并延长交CD于F，再连结MN、EF，根据三角形重心性质得BE＝EC，CF＝FD． ∴MNEF，EFBD． ∴MNBD ∴MN＝m． 答案：m．
7.解析：展开图还原成正方体如图所示（C点与D点重合），成异面直线的是AF与BC（或BD)，AF与BC所成角即为CE与BC所成角，为60度。
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