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空间平面的性质空间直线与直线之间的位置关系一、平面及其表示法（一）平面：平的，没有厚度的，在空间无限延伸的图形叫做平面.数学中的平面的概念是现实中平面形象抽象的结果.比如平静的湖面、桌面等.平面的表示方法：（1）用大写的英文字母表示：平面M，平面N等；（2）用小写的希腊字母表示：平面，平面等；（3）用平面上的三个（或三个以上）点的字母表示：（如图14-1）平面ABCD等.平面的直观图画法：正视图垂直放置的平面M水平放置的平面M注意：看得见的线用实线，看不见的线用虚线.（二）空间点、线、面的位置关系的集合语言表示法在空间，我们把点看作元素，直线和平面看作是由元素点所组成的集合，建立了如下点、线、面的集合语言表示法.1.点与线：2.点与平面：点A在直线L上：（直线L经过点A）；点A在平面内：（平面经过点A）；点Q不在直线L上：点B不在平面内：；19
3.直线与平面：直线L在平面上：直线L在平面外：直线L上所有的点都在平面上，当直线L与平面只有一个公共点A时，即直线L在平面上，或平面称直线L与平面相交于点A，经过直线L，记作.记作；直线与平面平行直线与直线相交：当直线L与平面没有公共点时，称直直线a与直线b相交于点A，记作.线L与平面平行，记作或.平面与平面：两平面重合：当平面上所有的点都在平面上时，称平面与平面重合；两平面相交：当不同的两个平面与有公共点时，将它们的公共点的集合记为L，称平面与平面相交于L，记作.两平面平行：当两个平面与没有公共点时，称平面与平面平行，记作或.19
（三）例题解析例1观察下面图形，说明它们的摆放位置不同．解：我们看到了这个几何体的前后两个面.[说明]培养学生的空间想象能力.例2（口答）正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面所在平面，分别记作，试用适当的符号填空.,,解：[说明]能够熟练运用集合符号来说明点、线、面间的位置关系.练习、根据下列符号表示的语句，说出有关点、线、面的关系，并画出图形.；；；.解：（1）点A在平面内，点B不在平面内；（2）直线L在平面上，直线m在平面外；（3）平面交平面与直线L；（4）点P在直线L上，不在平面上；点Q在直线L上，也在平面上.19
二、三个公理三个推论（一）公理1：如果直线上有两个点在平面上，那么直线在平面上.（直线在平面上）。用集合语言表述：（二）公理2：如果不同的两个平面、有一个公共点A，那么、的交集是过点A的直线.（平面与平面相交）。用集合语言表述：.（三）公理3:不在同一直线上的三点确定一个平面.（确定平面）这里“确定”的含义是“有且仅有”.用集合语言表述：A，B，C不共线=>A，B，C确定一个平面推论1：一条直线和直线外的一点确定一个平面.证明：设A是直线外的一点，在直线上任取两点B和C，由公理3可知A，B和C三点能确定平面.又因为点，所以由公理1可知B，C所在直线，即平面是由直线和点A确定的平面.用集合语言表述：推论2：两条相交的直线确定一个平面.用集合语言表述：推论3：两条平行的直线确定一个平面.用集合语言表述：19
（四）例题解析例1如图，正方体中，E，F分别是的中点，问：直线EF和BC是否相交？如果相交，交点在那个平面内？解：又，则直线EF和BC共面；设直线EF和BC相交于点p，则p在直线BC上，即点P在平面ABCD上.[说明]利用公理1确定直线在平面内.例2、若，求证：直线c必过点P.解：[结论]三个平面两两相交得到三条交线，若其中两条交于一点，另一条必过此公共点.例3(1)空间三个点能确定几个平面？(2)空间四个点能确定几个平面？解：(1)三点共线有无数多个平面；三点不共线可以确定一个平面.所以三点可以确定一个或无数个平面.(2)四点共线有无数个平面；有三点共线可确定一个平面；任意三点不共线能确定1个或3个平面.所以四点可以确定1个或3个或无数个平面.[说明]公理3的简单应用.练习、(1)空间三条直线相交于一点，可以确定几个平面？(2)空间四条直线相交于一点，可以确定几个平面？解：(1)三条直线相交于一点可以确定1个或3个平面；(2)四条直线相交于一点可以确定1个、4个或6个平面.[说明]推论2的简单应用.α例5如图，AB//CD，，求作BC与平面的交点.解：连接EF和BC，交点即为所求BC与平面的交点.（公理3和公理2）[说明]推论3的简单应用.（五）课内练习：1）若，则（A）A、B、C、D、2）判断①若直线a与平面有公共点，则称.（×）②两个平面可能只有一个公共点.（×）19
③四条边都相等的四边形是菱形.（×）④若A、B、C，A、B、C，则重合.（×）⑤若4点不共面，则它们任意三点都不共线.（√）⑥两两相交的三条直线必定共面.（×）3）下列命题正确的是（D）A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；B、四条线段顺次首尾连接所构成的图形一定是平面图形.C、三条互相平行的直线一定共面.D、梯形是平面图形.4）不在同一直线上的5点，最多能确定平面（C）A、8个B、9个C、10个D、12个5）两个平面可把空间分成3或4部分；三个平面可把空间分成4、6、7或8部分.解析：两个平面将空间分成3、或4部分。三个平面将空间分成4、6、7、8部分（图81-12）。图14.1-12（六）应用与证明1、共面问题例1已知直线两两相交，且三线不共点.求证：直线在同一平面上.证明：设【说明】证明共面问题的基本方法是归一法和同一法.归一法：先根据公理3或其推论确定一个平面，然后再利用公理1证明其它的点或直线在这个平面内.练习、19
例2、已知直线与三条平行直线a,b,c都相交，求证：与a、b、c共面.解题策略：同一法证明：如图设可确定一个平面【说明】同一法：可先由已知条件分别确定平面，然后再证它们是重合的2、三点共线图（例3）【说明】要证明空间三点共线的方法：将线看做两平面的交线，只需证明这三点都是两个平面的公共点，则公共点必定在两平面的交线上，因此三点共线.ABCRPQ练习、已知在平面外，.求证：P、Q、R三点共线.证：19
ABCDEFGHQ3、三线共点【说明】先确定2条直线的交点，再证另一直线也过该交点练习、已知空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是边BC、DC的三等分点（如下图），求证：直线EF和HG必交于一点，且交点在AC上.证明：连结GE、HF，∵E、G分别为BC、AB的中点，∴GE∥AC.又∵DF∶FC=2∶3，DH∶HA=2∶3，∴HF∥AC.∴GE∥HF.故G、E、F、H四点共面.又∵EF与GH不能平行，∴EF与GH相交，设交点为O.则O∈面ABC，O∈面ACD，而平面ABC∩平面ACD=AC.∴EF、GH、BD交于一点.评述：证明线共点，常采用证两直线的交点在第三条直线上的方法，而第三条直线又往往是两平面的交线.三、截面的画法例1已知：，画出过A、B、C三点的平面的交线CABlD解：分析：19
练习1：(1)画出过画出过A、B、C三点的平面的交线;(2)画出过画出过A、B、C三点的平面M与的交线.ABCBC练习2、下列表示相交平面的图14.1—13中，哪几个是对的，哪几个是错的?错的应如何改正?图14.1-13说明：本题旨在让学生懂得应从同一视角去观察哪些部分已被一个或一个以上的平面所遮住，从而学习正确识别空间图形，掌握相交平面的正确画法．ABCDPQRO例2如图，P、Q、R分别是空间四边形ABCD的边AB、AD、BC上的点，且PQ与BD不平行，画出平面PQR与平面BCD的交线.19
练习、在长方体中，画出:(1)平面的交线;(2)平面的交线。ABCDEC1FABCDO分析：1）OD即为平面的交线2）EF即为平面的交线例3、在正方体ABCD—A’B’C’D’中的棱A’B’，BB’，D’C’分别有三点.1）M、P、N过三点作截面，确定其与各平面的交线;2）正方体中，画出过其中三条棱的重点P、Q、R的平面截正方体的截面.19
练习、已知M、N、P分别为C’D，AD，CC’的中点.(1)画出过MNP三点的正方体的截面;(2)计算截面的周长.G解析：1）截面为MGNFE即为所求2）,，（二）小结作图主要是利用是公理2，①确定两个平面的交线，即先找两个平面的两个公共点，再作连线.②判定两个平面相交，即两平面只要有一个公共点即可.③判定点在直线上，即点是某两平面的公共点，线是这两平面的公共直线，则这个点在这条直线上.练习1、画出过已知三点M、N、P的截面.19
2、如图所示过，正方体,E,F为AD、AB上的中点.（1）求作正方体的对角线与截面的交点;（2）能分析这个截面的有关性质、结论吗？四、水平放置的平面图的直观图的画法-----斜二侧画法要画空间图形直观图，首先要学会画水平放置的平面图的直观图的画法，下举例说明一种常用画法：例1、水平放置的正六边形的直观图(如图81—20)．图81-20图14.1-21图81-22画法：(1)在已知正六边形ABCDEF中，取对角线AD所在的直线为轴，取对称轴GH为轴，画对应的轴，轴，使(如图81—21)．(2)以点为中点，在轴上取，在轴上取以点H为中点画平行于轴，并等于FE；再以G/为中点画B'C平行于，轴，并等于BC，(3)联结所得的六边形就是正六边形ABCDEF的直观图。（图图81-22，要擦去辅助线．)上面画直观图的方法叫做斜二测画法，这种画法的规则是：(1)在已知图形中取互相垂直的轴Ox，Oy．画直观图时，把它画成对应的轴O'x/，O/y/，使(或者135*)．它们确定的平面表示水平平面。(2)已知图形中平行于轴或)轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段．(3)已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于轴的线段，长度变为原来的一半。例2、水平放置的正五边形的直观图(如图81—23)．图14.1-23图14.1-24图14.1-25解：(1)在已知正五边形ABCDE中，取对角线BE所在的直线为轴，取对称轴AF为轴．分别过点c，D作CG//Oy，DH//oy，与轴分别交于G，H，画对应的轴、轴，使之如图81—24)．（2）以点O/为中点，在轴上截取G/H/=GH．在轴的同一侧画线段C/G///，O/y/，D/H///O/y/，并使19
，在轴的另一侧的y/轴上取一点A/，使，以O/为中点，在上取。（3）连接即得五边形。就是正五边形ABCDE的直观图。五、空间中两条直线的平行(1)公理4:平行于同一直线的两条直线相互平行..公理分析：要证明空间两条直线平行，要找到中间桥梁.(2)等角定理平面等角定理：如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组相交直线所成角相等或互补.空间等角定理：如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组相交直线所成的锐角（或直角）相等.注意表述上区别：平面几何合立体几何中某些理论上的不一致应引起学生掌握理论时的重视.（3）例题分析例1：在长方体中，E、F分别为，AD的中点，求证：证明：取BC中点G，连结，，，[例题解析]：学会在空间中借助平行四边形，寻找起到桥梁作用的直线.A例2、在长方体中，求证：.证明：,,是锐角，.[说明]：掌握在空间中利用直线的平行来证明角相等.（四）、问题拓展例3、已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD各边中点.（1）判断四边形EFGH形状；（答：平行四边形.通过公理4）（2）若空间四边形中对角线AC=BD，判断四边形EFGH形状；（答：菱形.平行四边形对角线相互垂直）（3）四边形EFGH什么情况下为矩形？（答：对角线相互垂直，即）（4）结合（2）、（3），可得正方形EFGH（5）第（2）、（3）、（4）题的逆命题是否成立？该如何求证？如（2）若四边形EFGH中，，则AC=BD（6）若E、H分别为AB、AD中点，F、G为CB、CD三等分点，且，判断四边形EFGH19
形状.（梯形EFGH）证明：E、H分别为AB、AD中点梯形EFGH[说明]这是空间两条直线平行——公理4的典型应用，加以推测、证明的重要应用.2、对于平面图形的结论:有些可推广到立几图形并有完全相同的结论;有些在立几图形中有相似的结论,但不完全相同;有些在立几中则有完全不同的结论.课后作业：1．在正方体中,点E、F分别是中点，判断四边形的形状并加以证明.答案：平行四边形但不是矩形。2.在正方体中，点E、F分别在AB、AD上，点G，H分别在上，且满足，联结，求证：3.空间四边形ABCD的各边中点依次为E、F、G、H，连结EG、FH.（1）求证：EG与HF互相平分；（2）若BD=2，AC=4，求的值.答案：=10。5.如图,A是ΔBCD所在平面外一点,M,N分别是ΔABC和ΔACD的重心,若BD=6,求MN的长.答案：MN=2六、异面直线（1）异面直线：把不能置于同一平面的两条直线，称为异面直线.说明：与平行直线、相交直线的区别：相交直线：在同一平面内，有且只有一个交点.平行直线：在同一平面内，没有公共点.异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.（2）异面直线的画法：19
说明：注意分别在两个平面内的直线二条直线，不一定是异面直线.βaαbbβaα(3)异面直线的判定：不平行、不相交的两条直线.(4)证明异面直线反证法：假设否定的结论，从假设出发，引出矛盾——与条件矛盾，或者与已知的公理、定理矛盾.例题：l上有且只有一点，求证：.证明：假设l上所有的点都属于，与已知：l上有且只有一点矛盾.通过例题学习如何证明异面直线.七、异面直线所成角1、异面直线a与b所成的角：在空间内任取一点P，过P分别作a和b的平行线,则所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角.问题1:理论依据—等角定理.问题2：为什么规定异面直线所成角只是锐角或直角？答：因为两条相交直线交出四个角，只要知道其中一个，就可以知道其它所有的角，因此我们只研究其中较简单的锐角或直角.2、异面直线所成角范围例题分析例1两条异面直线指的是（D）（A）空间不相交的两条直线；（B）分别位于两个不同平面上的两条直线；（C）某平面上的一条直线和这个平面外的一条直线；（D）不能同在一个平面上的直线。例2．判断下列命题的真伪：①直线与平面内一条直线平行，则∥.（×）（平面外一条直线）②直线与平面内一条直线相交，则与平面相交.（×）（平面外一条直线）③若直线与平面平行，则内必存在无数条直线与平行.（√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之）④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面.（×）（可能在此平面内）⑤平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面）⑥直线与平面、所成角相等，则∥.（×）（、可能相交）练习1、若a、b是两条异面直线，且分别在平面内，若，则直线l必定（B）A．分别与a、b相交；B.至少与a、b之一相交；C.与a、b都不相交；D.至多与a、b之一相交.练习2．如果a,b是异面直线，b,c分别与a,b都相交，则b,c的位置关系是（D）.19
A．异面；B.相交或平行；C.异面或平行；D.不平行.例3、直线l与平面相交于点A，直线m在平面上，且不经过点A，求证：直线l与m是异面直线.证明：书第10页[例题解析]学习用反证法证明异面直线.例4、（1）正方体中，哪些棱所在直线与直线成异面直线？答：共有6条棱.（2）如图所示，空间四边形ABCD中，H、F是AD边上的点，G、E是BC边上的点.那么与AB成异面直线的直线有哪几条？那么与CD成异面直线的直线有哪几条？那么与EF成异面直线的直线有哪几条？解析：与AB成异面直线的线段有：HG、EF、CD；与CD成异面直线的线段有：AB、HG、EF；与EF成异面直线的线段有：HG、AB、EF、CD。3.问题拓展(1)空间内两直线所成角范围：.当空间两直线所成角为直角时，；当空间两直线所成角为零角时，若，则；若，则(2)异面垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,则这两条异面直线互相垂直.记法:异面直线a,b互相垂直,记为a⊥b;分类:(3)异面直线所成角例题例5、在长方体中，AB=5，BC=4，=3.（1）所成角大小.（2）所成角大小；（3）所成角大小.解：（1），为异面直线所成角，在中，，，异面直线所成角大小为.（2），为异面直线所成角，在中，，,，异面直线所成角大小为（3），设相交于O，为异面直线所成角（或其补角）19
在中，,利用余弦定理，异面直线所成角大小为例6、在空间四边形ABCD中，AB=CD=6，M、N分别是对角线AC、BD的中点且MN=5，求异面直线AB、CD所成角大小.解：取AD中点，在中，在中，，为异面直线AB、CD所成角（或其补角）在中，，利用余弦定理，，异面直线所成角大小为[说明]在空间四边形中，求解异面直线所成角是一种典型问题.ECPBA例7．如图，三棱锥P-ABC三条棱PC、AC、BC两两垂直，E为线段AB的中点，，，当t变化时，求异面直线PB与CE所成角的取值范围.解析：作AP中点D，连DE、CD，,，，，，ECPBA练习．如图，三棱锥P-ABC三条棱PC、PA、PB两两垂直，E为线段AB的中点，，，当t变化时，求异面直线PB与CE所成角的取值范围.解析：作AP中点D，连DE、CD，,，，，，，4、课后作业1．如果a,b是异面直线，b,c也是异面直线，则a,c的位置关系是（D）.A．异面；B.相交或平行；C.异面或平行；D.相交，平行，异面都有可能.2．若直线a,b都垂直于直线c，则a,b的位置关系是（D）A．平行；B.相交或平行；C.异面或平行；D.相交，平行，异面都有可能.19
3．长方体中，AB=2AD=3.求异面直线所成角大小.4．长方体中，AB=4，AD=3，，求异面直线所成角大小.5．在四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点.AB=CD=2，，求AB与CD所成角的大小.ECPBA6．如图，三棱锥P-ABC三条棱PC、PA、PB两两垂直，E为线段AB的中点，，，当t变化时，求异面直线PB与CE所成角的取值范围.解析：作AP中点D，连DE、CD，,，，，，，ECPBA6．如图，三棱锥P-ABC三条棱PC、AC、BC两两垂直，E为线段AB的中点，，，当t变化时，求异面直线PB与CE所成角的取值范围.19
解析：作AP中点D，连DE、CD，,，，，，19
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