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2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系A级 基础巩固一、选择题1．已知空间两个角α，β，α与β的两边对应平行，且α＝60°，则β＝( )A．60° B．120°C．30°D．60°或120°解析：由等角定理，知β与α相等或互补，故β＝60°或120°.答案：D2．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是( )A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1C．OB与O1B1不平行D．OB与O1B1不一定平行解析：由于∠AOB与∠A1O1B1是空间角，不一定在同一平面上，如图①.图①此时OB与O1B1不平行．若这两个角在同一平面上时，如图②，OB∥O1B1且方向相同；如图③，OB与O1B1不平行．图② 图③综上所述，OB与O1B1不一定平行，故选D.答案：D3.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为( )
A．30°B．45°C．60°D．90°解析：连接BD，B1D1，D1C知△D1B1C是等边三角形，所以D1B1与B1C所成角为60°，故B1C与EF所成角也是60°答案：C4．空间四边形ABCD中，AB，BC，CD的中点分别是P，Q，R，且PQ＝2，QR＝，PR＝3，那么异面直线AC和BD所成的角是( )．A．90° B．60° C．45° D．30°解析：∠PQR(或其补角)为所求，由勾股定理的逆定理可知∠PQR＝90°.答案：A5．三棱锥的对角线互相垂直相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是( )A．梯形B．矩形C．平行四边形D．正方形解析：如图所示，因为BD⊥AC，且BD＝AC，又因为E，F，G，H分别为对应边的中点，所以FG綊EH綊BD，HG綊EF綊AC.所以FG⊥HG，且FG＝HG.所以四边形EFGH为正方形．答案：D二、填空题6．在四棱锥PABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对．解析：以底边所在直线为准进行考查，因为四边形ABCD是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有4×2＝8对异面直线．答案：87．如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．
解析：如题干图①中，GH∥MN，因此，GH与MN共面．图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面．图③中，连接MG，GM∥HN，因此，GH与MN共面．图④中，G，M，N三点共面，但H∉平面GMN，所以GH与MN异面．所以图②，④中GH与MN异面．答案：②④8．已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为________．解析：在正方体ABCDA1B1C1D1中，AD∥BC，所以AE与AD所成的角即为AE与BC所成的角，即是∠EAD.连接DE，在Rt△ADE中，设AD＝a，则DE＝a，AE＝＝a，故cos∠EAD＝.所以异面直线AE与BC所成角的余弦值为.答案：三、解答题9．如图，已知长方体的长和宽都是4cm，高是4cm.(1)求BC和A′C′所成的角的度数．(2)求AA′和BC′所成的角的度数．解：(1)在长方体中，BC∥B′C′，所以∠A′C′B′为BC与A′C′所成的角．因为A′B′＝B′C′＝4cm，∠A′B′C′＝90°，所以∠A′C′B′＝45°，所以BC和A′C′所成的角为45°.
(2)在长方体中，AA′∥BB′，所以∠C′BB′为AA′与BC′所成的角．因为BB′＝4cm，B′C′＝4cm，所以∠C′BB′＝60°，所以AA′和BC′所成的角为60°.10.如图，已知棱长为a的正方体中，M，N分别是棱CD，AD的中点．(1)求证：四边形MNA1C1是梯形；(2)求证：∠DNM＝∠D1A1C1.证明：如图，连接AC.因为在△ACD中，M，N分别是CD，AD的中点，所以MN是三角形的中位线，所以MN∥AC，MN＝AC.由正方体的性质得AC∥A1C1，AC＝A1C1，所以MN∥A1C1，且MN＝A1C1，即MN≠A1C1，所以四边形MNA1C1是梯形．(2)由(1)可知MN∥A1C1，又ND∥A1D1，所以∠DNM与∠D1A1C1相等或互补，而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角．所以∠DNM＝∠D1A1C1.[B级 能力提升]1．如图所示，在等边三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点，将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，HG与IJ所成角的度数为( )A．90°B．60°
C．45°D．0°解析：将三角形折成空间几何体，如图所示，HG与IJ是一对异面直线．由已知得IJ∥AD，HG∥DF，所以DF与AD所成的角为HG与IJ所成的角，又∠ADF＝60°，所以HG与IJ所成的角的度数为60°.答案：B2.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上结论中正确的序号为________．解析：把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．答案：①③3.若空间四边形ABCD的各个棱长都相等，E为BC的中点，求异面直线AE与CD所成的角的余弦值．解：取BD的中点F，连接EF，AF，又E为BC的中点，
所以EF綊CD，所以∠AEF或其补角为异面直线AE与CD所成的角，设空间四边形的棱长为a，则AE＝AF＝a，EF＝，所以cos∠AEF＝＝＝.
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