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第一部分教材知识梳理·系统复习第一单元数与式第1讲实数知识点一:实数的概念及分类关键点拨及对应举例1.实数(1)按定义分(2)按正、负性分正有理数有理数0有限小数或正实数负有理数无限循环小数实数0实数正无理数负实数无理数无限不循环小数负无理数(1)0既不属于正数,也不属于负数.(2)无理数的几种常见形式判断:①含π的式子;②构造型:如3.010010001…(每两个1之间多个0)就是一个无限不循环小数;③开方开不尽的数:如,;④三角函数型:如sin60°,tan25°.(3)失分点警示:开得尽方的含根号的数属于有理数,如=2,=-3,它们都属于有理数.知识点二:实数的相关概念2.数轴(1)三要素:原点、正方向、单位长度(2)特征:实数与数轴上的点一一对应;数轴右边的点表示的数总比左边的点表示的数大例:数轴上-2.5表示的点到原点的距离是2.5.3.相反数(1)概念:只有符号不同的两个数(2)代数意义:a、b互为相反数óa+b=0(3)几何意义:数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等a的相反数为-a,特别的0的绝对值是0.例:3的相反数是-3,-1的相反数是1.4.绝对值(1)几何意义:数轴上表示的点到原点的距离(2)运算性质:|a|=a(a≥0);|a-b|=a-b(a≥b)-a(a<0).b-a(a<b)(3)非负性:|a|≥0,若|a|+b2=0,则a=b=0.(1)若|x|=a(a≥0),则x=±a.(2)对绝对值等于它本身的数是非负数.例:5的绝对值是5;|-2|=2;绝对值等于3的是±3;|1-|=-1.5.倒数(1)概念:乘积为1的两个数互为倒数.a的倒数为1/a(a≠0)(2)代数意义:ab=1óa,b互为倒数例:-2的倒数是-1/2;倒数等于它本身的数有±1.知识点三:科学记数法、近似数6.科学记数法(1)形式:a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数(2)确定n的方法:对于数位较多的大数,n等于原数的整数为减去1;对于小数,写成a×10-n,1≤|a|<10,n等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个数(含小数点前面的一个)例:21000用科学记数法表示为2.1×104;19万用科学记数法表示为1.9×105;0.0007用科学记数法表示为7×10-4.7.近似数(1)定义:一个与实际数值很接近的数.(2)精确度:由四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位.例:3.14159精确到百分位是3.14;精确到0.001是3.142.知识点四:实数的大小比较
8.实数的大小比较(1)数轴比较法:数轴上的两个数,右边的数总比左边的数大.(2)性质比较法:正数>0>负数;两个负数比较大小,绝对值大的反而小.(3)作差比较法:a-b>0óa>b;a-b=0óa=b;a-b<0óa<b.(4)平方法:a>b≥0óa2>b2.例:把1,-2,0,-2.3按从大到小的顺序排列结果为___1>0>-2>-2.3_.知识点五:实数的运算9.常见运算乘方几个相同因数的积;负数的偶(奇)次方为正(负)例:(1)计算:1-2-6=_-7__;(-2)2=___4__;3-1=_1/3_;π0=__1__;(2)64的平方根是_±8__,算术平方根是__8_,立方根是__4__.失分点警示:类似“的算术平方根”计算错误.例:相互对比填一填:16的算术平方根是4___,的算术平方根是___2__.零次幂a0=_1_(a≠0)负指数幂a-p=1/ap(a≠0,p为整数)平方根、算术平方根若x2=a(a≥0),则x=.其中是算术平方根.立方根若x3=a,则x=.10.混合运算先乘方、开方,再乘除,最后加减;同级运算,从左向右进行;如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号一次进行.计算时,可以结合运算律,使问题简单化
第2讲整式与因式分解一、知识清单梳理知识点一:代数式及相关概念关键点拨及对应举例1.代数式(1)代数式:用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子,单独的一个数或一个字母也是代数式.(2)求代数式的值:用具体数值代替代数式中的字母,计算得出的结果,叫做求代数式的值.求代数式的值常运用整体代入法计算.例:a-b=3,则3b-3a=-9.2.整式(单项式、多项式)(1)单项式:表示数字与字母积的代数式,单独的一个数或一个字母也叫单项式.其中的数字因数叫做单项式的系数,所有字母的指数和叫做单项式的次数.(2)多项式:几个单项式的和.多项式中的每一项叫做多项式的项,次数最高的项的次数叫做多项式的次数.(3)整式:单项式和多项式统称为整式.(4)同类项:所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.所有的常数项都是同类项.例:(1)下列式子:①-2a2;②3a-5b;③x/2;④2/x;⑤7a2;⑥7x2+8x3y;⑦2017.其中属于单项式的是①③⑤⑦;多项式是②⑥;同类项是①和⑤.(2)多项式7m5n-11mn2+1是六次三项式,常数项是__1.知识点二:整式的运算3.整式的加减运算(1)合并同类项法则:同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数不变.(2)去括号法则:若括号外是“+”,则括号里的各项都不变号;若括号外是“-”,则括号里的各项都变号.(3)整式的加减运算法则:先去括号,再合并同类项.失分警示:去括号时,如果括号外面是符号,一定要变号,且与括号内每一项相乘,不要有漏项.例:-2(3a-2b-1)=-6a+4b+2.4.幂运算法则(1)同底数幂的乘法:am·an=am+n;(2)幂的乘方:(am)n=amn;(3)积的乘方:(ab)n=an·bn;(4)同底数幂的除法:am÷an=am-n(a≠0).其中m,n都在整数(1)计算时,注意观察,善于运用它们的逆运算解决问题.例:已知2m+n=2,则3×2m×2n=6.(2)在解决幂的运算时,有时需要先化成同底数.例:2m·4m=23m.5.整式的乘除运算(1)单项式×单项式:①系数和同底数幂分别相乘;②只有一个字母的照抄.(2)单项式×多项式:m(a+b)=ma+mb.(3)多项式×多项式:(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.(4)单项式÷单项式:将系数、同底数幂分别相除.(5)多项式÷单项式:①多项式的每一项除以单项式;②商相加.失分警示:计算多项式乘以多项式时,注意不能漏乘,不能丢项,不能出现变号错.例:(2a-1)(b+2)=2ab+4a-b-2.(6)乘法公式平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2.注意乘法公式的逆向运用及其变形公式的运用完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2.变形公式:a2+b2=(a±b)2∓2ab,ab=【(a+b)2-(a2+b2)】/26.混合运算注意计算顺序,应先算乘除,后算加减;若为化简求值,一般步骤为:化简、代入替换、计算.例:(a-1)2-(a+3)(a-3)-10=_-2a__.知识点五:因式分解7.因式分解(1)定义:把一个多项式化成几个整式的积的形式.(2)常用方法:①提公因式法:ma+mb+mc=m(a+b+c).②公式法:a2-b2=(a+b)(a-b);a2±2ab+b2=(a±b)2.(3)一般步骤:①若有公因式,必先提公因式;②提公因式后,看是否能用公式法分解;③检查各因式能否继续分解.(1)因式分解要分解到最后结果不能再分解为止,相同因式写成幂的形式;(2)因式分解与整式的乘法互为逆运算.
第3讲分式一、知识清单梳理知识点一:分式的相关概念关键点拨及对应举例1.分式的概念(1)分式:形如(A,B是整式,且B中含有字母,B≠0)的式子.(2)最简分式:分子和分母没有公因式的分式.在判断某个式子是否为分式时,应注意:(1)判断化简之间的式子;(2)π是常数,不是字母.例:下列分式:①;②;③;④,其中是分式是②③④;最简分式③.2.分式的意义(1)无意义的条件:当B=0时,分式无意义;(2)有意义的条件:当B≠0时,分式有意义;(3)值为零的条件:当A=0,B≠0时,分式=0.失分点警示:在解决分式的值为0,求值的问题时,一定要注意所求得的值满足分母不为0.例:当的值为0时,则x=-1.3.基本性质(1)基本性质:(C≠0).(2)由基本性质可推理出变号法则为:;.由分式的基本性质可将分式进行化简:例:化简:=.知识点三:分式的运算4.分式的约分和通分(1)约分(可化简分式):把分式的分子和分母中的公因式约去,即;(2)通分(可化为同分母):根据分式的基本性质,把异分母的分式化为同分母的分式,即分式通分的关键步骤是找出分式的最简公分母,然后根据分式的性质通分.例:分式和的最简公分母为.5.分式的加减法(1)同分母:分母不变,分子相加减.即±=;(2)异分母:先通分,变为同分母的分式,再加减.即±=.例:=-1.6.分式的乘除法(1)乘法:·=;(2)除法:=;(3)乘方:=(n为正整数).例:=;=2y;=.7.分式的混合运算(1)仅含有乘除运算:首先观察分子、分母能否分解因式,若能,就要先分解后约分.(2)含有括号的运算:失分点警示:分式化简求值问题,要先将分式化简到最简分式或整式
注意运算顺序和运算律的合理应用.一般先算乘方,再算乘除,最后算加减,若有括号,先算括号里面的.的形式,再代入求值.代入数值时注意要使原分式有意义.有时也需运用到整体代入.
第4讲二次根式一、知识清单梳理知识点一:二次根式关键点拨及对应举例1.有关概念(1)二次根式的概念:形如(a≥0)的式子.(2)二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于0.(3)最简二次根式:①被开方数的因数是整数,因式是整式(分母中不含根号);②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式失分点警示:当判断分式、二次根式组成的复合代数式有意义的条件时,注意确保各部分都有意义,即分母不为0,被开方数大于等于0等.例:若代数式有意义,则x的取值范围是x>1.2.二次根式的性质(1)双重非负性:①被开方数是非负数,即a≥0;②二次根式的值是非负数,即≥0.注意:初中阶段学过的非负数有:绝对值、偶幂、算式平方根、二次根式.利用二次根式的双重非负性解题:(1)值非负:当多个非负数的和为0时,可得各个非负数均为0.如+=0,则a=-1,b=1.(2)被开方数非负:当互为相反数的两个数同时出现在二次根式的被开方数下时,可得这一对相反数的数均为0.如已知b=+,则a=1,b=0.(2)两个重要性质:①()2=a(a≥0);②=|a|=;(3)积的算术平方根:=·(a≥0,b≥0);(4)商的算术平方根:(a≥0,b>0).例:计算:=3.14;=2;=;=2;知识点二:二次根式的运算3.二次根式的加减法先将各根式化为最简二次根式,再合并被开方数相同的二次根式.例:计算:=.4.二次根式的乘除法(1)乘法:·=(a≥0,b≥0);(2)除法:=(a≥0,b>0).注意:将运算结果化为最简二次根式.例:计算:=1;4.5.二次根式的混合运算运算顺序与实数的运算顺序相同,先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号里面的(或先去括号).运算时,注意观察,有时运用乘法公式会使运算简便.例:计算:(+1)(-1)=1.
第二单元方程(组)与不等式(组)第5讲一次方程(组)一、知识清单梳理知识点一:方程及其相关概念关键点拨及对应举例1.等式的基本性质(1)性质1:等式两边加或减同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式.即若a=b,则a±c=b±c.(2)性质2:等式两边同乘(或除)同一个数(除数不能为0),所得结果仍是等式.即若a=b,则ac=bc,(c≠0).(3)性质3:(对称性)若a=b,则b=a.(4)性质4:(传递性)若a=b,b=c,则a=c.失分点警示:在等式的两边同除以一个数时,这个数必须不为0.例:判断正误.(1)若a=b,则a/c=b/c.(×)(2)若a/c=b/c,则a=b.(√)2.关于方程的基本概念(1)一元一次方程:只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,且等式两边都是整式的方程.(2)二元一次方程:含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程.(3)二元一次方程组:含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程.(4)二元一次方程组的解:二元一次方程组的两个方程的公共解.在运用一元一次方程的定义解题时,注意一次项系数不等于0.例:若(a-2)是关于x的一元一次方程,则a的值为0.知识点二:解一元一次方程和二元一次方程组3.解一元一次方程的步骤(1)去分母:方程两边同乘分母的最小公倍数,不要漏乘常数项;(2)去括号:括号外若为负号,去括号后括号内各项均要变号;(3)移项:移项要变号;(4)合并同类项:把方程化成ax=-b(a≠0);(5)系数化为1:方程两边同除以系数a,得到方程的解x=-b/a.失分点警示:方程去分母时,应该将分子用括号括起来,然后再去括号,防止出现变号错误.4.二元一次方程组的解法思路:消元,将二元一次方程转化为一元一次方程.已知方程组,求相关代数式的值时,需注意观察,有时不需解出方程组,利用整体思想解决解方程组.例:已知则x-y的值为x-y=4.方法:(1)代入消元法:从一个方程中求出某一个未知数的表达式,再把“它”代入另一个方程,进行求解;(2)加减消元法:把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法.知识点三:一次方程(组)的实际应用5.列方程(组)解应用题的一般步骤(1)审题:审清题意,分清题中的已知量、未知量;(2)设未知数;(3)列方程(组):找出等量关系,列方程(组);(4)解方程(组);(5)检验:检验所解答案是否正确或是否满足符合题意;(6)作答:规范作答,注意单位名称.(1)设未知数时,一般求什么设什么,但有时为了方便,也可间接设未知数.如题目中涉及到比值,可以设每一份为x.(2)列方程(组)时,注意抓住题目中的关键词语,如共是、等于、大(多)多少、小(少)多少、几倍、几分之几等.
6.常见题型及关系式(1)利润问题:售价=标价×折扣,销售额=售价×销量,利润=售价-进价,利润率=利润/进价×100%.(2)利息问题:利息=本金×利率×期数,本息和=本金+利息.(3)工程问题:工作量=工作效率×工作时间.(4)行程问题:路程=速度×时间.①相遇问题:全路程=甲走的路程+乙走的路程;②追及问题:a.同地不同时出发:前者走的路程=追者走的路程;b.同时不同地出发:前者走的路程+两地间距离=追者走的路程.
第6讲一元二次方程一、知识清单梳理知识点一:一元二次方程及其解法关键点拨及对应举例1.一元二次方程的相关概念(1)定义:只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的整式方程.(2)一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0),其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项、常数项,a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项.例:方程是关于x的一元二次方程,则方程的根为-1.2.一元二次方程的解法(1)直接开平方法:形如(x+m)2=n(n≥0)的方程,可直接开平方求解.(2)因式分解法:可化为(ax+m)(bx+n)=0的方程,用因式分解法求解.(3)公式法:一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式为x=(b2-4ac≥0).(4)配方法:当一元二次方程的二次项系数为1,一次项系数为偶数时,也可以考虑用配方法.解一元二次方程时,注意观察,先特殊后一般,即先考虑能否用直接开平方法和因式分解法,不能用这两种方法解时,再用公式法.例:把方程x2+6x+3=0变形为(x+h)2=k的形式后,h=-3,k=6.知识点二:一元二次方程根的判别式及根与系数的关系3.根的判别式(1)当Δ=>0时,原方程有两个不相等的实数根.(2)当Δ==0时,原方程有两个相等的实数根.(3)当Δ=b±c;性质2:若a>b,c>0,则ac>bc,>;性质3:若a>b,c
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