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2021年新教材高二上学期期中复习数学试卷（本卷满分150分，考试时间120分钟）测试范围：选择性必修第一册RJ-A（2019）第一章、第二章、第三章一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知两个非零向量，，则这两个向量在一条直线上的充要条件是()。A、B、C、 D、存在非零实数，使【答案】D【解析】A选项，表示的单位向量，表示的单位向量，则，但不一定有，错，B选项、C选项不能推出，故选D。2．已知焦点在轴上的双曲线的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为()。A、B、C、D、【答案】B【解析】，焦点到渐近线的距离为，则，则，∴双曲线方程为，故选B。3．若直线与圆相交，则实数的取值范围为()。A、B、C、D、【答案】D【解析】圆的标准方程为，圆心，半径。∵直线与圆相交，∴，解得或，故选D。4．点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是()。A、B、C、D、【答案】A【解析】设中点坐标为，那么圆上一点设为，满足，，
根据条件，代入后得到，化简为：，故选A。5．若、分别为直线与上任意一点，则的最小值为()。A、B、C、D、【答案】B【解析】∵，∴两直线平行，将直线化为，由题意可知的最小值为这两条平行直线间的距离，即，∴的最小值为，故选B。6．已知椭圆：()的左焦点，过点作倾斜角为的直线与圆相交的弦长为，则椭圆的离心率为()。A、B、C、D、【答案】B【解析】过点倾斜角为的直线方程为：，即，则圆心到直线的距离：，由弦长公式可得：，整理可得：，∴，，则：，，故选B。7．已知点是抛物线：的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰好在以、为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为()。A、B、C、D、【答案】D【解析】由题意，得、，设过的抛物线的切线方程为：，联立得，令，得，即，
不妨设，由双曲线的定义得，，则该双曲线的离心率为，故选D。8．如图所示，是棱长为的正方体，、分别是棱、上的动点，且。当、、、共面时，平面与平面所成锐二面角的余弦值为()。A、B、C、D、【答案】B【解析】以点为原点如图建系，则、、，由题意知：当、时，、、、共面，设平面的法向量为，，，则，取，解得，设平面的法向量为，，，则，取，解得，设平面与平面所成锐二面角为，则，∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为，故选B。二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知经过点和点的直线与经过点和点的直线互相垂直，则实数()。A、B、C、D、【答案】BC
【解析】的斜率，当时，的斜率，∵，∴，即，解得，当时，、，直线为轴，，，直线为轴，显然，∴实数的值为或，故选BC。10．已知椭圆：()的左右焦点分别、，过且斜率为的直线交椭圆于、两点，若为直角三角形，则该椭圆的离心率()。A、B、C、D、【答案】CD【解析】当时，设，则由于，∴，，∵，，∴椭圆的离心率为，当时，设，则由于，∴，，∵，，∴椭圆的离心率为，故选CD。11．下列命题中不正确的是()。A、若、、、是空间任意四点，则有B、若，则、的长度相等而方向相同或相反C、是、共线的充分条件D、对空间任意一点与不共线的三点、、，若()，则、、、四点共面【答案】ABD【解析】A选项，而不是，故A错，B选项，仅表示与的模相等，与方向无关，故B错，C选项，，
即，即，与方向相反，故C对，D选项，空间任意一个向量都可以用不共面的三个向量、、表示，∴、、、四点不一定共面，故D错，故选ABD。12．已知、是双曲线(，)的左、右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点，交另一条渐近线于点，且，则该双曲线的离心率为()。A、B、C、D、【答案】AC【解析】(1)当时，设，则，设，由题意可知，，，，则，，，代入得，即，解得，则，(2)当时，设，，设，则，，由题意可知，，，，则，，，则，则，代入得，即，解得，则，故选AC。三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．动点与定点、的连线的斜率之积为，则点的轨迹方程是。
【答案】()【解析】设，则，，∵动点与定点、的连线的斜率之积为，∴，∴，即，且，综上点的轨迹方程是()。14．过双曲线的右支上一点，分别向圆：和圆：()作切线，切点分别为、，若的最小值为，则。【答案】【解析】设、是双曲线的左、右焦点，也是题中圆的圆心，∴，显然其最小值为，。15．如图所示，是正四棱锥，是正方体，其中，，则点到平面的距离为。【答案】【解析】方法一：利用等体积法求点到平面距离：，又，，即，解得；方法二：利用建系求点到平面距离：以为原点，、、为、、轴建系，则，，，，，，，设平面的法向量为，则，即，设，解得，，则，
又点到平面的距离。16．如图所示，已知抛物线的焦点为，直线过点且依次交抛物线及圆于、、、四点，则的最小值为。【答案】【解析】∵，焦点，准线：，由圆：，圆心，半径为，由抛物线的定义得：，又∵，∴，同理：，当轴时，则，∴，当的斜率存在且不为时，设：，代入抛物线方程，得：，∴，，∴，当且仅当，即，时取等号，综上所述的最小值为。四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）已知两圆：和：。(1)求证：圆和圆相交；(2)求圆和圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长。【解析】(1)证明：圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，2分两圆圆心距，，∴圆和相交；4分(2)圆和圆的方程左、右分别相减，得，6分∴两圆的公共弦所在直线的方程为，7分圆心到直线的距离，9分故公共弦长为。10分
18．（本小题满分12分）如图，已知的边所在直线的方程为，满足，点在边所在直线上且满足。(1)求边所在直线的方程；(2)求外接圆的方程；(3)若动圆过点，且与的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程。【解析】(1)∵，∴，又在上，∴，∴为，1分又边所在直线的方程为，∴直线的斜率为，2分又∵点在直线上，∴边所在直线的方程为，即；4分(2)与的交点为，∴由解得点的坐标为，5分∵，∴为斜边上的中点，即为外接圆的圆心，6分又，从而外接圆的方程为；7分(3)∵动圆过点，∴是该圆的半径，又∵动圆与圆外切，∴，即，9分故点的轨迹是以、为焦点，实轴长为的双曲线的左支，10分∵实半轴长，半焦距，∴虚半轴长，11分从而动圆的圆心的轨迹方程为()。12分19．（本小题满分12分）如图所示，在三棱柱中，底面为正三角形，在底面上的射影是棱的中点，于点。(1)证明：平面；(2)若，求与平面所成角的正弦值。
【解析】(1)证明：连接，∵为正三角形，为中点，∴，∵，，∴平面，∴，2分又，，∴，又，∴平面，4分(2)解：由(1)可知，，，，故分别以、、为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，6分设，则，，，，则，，，8分设平面的法向量为，则即，设，则、，则，10分设与平面所成角为，则，∴与平面所成角的正弦值为。12分20．（本小题满分12分）椭圆：()的长轴长等于圆：的直径，且的离心率等于。直线和是过点且互相垂直的两条直线，交于、两点，交于、两点。(1)求的标准方程；(2)当四边形的面积为时，求直线的斜率()。【解析】(1)由题意得，∴，∵，∴，∴，2分∴椭圆的标准方程为；3分
(2)直线：，则直线：，由，5分得，恒成立，6分设、，则，，7分∴，8分∵圆心到直线：的距离，9分又，∴，10分∵，∴，11分由，解得或，由，得。12分21．（本小题满分12分）如图所示，在三棱柱中，四边形为菱形，，平面平面，，，为的中点。(1)求证：平面；(2)求平面与平面所成角的大小。【解析】(1)∵四边形为菱形，，，1分∴，∴，2分又平面平面，平面平面，∴平面，3分又，∴平面；4分(2)取的中点，的中点，连接、，∵平面，∴平面，∴、，
又四边形是菱形，，是的中点，∴，故、、两两互相垂直，6分以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，∴、、、，7分由图可知，平面的一个法向量为，8分设平面的法向量为，则，即，取，得平面的一个法向量为，10分设平面与平面所成角的平面角为，则，11分又∵，∴，∴平面与平画所成角为。12分22．（本小题满分12分）已知椭圆，抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从、上分别取两个点，将其坐标记录于下表中：(1)求、的标准方程；(2)若直线：()与椭圆交于不同的两点、，且线段的垂直平分线过定点，求实数的取值范围。【解析】(1)设抛物线：()，则有()，1分据此验证个点知、在抛物线上，易求：，2分设椭圆：()，把点、代入得：，3分
解得，，∴的方程为：；4分(2)设、，将()代入椭圆方程，消去得：，5分∴，即①，6分由根与系数关系得：，则，7分∴线段的中点的坐标为，8分又线段的垂直平分线的方程为，9分由点在直线上，得，10分即，∴，由①得，∴，即或，11分∴实数的取值范围是。12分
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