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模块综合测评(满分:150分,时间:120分钟)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若集合A={x|-2<x<1},B={x|x<-1或x>3},则A∩B=(  )A.{x|-2<x<-1}B.{x|-2<x<3}C.{x|-1<x<1}D.{x|1<x<3}A [在数轴上表示出集合A,B,如图所示.由图知A∩B={x|-2<x<-1}.]2.已知命题p:x为自然数,命题q:x为整数,则p是q的(  )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件A [若x为自然数,则它必为整数,即p⇒q.但x为整数不一定是自然数,如x=-2,即qp.故p是q的充分不必要条件.]3.若cosα=-,sin2α>0,则tan(π-α)等于(  )A.-3    B.3C.-    D.A [∵sin2α=2sinαcosα>0,cosα=-,∴sinα=-,∴tanα==3,∴tan(π-α)=-tanα=-3,故选A.]4.设集合A={1,2},则满足A∪B={1,2,3}的集合B的个数是(  )A.1    B.3C.4    D.8C [根据题意,满足条件的集合B可以为{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}中的任意一个.]10 5.若a<b<0,则下列不等式不能成立的是(  )A.>B.>C.|a|>|b|D.a2>b2A [取a=-2,b=-1,则>不成立.]6.若集合A={x|ax2-ax+1<0}=∅,则实数a的取值范围是(  )A.(0,4)B.[0,4)C.(0,4]D.[0,4]D [当a=0时,满足条件;当a≠0时,由题意知a>0且Δ=a2-4a≤0,得0<a≤4,所以0≤a≤4.]7.已知x>0,y>0,且x+2y=2,则xy(  )A.有最大值为1B.有最小值为1C.有最大值为D.有最小值为C [因为x>0,y>0,x+2y=2,所以x+2y≥2,即2≥2,xy≤,当且仅当x=2y,即x=1,y=时,等号成立.所以xy有最大值,且最大值为.]8.函数f(x)=x-x的零点个数是(  )A.0    B.1C.2    D.3B [函数f(x)=x-x的零点个数是方程x-x=0的解的个数,即方程x=x的解的个数,也就是函数y=x与y=x的图象的交点个数,在同一坐标系中作出两个函数的图象如图所示,可得交点个数为1.]10 9.若函数y=a+sinbx(b>0且b≠1)的图象如图所示,则函数y=logb(x-a)的图象可能是(  )C [由题图可得a>1,且y=a+sinbx的最小正周期T=<π,所以b>2,则y=logb(x-a)是增函数,排除A和B;当x=2时,y=logb(2-a)<0,排除D,故选C.]10.已知a=log29-log2,b=1+log2,c=+log2,则a,b,c的大小关系为(  )A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>aB [a=log29-log2=log23,b=1+log2=log22,c=+log2=log2,因为函数y=log2x在(0,+∞)上是增函数,且2>3>,所以b>a>c.]11.已知函数①y=sinx+cosx,②y=2sinxcosx,则下列结论正确的是(  )A.两个函数的图象均关于点成中心对称图形B.两个函数的图象均关于直线x=-成轴对称图形10 C.两个函数在区间上都是单调递增函数D.两个函数的最小正周期相同C [①y=sin,图象的对称中心为,k∈Z,对称轴为x=+kπ,k∈Z,单调递增区间为,k∈Z,最小正周期为2π;②y=sin2x图象的对称中心为,k∈Z,对称轴为x=+kπ,k∈Z,单调递增区间为,k∈Z,最小正周期为π.故选C.]12.函数y=sinx与y=tanx的图象在[-2π,2π]上的交点个数为(  )A.3    B.5C.7    D.9B [由得sinx=tanx,即sinx=0.∴sinx=0或1-=0,即x=kπ(k∈Z),又-2π≤x≤2π,∴x=-2π,-π,0,π,2π,从而图象的交点个数为5.]二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.命题p:“∀x∈{x|x是三角形},x的内角和是180°”的﹁p是________.∃x0∈{x|x是三角形},x0的内角和不是180° [因为p是全称量词命题,则﹁p为存在量词命题.]14.已知A,B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集,且A∩B={3},∁UB∩A={9},则A=________.{3,9} [由题意画出Venn图,如图所示.10 由图可知,A={3,9}.]15.某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍,且知病毒的繁殖规律为y=ekt(其中k为常数,t表示时间,单位:小时,y表示病毒个数),则经过5小时,1个病毒能繁殖为________个.1024 [当t=0.5时,y=2,所以2=e,所以k=2ln2,所以y=e2tln2,当t=5时,y=e10ln2=210=1024.]16.已知函数f(x)=若方程f(f(x))-2=0恰有三个实数根,则实数k的取值范围是________. [∵f(f(x))-2=0,∴f(f(x))=2,∴f(x)=-1或f(x)=-(k≠0).①  ②  ③(1)当k=0时,作出函数f(x)的图象如图①所示,由图象可知f(x)=-1无解,∴k=0不符合题意;(2)当k>0时,作出函数f(x)的图象如图②所示,由图象可知f(x)=-1无解且f(x)=-无解,即f(f(x))-2=0无解,不符合题意;(3)当k<0时,作出函数f(x)的图象如图③所示,由图象可知f(x)=-1有1个实根,∵f((x))-2=0有3个实根,10 ∴f(x)=-有2个实根,∴1<-≤3,解得-1<k≤-.综上,k的取值范围是.]三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=x+,且f(1)=3.(1)求m的值;(2)判断函数f(x)的奇偶性.[解] (1)∵f(1)=3,即1+m=3,∴m=2.(2)由(1)知,f(x)=x+,其定义域是{x|x≠0},关于坐标原点对称,又f(-x)=-x+=-=-f(x),∴函数f(x)是奇函数.18.(本小题满分12分)已知p:A={x|x2-2x-3≤0,x∈R},q:B={x|x2-2mx+m2-9≤0,x∈R,m∈R}.(1)若A∩B=[1,3],求实数m的值;(2)若﹁q是p的必要条件,求实数m的取值范围.[解] (1)A={x|-1≤x≤3,x∈R},B={x|m-3≤x≤m+3,x∈R,m∈R},∵A∩B=[1,3],∴m=4.(2)∵﹁q是p的必要条件∴p是﹁q的充分条件,∴A⊆∁RB,∴m>6或m<-4.19.(本小题满分12分)设α,β是锐角,sinα=,cos(α+β)=-,10 求证:β=.[证明] 由0<α<,0<β<,知0<α+β<π,又cos(α+β)=-,故sin(α+β)===.由sinα=,可知cosα===,∴sinβ=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=×-×=,∴β=.20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax2+2x+c(a∈N*,c∈N*)满足:①f(1)=5;②6<f(2)<11.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若对任意x∈[1,2],都有f(x)≥2mx+1成立,求实数m的取值范围.[解] (1)∵f(1)=5,∴5=a+c+2,∴c=3-a.又6<f(2)<11,∴6<4a+c+4<11,∴-<a<.又a∈N*,∴a=1,c=2,∴f(x)=x2+2x+2.(2)设g(x)=f(x)-2mx-1=x2-2(m-1)x+1,x∈[1,2],则由已知得当m-1≤1,即m≤2时,g(x)min=g(1)=4-2m≥0,此时m≤2.当1<m-1<2,即2<m<3时,g(x)min=g(m-1)=1-(m-1)2≥0,此时无解.10 当m-1≥2,即m≥3时,g(x)min=g(2)=9-4m≥0,此时无解.综上所述,实数m的取值范围是(-∞,2].21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=cos(πx+φ)的部分图象如图所示.(1)求φ及图中x0的值;(2)设g(x)=f(x)+f,求函数g(x)在区间上的最大值和最小值.[解] (1)由题图得f(0)=,所以cosφ=,因为0<φ<,故φ=.由于f(x)的最小正周期等于2,所以由题图可知1<x0<2,故<πx0+<.由f(x0)=,得cos=,所以πx0+=,x0=.(2)因为f=cos=cosπx+=-sinπx,所以g(x)=f(x)+f=cos-sinπx=cosπxcos-sinπxsin-sinπx=cosπx-sinπx=sin.当x∈时,-≤-πx≤.10 所以-≤sin≤1,故-πx=,即x=-时,g(x)取得最大值;当-πx=-,即x=时,g(x)取得最小值-22.(本小题满分12分)已知f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)为偶函数.(1)求k的值;(2)若方程f(x)=log4(a·2x-a)有且只有一个根,求实数a的取值范围.[解] (1)∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x),即log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx,化简得log4=2kx,log44-x=-x=2kx,则有(2k+1)x=0.对任意的x∈R恒成立,于是有2k+1=0,k=-.(2)∵f(x)=log4(4x+1)-x,f(x)=log4(a·2x-a)有且只有一个根,∴log4(4x+1)-x=log4(a·2x-a),即(1-a)(2x)2+a·2x+1=0有唯一实根.令t=2x,则关于t的方程(1-a)t2+at+1=0有唯一的正根.①当1-a=0即a=1时,方程(1-a)t2+at+1=0,则t+1=0,即t=-1,不符合题意.②当1-a≠0即a≠1时,Δ=a2-4(1-a)=a2+4a-4=(a+2)2-8.若Δ=0,则a=-2±2,此时,t=.当a=-2+2时,则有t=<0,方程(1-a)t2+at+1=0无正根,不符合题意;当a=-2-2时,则有t=>0,且a·2x-a=a(t-1)=10 a·=>0,方程(1-a)t2+at+1=0有两个相等的正根,符合题意.若Δ>0,则方程(1-a)t2+at+1=0有两个不相等的实根,则只需其中有一正根即可满足题意.于是有由此解得a>1.综上所述,a>1或a=-2-2.10 查看更多

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