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人教版高中数学必修第一册课时同步练习49《简单的三角恒等变换》(含答案详解)

2022-08-17
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课时同步练习(四十九) 简单的三角恒等变换(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．函数f(x)＝cos2，x∈R，则f(x)( )A．是奇函数B．是偶函数C．既是奇函数，也是偶函数D．既不是奇函数，也不是偶函数D [原式＝＝(1－sin2x)＝－sin2x，此函数既不是奇函数也不是偶函数．]2．已知＝，则的值为( )A. B．－ C. D．－B [∵·＝＝＝－1且＝，∴＝－.]3．在△ABC中，若cosA＝，则sin2＋cos2A＝( )A．－ B.9 C．－D.A [sin2＋cos2A＝＋2cos2A－1＝＋2cos2A－1＝－.]4．已知tan2α＝，α∈，函数f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sinα，且对任意的实数x，不等式f(x)≥0恒成立，则sin的值为( )A．－B．－C．－D．－A [由tan2α＝，即＝，得tanα＝或tanα＝－3.又f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2tanα＝2cosxsinα－2sinα≥0恒成立，所以sinα≤0，tanα＝－3，sinα＝－，cosα＝，所以sin＝sinαcos－cosαsin＝－，故选A.]5．已知f(x)＝2sin2x＋2sinxcosx，则f(x)的最小正周期和一个单调减区间分别为( )A．2π，B．π，C．2π，D．π，B [∵f(x)＝1－cos2x＋sin2x9 ＝1＋sin，∴f(x)的最小正周期T＝＝π，由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，得f(x)的单调减区间为＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，当k＝0时，得f(x)的一个单调减区间，故选B.]二、填空题6．有以下四个关于三角函数的命题：①∃x0∈R，sin2＋cos2＝；②∃x0，y0∈R，sin(x0－y0)＝sinx0－siny0；③∀x∈[0，π]，＝sinx；④sinx＝cosy⇒x＋y＝.其中假命题的序号为________．①④ [因为sin2＋cos2＝1≠，所以①为假命题；当x＝y＝0时，sin(x－y)＝sinx－siny，所以②为真命题；因为＝＝|sinx|＝sinx，x∈[0，π]，所以③为真命题；当x＝，y＝2π时，sinx＝cosy，但x＋y≠，所以④为假命题．]7．化简下列各式：(1)＜α＜，则＝________.(2)α为第三象限角，则－＝________.(1)sinα－cosα (2)0 [(1)∵α∈，∴sinα＞cosα，9 ∴＝＝＝＝sinα－cosα.(2)∵α为第三象限角，∴cosα＜0，sinα＜0，∴－＝－＝－＝0.]8．函数f(x)＝cos2x＋4sinx的值域是________．[－5,3] [f(x)＝cos2x＋4sinx＝1－2sin2x＋4sinx＝－2(sinx－1)2＋3.当sinx＝1时，f(x)取得最大值3，当sinx＝－1时，f(x)取得最小值－5，所以函数f(x)的值域为[－5,3]．]三、解答题9．求证：tan－tan＝.[证明] 法一：(由左推右)tan－tan＝－＝＝＝9 ＝＝.法二：(由右推左)＝＝＝－＝tan－tan.10．已知函数f(x)＝2cos2，g(x)＝2.(1)求证：f＝g(x)；(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)(x∈[0，π]的单调区间，并求使h(x)取到最小值时x的值．[解] (1)证明过程如下：f(x)＝2cos2＝1＋cosx，g(x)＝2＝1＋2sincos＝1＋sinx，∵f＝1＋cos＝1＋sinx，∴f＝g(x)，命题得证．9 (2)函数h(x)＝f(x)－g(x)＝cosx－sinx＝＝cos，∵x∈[0，π]，∴≤x＋≤，当≤x＋≤π，即0≤x≤时，h(x)递减，当π≤x＋≤，即≤x≤π时，h(x)递增．∴函数h(x)的单调递减区间为，单调递增区间为，根据函数h(x)的单调性，可知当x＝时，函数h(x)取到最小值．[等级过关练]1．设a＝cos7°＋sin7°，b＝，c＝，则有( )A．b＞a＞c B．a＞b＞cC．a＞c＞bD．c＞b＞aA [∵a＝sin37°，b＝tan38°，c＝sin36°，∴b＞a＞c.]2．设α∈，β∈，且＝，则( )A．2α＋β＝B．2α－β＝C．α＋2β＝D．α－2β＝9 B [由题意得sinα－sinαsinβ＝cosαcosβ，sinα＝cos(α－β)，∴cos＝cos(α－β)．∵－α∈，α－β∈，∴－α＝α－β或－α＋α－β＝0(舍去)，∴2α－β＝.]3．若函数f(x)＝(1＋tanx)cosx,0≤x 查看更多

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