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课时同步练习(四十六) 两角和与差的正弦、余弦公式(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．化简sin＋sin＝( )A．－sinx B．sinxC．－cosxD．cosxB [sin＋sin＝sinx＋cosx＋sinx－cosx＝sinx．]2．cos－sin的值是( )A.B．－C．0D.A [cos－sin＝＝cos＝cos(－4π)＝.]3．已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜，那么β＝( )A.B.C.D.8
C [∵0＜β＜α＜，∴0＜α－β＜，由cosα＝得sinα＝，由cos(α－β)＝得sin(α－β)＝，∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×＝＝，∴β＝.]4．如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC，ED，则sin∠CED等于( )A.B.C.D.B [由题意知sin∠BEC＝，cos∠BEC＝，又∠CED＝－∠BEC，所以sin∠CED＝sincos∠BEC－cossin∠BEC＝×－×＝8
.]5．函数f(x)＝sinx－cos的值域为( )A．[－2,2]B.C．[－1,1]D.B [f(x)＝sinx－cos＝sinx－cosx＋sinx＝sinx－cosx＝sin，所以函数f(x)的值域为[－，]．故选B.]二、填空题6．若cosα＝－，sinβ＝－，α∈，β∈，则sin(α＋β)的值为________． [∵cosα＝－，α∈，∴sinα＝＝.∵sinβ＝－，β∈，∴cosβ＝＝，∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×＋×＝.]7．在△ABC中，3sinA＋4cosB＝6,4sinB＋3cosA＝1，则角C8
等于________．30° [已知两式两边分别平方相加，得25＋24(sinAcosB＋cosAsinB)＝37，即25＋24sin(A＋B)＝37，∴sinC＝sin(A＋B)＝，∴C＝30°或150°.当C＝150°时，A＋B＝30°，此时3sinA＋4cosB＜3sin30°＋4cos0°＝与已知矛盾，∴C＝30°.]8．设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝________.－ [f(x)＝＝sin(x－φ)，其中sinφ＝，cosφ＝.由已知得sin(θ－φ)＝1，∴cos(θ－φ)＝0，∴cosθ＝cos[(θ－φ)＋φ]＝cos(θ－φ)cosφ－sin(θ－φ)sinφ＝－sinφ＝－.]三、解答题9．已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝，β是第三象限角，求sin的值．[解] ∵sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝sin(α－β－α)＝sin(－β)＝－sinβ＝，∴sinβ＝－，又β是第三象限角，∴cosβ＝－＝－，∴sin8
＝sinβcos＋cosβsin＝×＋×＝－.10．若sin＝，cos＝，且0＜α＜＜β＜，求cos(α＋β)的值．[解] ∵0＜α＜＜β＜，∴＜＋α＜π，－＜－β＜0.又sin＝，cos＝，∴cos＝－，sin＝－，∴cos(α＋β)＝sin＝sin＝sincos－cossin＝×－×＝－.[等级过关练]1．在△ABC中，若sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)，则△ABC的形状一定是( )A．等边三角形 B．不含60°的等腰三角形8
C．钝角三角形D．直角三角形D [∵A＋B＋C＝180°，∴cos(B＋C)＝cos(180°－A)＝－cosA，sin(A＋C)＝sin(180°－B)＝sinB，由sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)得sinAcosB－cosAsinB＝1－2cosAsinB，∴sin(A＋B)＝1，即sinC＝1，∴C＝，即△ABC是直角三角形．]2．已知sin＋sinα＝－，－＜α＜0，则cos等于( )A．－B．－C.D.C [∵sin＋sinα＝sinα＋cosα＋sinα＝＝cos＝－，∴cos＝－，∴cos＝cos＝－cos＝－cos＝.]3．若tanα＝2tan，则＝________.3 [＝＝8
＝＝＝＝3.]4．若cos(α－β)＝，则(sinα＋sinβ)2＋(cosα＋cosβ)2＝________. [(sinα＋sinβ)2＋(cosα＋cosβ)2＝2＋2sinαsinβ＋2cosαcosβ＝2＋2cos(α－β)＝2＋＝.]5．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值．(2)若f＝，求cos的值．[解] (1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.又因为f(x)的图象关于直线x＝对称，所以2·＋φ＝kπ＋，k＝0，±1，±2，….由－≤φ＜，得k＝0，所以φ＝－＝－.(2)由(1)得f＝sin＝，8
所以sin＝.由＜α＜得0＜α－＜，所以cos＝＝＝.因此cos＝sinα＝sin＝sincos＋cossin＝×＋×＝.8
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