资料简介
第3课时 不同函数增长的差异学习目标核心素养1.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义.(重点)2.区分指数函数、对数函数以及一次函数增长速度的差异.(易混点)3.会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题.(难点)借助三个函数模型的增长特征培养数学运算、数学建模的素养.三种函数模型的性质y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=kx(k>0)在(0,+∞)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化趋势随x增大逐渐近似与y轴平行随x增大逐渐近似与x轴平行保持固定增长速度增长速度①y=ax(a>1):随着x的增大,y增长速度越来越快,会远远大于y=kx(k>0)的增长速度,y=logax(a>1)的增长速度越来越慢;②存在一个x0,当x>x0时,有ax>kx>logax1.已知变量y=1+2x,当x减少1个单位时,y的变化情况是( )A.y减少1个单位B.y增加1个单位C.y减少2个单位D.y增加2个单位C [结合函数y=1+2x的变化特征可知C正确.]2.下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是( )6
A.y=ex B.y=lnxC.y=2xD.y=e-xA [结合指数函数、对数函数及一次函数的图象变化趋势可知A正确.]3.某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示.以下四种说法:①前三年产量增长的速度越来越快;②前三年产量增长的速度越来越慢;③第三年后这种产品停止生产;④第三年后产量保持不变.其中说法正确的序号是________.②③ [结合图象可知②③正确,故填②③.]几类函数模型的增长差异【例1】 (1)下列函数中,增长速度最快的是( )A.y=2019x B.y=2019C.y=log2019xD.y=2019x(2)下面对函数f(x)=logx,g(x)=x与h(x)=-2x在区间(0,+∞)上的递减情况说法正确的是( )A.f(x)递减速度越来越慢,g(x)递减速度越来越快,h(x)递减速度越来越慢B.f(x)递减速度越来越快,g(x)递减速度越来越慢,h(x)递减速度越来越快C.f(x)递减速度越来越慢,g(x)递减速度越来越慢,h(x)递减速度不变D.f(x)递减速度越来越快,g(x)递减速度越来越快,h(x)递减速度越来越快(1)A (2)C [(1)指数函数y=ax,在a>1时呈爆炸式增长,并且随a值的增大,增长速度越快,应选A.6
(2)观察函数f(x)=logx,g(x)=x与h(x)=-2x在区间(0,+∞)上的图象(如图)可知:函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快,但递减速度逐渐变慢;在区间(1,+∞)上,递减较慢,且越来越慢,同样,函数g(x)的图象在区间(0,+∞)上,递减较慢,且递减速度越来越慢;函数h(x)的图象递减速度不变.]常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变.(2)指数函数模型指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即增长速度急剧,形象地称为“指数爆炸”.(3)对数函数模型对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓.1.四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如表:x151015202530y1226101226401626901y22321024377681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907关于x呈指数函数变化的变量是________.y2 [以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,且都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量y2关于x6
呈指数型函数变化.故填y2.]指数函数、对数函数与一次函数模型的比较【例2】 函数f(x)=2x和g(x)=2x的图象如图所示,设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2.(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数;(2)结合函数图象,判断f与g,f(2019)与g(2019)的大小.[解] (1)C1对应的函数为g(x)=2x,C2对应的函数为f(x)=2x.(2)∵f(1)=g(1),f(2)=g(2)从图象上可以看出,当1<x<2时,f(x)<g(x),∴f<g;当x>2时,f(x)>g(x),∴f(2019)>g(2019).由图象判断指数函数、一次函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、一次函数时,通常是观察函数图象上升得快慢,即随着自变量的增大,图象最“陡”的函数是指数函数.2.函数f(x)=lgx,g(x)=0.3x-1的图象如图所示.(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1,C2分别对应的函数;(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较).6
[解] (1)C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,C2对应的函数为f(x)=lgx.(2)当xf(x);当x1x2时,g(x)>f(x);当x=x1或x=x2时,f(x)=g(x).直线上升、指数爆炸、对数增长对于直线y=kx+b(k≥0)、指数函数y=ax(a>1)、对数函数y=logbx(b>1),当自变量变得很大时,指数函数比一次函数增长得快,一次函数比对数函数增长得快,并且直线上升,其增长量固定不变.1.思考辨析(1)函数y=2x比y=2x增长的速度更快些.( )(2)当a>1,n>0时,在区间(0,+∞)上,对任意的x,总有logax
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