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第3课时 两角和与差的正切公式学习目标核心素养1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明．(重点)3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．(难点)1.通过利用公式进行化简、证明等问题，培养逻辑推理素养.2.借助公式进行求值，提升数学运算素养.两角和与差的正切公式名称简记符号公式使用条件两角和的正切T(α＋β)tan(α＋β)＝α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)且tanα·tanβ≠1两角差的正切T(α－β)tan(α－β)＝α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)且tanα·tanβ≠－11．已知tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，则tanαtanβ等于( )A．2 B．1 C. D．4C [∵tan(α＋β)＝＝4，且tanα＋tanβ＝2，∴＝4，解得tanαtanβ＝.]9
2．求值：tan＝________.－2＋ [tan＝－tan＝－tan＝－＝－＝－2＋.]3．已知tanα＝2，则tan＝________.－3 [tan＝＝＝－3.]4.＝________. [原式＝tan(75°－15°)＝tan60°＝.]两角和与差的正切公式的正用【例1】 (1)已知α，β均为锐角，tanα＝，tanβ＝，则α＋β＝________.(2)如图，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AD在△ABC的外部，且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，则tan∠BAC＝________.[思路点拨] (1)先用公式T(α＋β)求tan(α＋β)，再求α＋β.(2)先求∠CAD，∠BAD的正切值，再依据tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)求值．(1) (2) [(1)∵tanα＝，tanβ＝，9
∴tan(α＋β)＝＝＝1.∵α，β均为锐角，∴α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.(2)∵AD⊥BC且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，∴tan∠BAD＝＝，tan∠CAD＝＝，tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)＝＝＝.]1．公式T(α±β)的结构特征和符号规律：(1)结构特征：公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tanα与tanβ的和或差，分母为1与tanαtanβ的差或和．(2)符号规律：分子同，分母反．2．利用公式T(α＋β)求角的步骤：(1)计算待求角的正切值．(2)缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息．(3)根据角的范围及三角函数值确定角．9
1．(1)已知tanα－＝，则tanα＝________.(2)已知角α，β均为锐角，且cosα＝，tan(α－β)＝－，则tanβ＝________.(1) (2)3 [(1)因为tanα－＝，所以tanα＝tan＝＝＝.(2)因为cosα＝，α为锐角，所以sinα＝，tanα＝，所以tanβ＝tan[α－(α－β)]＝＝＝3.]两角和与差的正切公式的逆用【例2】 (1)＝________.(2)＝________.[思路点拨] 注意特殊角的正切值和公式T(α±β)的结构，适当变形后逆用公式求值．(1) (2)－1 [(1)原式＝＝tan(45°＋15°)＝tan60°＝.9
(2)原式＝＝＝tan(30°－75°)＝－tan45°＝－1.]公式T(α±β)的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换.如要特别注意2．已知α、β均为锐角，且sin2α＝2sin2β，则( )A．tan(α＋β)＝3tan(α－β)B．tan(α＋β)＝2tan(α－β)C．3tan(α＋β)＝tan(α－β)D．3tan(α＋β)＝2tan(α－β)A [∵sin2α＝2sin2β，∴sin[(α＋β)＋(α－β)]＝2sin[(α＋β)－(α－β)]，∴sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝2sin(α＋β)cos(α－β)－2cos(α＋β)sin(α－β)，∴sin(α＋β)cos(α－β)＝3cos(α＋β)sin(α－β)，两边同除以cos(α－β)cos(α＋β)得tan(α＋β)＝3tan(α－β)．]两角和与差的正切公式的变形运用[探究问题]1．两角和与差的正切公式揭示了tanαtanβ与哪些式子的关系？9
提示：揭示了tanαtanβ与tanα＋tanβ，tanαtanβ与tanα－tanβ之间的关系．2．若tanα、tanβ是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的两个根，则如何用a、b、c表示tan(α＋β)?提示：tan(α＋β)＝＝＝－.【例3】 (1)tan67°－tan22°－tan67°tan22°＝________.(2)已知△ABC中，tanB＋tanC＋tanBtanC＝，且tanA＋tanB＝tanAtanB－1，试判断△ABC的形状．[思路点拨] (1)看到tan67°－tan22°与tan67°tan22°想到将tan(67°－22°)展开变形，寻找解题思路．(2)先由关于角A，B的等式求出tan(A＋B)得角A＋B，然后求角C并代入关于角B，C的等式求角B，最后求角A，判断△ABC的形状．(1)1 [∵tan67°－tan22°＝tan(67°－22°)(1＋tan67°tan22°)＝tan45°(1＋tan67°tan22°)＝1＋tan67°tan22°，∴tan67°－tan22°－tan67°tan22°＝1＋tan67°tan22°－tan67°tan22°＝1.](2)[解] ∵tanA＋tanB＝tanAtanB－1，∴(tanA＋tanB)＝tanAtanB－1，∴＝－，∴tan(A＋B)＝－.又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝，∴C＝.∵tanB＋tanC＋tanBtanC＝，tanC＝，∴tanB＋＋tanB＝，tanB＝，9
∴B＝，∴A＝，∴△ABC为等腰钝角三角形．1．将例3(1)中的角同时增加1°结果又如何？[解] ∵tan45°＝tan(68°－23°)＝，∴1＋tan68°tan23°＝tan68°－tan23°，即tan68°－tan23°－tan68°tan23°＝1.2．能否为例3(1)和探究1归纳出一个一般结论？若能，试证明．[解] 一般结论：若α－β＝45°(α，β≠k×180°＋90°，k∈Z)，则tanα－tanβ－tanαtanβ＝1.证明：∵tan45°＝tan(α－β)＝，∴1＋tanαtanβ＝tanα－tanβ，即tanα－tanβ－tanαtanβ＝1.1．整体意识：若化简的式子中出现了“tanα±tanβ”及“tanα·tanβ”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．2．熟知变形：两角和的正切公式的常见四种变形：(1)tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；(2)1－tanαtanβ＝；(3)tanα＋tanβ＋tanα·tanβ·tan(α＋β)＝tan(α＋β)；(4)tanα·tanβ＝1－.提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式．1．公式T(α±β)与S(α±β)、C(α±β)的一个重要区别，就是前者角α、β、α±β都不能取kπ＋(k∈Z)，而后两者α、β∈R，应用时要特别注意这一点．9
2．注意公式的变形应用．如：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，1－tanαtanβ＝，tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)，1＋tanαtanβ＝等.1．思考辨析(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβ成立．( )(2)对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝都成立．( )(3)tan(α＋β)＝等价于tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)．( )[提示] (1)√.当α＝0，β＝时，tan(α＋β)＝tan＝tan0＋tan，但一般情况下不成立．(2)×.两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)．(3)√.当α≠kπ＋(k∈Z)，β≠kπ＋(k∈Z)，α＋β≠kπ＋(k∈Z)时，由前一个式子两边同乘以1－tanαtanβ可得后一个式子．[答案] (1)√ (2)× (3)√2．若tanβ＝3，tan(α－β)＝－2，则tanα＝( )A. B．－ C．1 D．－1A [tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝.]3．若tan＝3，则tanα的值为________． [tanα＝tan9
＝＝＝＝＝.]4．已知cosα＝，cosβ＝，其中α，β都是锐角，求tan(α＋β)的值．[解] 因为α，β都是锐角，所以sinα＝＝，sinβ＝＝，tanα＝＝2，tanβ＝＝，所以tan(α＋β)＝＝－2.9
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