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集合的并、交、补运算【例1】 已知全集U={0,1,2,3,4,5,6},集合A={x∈N|1<x≤4},B={x∈R|x2-3x+2=0}.(1)用列举法表示集合A与B;(2)求A∩B及∁U(A∪B).[解] (1)由题知,A={2,3,4},B={x∈R|(x-1)(x-2)=0}={1,2}.(2)由题知,A∩B={2},A∪B={1,2,3,4},所以∁U(A∪B)={0,5,6}.集合的运算主要包括交集、并集和补集运算.这也是高考对集合部分的主要考查点.有些题目比较简单,直接根据集合运算的定义可得.有些题目与解不等式或方程相结合,需要先正确求解不等式,再进行集合运算.还有的集合问题比较抽象,解题时需借助Venn图进行数形分析或利用数轴等,采用数形结合思想方法,可使问题直观化、形象化,进而能使问题简捷、准确地获解.1.已知全集U={1,2,3,4},集合A={1,2},B={2,3},则∁U(A∪B)=(  )A.{1,3,4}  B.{3,4}5 C.{3}D.{4}D [∵A={1,2},B={2,3},∴A∪B={1,2,3},∴∁U(A∪B)={4}.]集合关系和运算中的参数问题【例2】 已知集合A={x|0≤x≤2},B={x|a≤x≤a+3}.(1)若(∁RA)∪B=R,求a的取值范围;(2)是否存在a使(∁RA)∪B=R且A∩B=∅?[解] (1)A={x|0≤x≤2},∴∁RA={x|x2}.∵(∁RA)∪B=R,∴∴-1≤a≤0.(2)由(1)知(∁RA)∪B=R时,-1≤a≤0,而2≤a+3≤3,∴A⊆B,这与A∩B=∅矛盾.即这样的a不存在.根据集合间关系求参数范围时,要深刻理解子集的概念,把形如A⊆B的问题转化为AB或A=B,进而列出不等式组,使问题得以解决.在建立不等式过程中,可借助数轴以形促数,化抽象为具体.要注意作图准确,分类全面.2.已知集合A={x|-3≤x<2},B={x|2k-1≤x≤2k+1},且B⊆A,求实数k的取值范围.[解] 由于B⊆A,在数轴上表示A,B,如图,可得解得5 所以k的取值范围是.充分条件与必要条件【例3】 已知a≥,y=-a2x2+ax+c,其中a,c均为实数.证明:对于任意的x∈{x|0≤x≤1},均有y≤1成立的充要条件是c≤.[解] 因为a≥,所以函数y=-a2x2+ax+c的图象的对称轴方程为x==,且0<≤1,当x=时,y=+c.先证必要性:对于任意的x∈{x|0≤x≤1},均有y≤1,即+c≤1,所以c≤.再证充分性:因为c≤,当x=时,y的最大值为+c≤+=1,所以对于任意x∈{x|0≤x≤1},y=-a2x2+ax+c≤1,即y≤1.即充分性成立.利用充分条件和必要条件求参数的取值范围,主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系,将问题转化为集合之间的关系,建立关于参数的不等式或不等式组求解.3.若p:x2+x-6=0是q:ax+1=0的必要不充分条件,则实数a的值为________.-或 [p:x2+x-6=0,即x=2或x=-3.5 q:ax+1=0,当a=0时,方程无解;当a≠0时,x=-.由题意知pq,q⇒p,故a=0舍去;当a≠0时,应有-=2或-=-3,解得a=-或a=.综上可知,a=-或a=.]全称量词与存在量词【例4】 (1)下列语句不是全称量词命题的是(  )A.任何一个实数乘以零都等于零B.自然数都是正整数C.高一(一)班绝大多数同学是团员D.每一个实数都有大小(2)命题p:“∀x∈R,x2>0”,则(  )A.p是假命题;﹁p:∃x∈R,x2<0B.p是假命题;¬p:∃x∈R,x2≤0C.p是真命题;¬p:∀x∈R,x2<0D.p是真命题;¬p:∀x∈R,x2≤0(1)C (2)B [(1)A中命题可改写为:任意一个实数乘以零都等于零,故A是全称量词命题;B中命题可改写为:任意的自然数都是正整数,故B是全称量词命题;C中命题可改写为:高一(一)班存在部分同学是团员,C不是全称量词命题;D中命题可改写为:任意的一个实数都有大小,故D是全称量词命题.故选C.(2)由于02>0不成立,故“∀x∈R,x2>0”为假命题,根据全称量词命题的否定是存在量词命题可知,“∀x∈R,x2>0”的否定是“∃x∈R,x2≤0”,故选B.]“一般命题的否定”与“含有一个量词的命题的否定”的区别与联系5 (1)一般命题的否定通常是在条件成立的前提下否定其结论,得到真假性完全相反的两个命题;含有一个量词的命题的否定,是在否定结论p(x)的同时,改变量词的属性,即将全称量词改为存在量词,存在量词改为全称量词.(2)与一般命题的否定相同,含有一个量词的命题的否定的关键也是对关键词的否定.4.下列命题不是存在量词命题的是(  )A.有些实数没有平方根B.能被5整除的数也能被2整除C.在实数范围内,有些一元二次方程无解D.有一个m使2-m与|m|-3异号B [选项A、C、D中都含有存在量词,故皆为存在量词命题,选项B中不含存在量词,不是存在量词命题.]5.命题“能被7整除的数是奇数”的否定是________.存在一个能被7整除的数不是奇数 [原命题即为“所有能被7整除的数都是奇数”,是全称量词命题,故该命题的否定是:“存在一个能被7整除的数不是奇数”.]5 查看更多

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