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5.3 诱导公式第1课时 公式二、公式三和公式四学习目标核心素养1.了解公式二、公式三和公式四的推导方法．2．能够准确记忆公式二、公式三和公式四．(重点、易混点)3．掌握公式二、公式三和公式四，并能灵活应用．(难点)1.借助公式进行运算，培养数学运算素养．2．通过公式的变形进行化简和证明，提升逻辑推理素养.1．公式二(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示．(2)公式：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan_α.2．公式三(1)角－α与角α的终边关于x轴对称．如图所示．(2)公式：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，tan(－α)＝－tan_α.3．公式四(1)角π－α与角α的终边关于y轴对称．如图所示．(2)公式：sin(π－α)＝sin_α，9
cos(π－α)＝－cos_α，tan(π－α)＝－tan_α.思考：(1)诱导公式中角α只能是锐角吗？(2)诱导公式一～四改变函数的名称吗？提示：(1)诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋，k∈Z.(2)诱导公式一～四都不改变函数名称．1．如果α，β满足α＋β＝π，那么下列式子中正确的个数是( )①sinα＝sinβ；②sinα＝－sinβ；③cosα＝－cosβ；④cosα＝cosβ；⑤tanα＝－tanβ.A．1 B．2 C．3 D．4C [因为α＋β＝π，所以sinα＝sin(π－β)＝sinβ，故①正确，②错误；cosα＝cos(π－β)＝－cosβ，故③正确，④错误；tanα＝tan(π－β)＝－tanβ，⑤正确．故选C.]2．tan等于( )A．－B.C．－D.C [tan＝tan＝tan＝tan＝－tan＝－.]3．已知tanα＝3，则tan(π＋α)＝________.3 [tan(π＋α)＝tanα＝3.]9
4．求值：(1)sin＝________.(2)cos＝________.(1) (2)－ [(1)sin＝sin＝sin＝.(2)cos＝cos＝cos＝－cos＝－.]给角求值问题【例1】 求下列各三角函数值：(1)sin1320°；(2)cos；(3)tan(－945°)．[解] (1)法一：sin1320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－.法二：sin1320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－.(2)法一：cos＝cos＝cos＝cos＝－cos＝－.法二：cos＝cos＝cos＝－cos＝－.(3)tan(－945°)＝－tan945°＝－tan(225°＋2×360°)9
＝－tan225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan45°＝－1.利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤(1)“负化正”——用公式一或三来转化；(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角；(3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值.1．计算：(1)cos＋cos＋cos＋cos；(2)tan10°＋tan170°＋sin1866°－sin(－606°)．[解] (1)原式＝＋＝＋＝＋＝0.(2)原式＝tan10°＋tan(180°－10°)＋sin(5×360°＋66°)－sin[(－2)×360°＋114°]＝tan10°－tan10°＋sin66°－sin(180°－66°)＝sin66°－sin66°＝0.给值(式)求值问题【例2】 (1)已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m，则sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于( )A. B.C.D．－(2)已知cos(α－75°)＝－，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．9
[思路点拨] (1)→(2)→→(1)A [sin(α－360°)－cos(180°－α)＝sinα＋cosα＝m，sin(180°＋α)cos(180°－α)＝sinαcosα＝＝.](2)[解] ∵cos(α－75°)＝－＜0，且α为第四象限角，∴sin(α－75°)＝－＝－＝－，∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝.1．例2(2)条件不变，求cos(255°－α)的值．[解] cos(255°－α)＝cos[180°－(α－75°)]＝－cos(α－75°)＝.2．将例2(2)的条件“cos(α－75°)＝－”改为“tan(α－75°)＝－5”，其他条件不变，结果又如何？[解] 因为tan(α－75°)＝－5＜0，且α为第四象限角，所以α－75°是第四象限角．由解得或(舍)所以sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]9
＝－sin(α－75°)＝.解决条件求值问题的两技巧(1)寻找差异：解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系.(2)转化：可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.提醒：设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键.利用诱导公式化简问题[探究问题]1．利用诱导公式化简sin(kπ＋α)(其中k∈Z)时，化简结果与k是否有关？提示：有关．因为k是奇数还是偶数不确定．当k是奇数时，即k＝2n＋1(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin(π＋α)＝－sinα；当k是偶数时，即k＝2n(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sinα.2．利用诱导公式化简tan(kπ＋α)(其中k∈Z)时，化简结果与k是否有关？提示：无关．根据公式tan(π＋α)＝tanα可知tan(kπ＋α)＝tanα.(其中k∈Z)【例3】 设k为整数，化简：.[思路点拨] 本题常用的解决方法有两种：①为了便于运用诱导公式，必须把k分成偶数和奇数两种情况讨论；②观察式子结构，kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，可使用配角法．[解] 法一：(分类讨论)当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，则原式＝＝＝＝－1；当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，同理可得原式＝－1.法二：(配角法)由于kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，9
故cos[(k－1)π－α]＝cos[(k＋1)π＋α]＝－cos(kπ＋α)，sin[(k＋1)π＋α]＝－sin(kπ＋α)，sin(kπ－α)＝－sin(kπ＋α)．所以原式＝＝－1.三角函数式化简的常用方法(1)合理转化：①将角化成2kπ±α，kπ±α，k∈Z的形式.,②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数.(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.提醒：注意分类讨论思想的应用.2．化简：(1)；(2).[解] (1)原式＝＝＝－tanα.(2)原式＝＝＝＝－1.1．诱导公式一～四可简要概括为“α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号”．或者简述为“函数同名，象限定号”．2．利用公式一～四可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：9
1．思考辨析(1)公式二～四对任意角α都成立．( )(2)由公式三知cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)．( )(3)在△ABC中，sin(A＋B)＝sinC．( )[提示] (1)错误，关于正切的三个公式中α≠kπ＋，k∈Z.(2)由公式三知cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)是不正确的．(3)因为A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C，所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC.[答案] (1)× (2)× (3)√2．已知sin(π＋α)＝，且α是第四象限角，那么cos(α－π)的值是( )A. B．－ C．± D.B [因为sin(π＋α)＝－sinα＝，所以sinα＝－.又α是第四象限角，所以cosα＝，所以cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cosα＝－.]3.的值等于________．－2 [原式＝9
＝＝＝＝－2.]4．化简(1)；(2).[解] (1)＝＝＝－cos2α.(2)＝＝－cosα.9
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