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5.7 三角函数的应用学习目标核心素养1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．(重点)2.实际问题抽象为三角函数模型．(难点)1.通过建立三角模型解决实际问题，培养数学建模素养.2.借助实际问题求解，提升数学运算素养.1．函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义2．解三角函数应用题的基本步骤：(1)审清题意；(2)搜集整理数据，建立数学模型；(3)讨论变量关系，求解数学模型；(4)检验，作出结论．1．函数y＝sin的周期、振幅、初相分别是( )A．3π，， B．6π，，C．3π，3，－D．6π，3，9
B [y＝sin的周期T＝＝6π，振幅为，初相为.]2．函数y＝3sin的频率为________，相位为________，初相为________． x－ － [频率为＝＝，相位为x－，初相为－.]3．如图为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要________s往返一次．0．8 [观察图象可知此简谐运动的周期T＝0.8，所以这个简谐运动需要0.8s往返一次．]4．如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24h内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为________________．y＝－6sinx [设y与x的函数关系式为y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，则A＝6，T＝＝12，ω＝.当x＝9时，ymax＝6.故×9＋φ＝＋2kπ，k∈Z.9
取k＝1得φ＝π，即y＝－6sinx.]三角函数模型在物理学中的应用【例1】 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题．(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？(3)经过多长时间小球往复振动一次？[思路点拨] 确定函数y＝Asin(ωx＋φ)中的参数A，ω，φ的物理意义是解题关键．[解] 列表如下：t－2t＋0π2πsin010－10s040－40描点、连线，图象如图所示．(1)将t＝0代入s＝4sin，得s＝4sin＝2，9
所以小球开始振动时的位移是2cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4cm和－4cm.(3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是πs.在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)表示物体振动的位移y随时间x的变化规律，A为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T＝为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数.交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220sin来表示，求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．[解] (1)当t＝0时，E＝110(V)，即开始时的电压为110V.(2)T＝＝(s)，即时间间隔为0.02s.(3)电压的最大值为220V，当100πt＋＝，即t＝s时第一次取得最大值．三角函数模型的实际应用[探究问题]在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需要几个步骤？提示：(1)根据原始数据给出散点图．(2)通过考察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．9
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．【例2】 已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：t03691215182124y1.51.00.51.01.510.50.991.5经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b的图象．(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？[思路点拨] (1)根据y的最大值和最小值求A，b，定周期求ω.(2)解不等式y＞1，确定有多少时间可供冲浪者活动．[解] (1)由表中数据可知，T＝12，∴ω＝.又t＝0时，y＝1.5，∴A＋b＝1.5；t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅为，函数解析式为y＝cost＋1(0≤t≤24)．(2)∵y＞1时，才对冲浪爱好者开放，∴y＝cost＋1＞1，cost＞0,2kπ－＜t＜2kπ＋，即12k－3＜t＜12k＋3，(k∈Z)．又0≤t≤24，所以0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24，所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9＜t＜15.1．若将本例中“大于1米”改为“大于1.25米”，结果又如何？[解] 由y＝cost＋1＞1.25得cost＞，2kπ－＜t＜2kπ＋，k∈Z，即12k－2＜t＜12k＋2，k∈Z.9
又0≤t≤24，所以0≤t＜2或10＜t＜14或22＜t≤24，所以在规定时间内只有4个小时冲浪爱好者可以进行活动，即10＜t＜14.2．若本例中海滨浴场某区域的水深y(米)与时间t(时)的数据如下表：t(时)03691215182124y(米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0用y＝Asinωt＋b刻画水深与时间的对应关系，试求此函数解析式．[解] 函数y＝Asinωt＋b在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h)，此为半个周期，∴函数的最小正周期为12h，因此＝12，ω＝.又∵当t＝0时，y＝10；当t＝3时，ymax＝13，∴b＝10，A＝13－10＝3，∴所求函数的解析式为y＝3sint＋10(0≤t≤24)．解三角函数应用问题的基本步骤提醒：关注实际意义求准定义域．1．曲线y＝Asin(ωx＋φ)的应用实质上是物理方面的知识．所以建立该类问题的数学模型一定要结合物理知识进行．2．解答三角函数应用题的基本步骤可分为四步：审题、建模、解模、还原评价．(1)构建三角函数模型解决具有周期变化现象的实际问题．9
(2)对于测量中的问题归结到三角形中去处理，应用三角函数的概念和解三角形知识解决问题．1．思考辨析(1)函数y＝|sinx＋|的周期为π.( )(2)一个弹簧振子做简谐振动的周期为0.4s，振幅为5cm，则该振子在2s内通过的路程为50cm.( )(3)电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin，则当t＝s时，电流强度I为A．( )[提示] (1)错误．函数y＝|sinx＋|的周期为2π.(2)错误．一个周期通过路程为20cm，所以2s内通过的路程为20×＝100(cm)．(3)正确．[答案] (1)× (2)× (3)√2．在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动．已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由s1＝5sin，s2＝10cos2t确定，则当t＝s时，s1与s2的大小关系是( )A．s1＞s2 B．s1＜s2C．s1＝s2D．不能确定C [当t＝时，s1＝5sin＝5sin＝－5，当t＝时，s2＝10cos＝10×＝－5，故s1＝s2.]9
3．一根长lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1s时，线长l＝________cm. [由已知得＝1，所以＝2π，＝4π2，l＝.]4．如图所示，某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式；(其中t以年初以来的月为计量单位)(2)估计当年3月1日动物种群数量．[解] (1)设种群数量y关于t的解析式为y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)，则解得A＝100，b＝800.又周期T＝2×(6－0)＝12，∴ω＝＝，∴y＝100sin＋800.又当t＝6时，y＝900，∴900＝100sin＋800，∴sin(π＋φ)＝1，∴sinφ＝－1，∴取φ＝－，∴y＝100sin＋800.(2)当t＝2时，9
y＝100sin＋800＝750，即当年3月1日动物种群数量约是750.9
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