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第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式学习目标核心素养1.能利用两角和的正、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式(重点)2.能利用二倍角公式进行化简、求值、证明．(难点)3.熟悉二倍角公式的常见变形，并能灵活应用．(易错点)1.通过公式的推导，培养逻辑推理素养.2.借助运算求值，提升数学运算素养.1．二倍角的正弦、余弦、正切公式记法公式S2αsin2α＝2sin_αcos_αC2αcos2α＝cos2α－sin2αT2αtan2α＝2.余弦的二倍角公式的变形3．正弦的二倍角公式的变形(1)sinαcosα＝sin2α，cosα＝.(2)1±sin2α＝(sin_α±cos_α)2.1．下列各式中，值为的是( )A．2sin15°cos15°B．cos215°－sin215°C．2sin215°D．sin215°＋cos215°B [2sin15°cos15°＝sin30°＝；cos215°－sin215°＝cos30°＝；2sin210
15°＝1－cos30°＝1－；sin215°＋cos215°＝1，故选B.]2．sin15°cos15°＝________. [sin15°cos15°＝×2sin15°cos15°＝sin30°＝.]3.－cos2＝________.－ [－cos2＝－＝－－×＝－.]4．若tanθ＝2则tan2θ＝________.－ [tan2θ＝＝＝－.]给角求值【例1】 (1)coscoscos的值为( )A. B．－C.D．－(2)求下列各式的值：①cos415°－sin415°；②1－2sin275°；③；④－.(1)D [∵cos＝－cos，cos＝－cos，∴coscoscos＝coscoscos＝＝10
＝＝＝－.](2)[解] ①cos415°－sin415°＝(cos215°－sin215°)(cos215°＋sin215°)＝cos215°－sin215°＝cos30°＝.②1－2sin275°＝1－(1－cos150°)＝cos150°＝－cos30°＝－.③＝2×＝2×＝－2.④－＝＝＝＝＝4.对于给角求值问题，一般有两类：(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.1．求下列各式的值(1)cos72°cos36°；10
(2)＋.[解] (1)cos36°cos72°＝＝＝＝.(2)原式＝＝＝＝＝4.给值求值、求角问题【例2】 (1)已知cos＝，≤α＜，求cos的值；(2)已知α∈，且sin2α＝sin，求α.[思路点拨] 依据以下角的关系设计解题思路求解：(1)α＋与2α＋，α－与2α－具有2倍关系，用二倍角公式联系；(2)2α＋与2α差，用诱导公式联系．[解] (1)∵≤α＜，∴≤α＋＜.∵cos＞0，∴＜α＋＜，∴sin＝－＝－＝－，∴cos2α＝sin＝2sincos＝2××＝－，10
sin2α＝－cos＝1－2cos2＝1－2×2＝，∴cos＝cos2α－sin2α＝×－×＝－.(2)∵sin2α＝－cos＝－＝1－2cos2，sin＝－sin＝－cos＝－cos，∴原式可化为1－2cos2＝－cos，解得cos＝1或cos＝－.∵α∈，∴α＋∈，故α＋＝0或α＋＝，即α＝－或α＝.1．在例2(1)的条件下，求sin4α的值．[解] 由例2(1)解析知sin4α＝2sin2αcos2α＝2××＝－.10
2．将例2(1)的条件改为sin＝，0＜x＜，求的值．[解] ∵0＜x＜，∴－x∈.又sin＝，∴cos＝.又cos2x＝sin＝2sincos＝2××＝，cos＝sin＝sin＝，∴原式＝＝.解决条件求值问题的方法(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系.(2)当遇到这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通.cos2x＝10
类似的变换还有：cos2x＝，化简证明问题[探究问题]1．解答化简证明问题时，如果遇到既有“切”，又有“弦”的情况，通常要如何处理？提示：通常要切化弦后再进行变形．2．证明三角恒等式时，通常的证明方向是什么？提示：由复杂一侧向简单一侧推导．【例3】 (1)化简：＋＝________.(2)证明：＝－4.[思路点拨] (1)通分变形．(2)→→(1)－tan2θ [原式＝＝＝－＝－tan2θ.](2)[证明] 左边＝＝＝10
＝＝－4＝右边，所以原等式成立．证明三角恒等式的原则与步骤(1)观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.(2)证明恒等式的一般步骤：①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.2．求证：(1)cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos2Acos2B；(2)cos2θ(1－tan2θ)＝cos2θ.[证明] (1)左边＝－＝＝(cos2Acos2B－sin2Asin2B＋cos2Acos2B＋sin2Asin2B)＝cos2Acos2B＝右边，∴等式成立．(2)法一：左边＝cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ＝右边．法二：右边＝cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ＝cos2θ(1－tan2θ)＝左边．1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：10
8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是α的二倍；是的二倍；是的二倍；＝(n∈N*)．2．二倍角余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．二倍角余弦公式的常用形式：①1＋cos2α＝2cos2α，②cos2α＝，③1－cos2α＝2sin2α，④sin2α＝.1．思考辨析(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( )(2)存在角α，使得sin2α＝2sinα成立．( )(3)对于任意的角α，cos2α＝2cosα都不成立．( )[提示] (1)×.二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式，要求α≠＋kπ(k∈Z)且α≠±＋kπ(k∈Z)，故此说法错误．(2)√.当α＝kπ(k∈Z)时，sin2α＝2sinα.(3)×.当cosα＝时，cos2α＝2cosα.[答案] (1)× (2)√ (3)×2．已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则( )A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4B [易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝(2cos2x－1)＋＋1＝cos2x＋，则f(x)的最小正周期为π，当x＝kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，10
最大值为4.]3．设sin2α＝－sinα，α∈，则tan2α的值是________． [∵sin2α＝－sinα，∴2sinαcosα＝－sinα.由α∈知sinα≠0，∴cosα＝－，∴α＝，∴tan2α＝tan＝tan＝.]4．已知＜α＜π，cosα＝－.(1)求tanα的值；(2)求sin2α＋cos2α的值．[解] (1)因为cosα＝－，＜α＜π，所以sinα＝，所以tanα＝＝－.(2)因为sin2α＝2sinαcosα＝－，cos2α＝2cos2α－1＝，所以sin2α＋cos2α＝－＋＝－.10
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