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5.2.2 同角三角函数的基本关系学习目标核心素养1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．(重点)2．会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．(难点)1.通过同角三角函数的基本关系进行运算，培养数学运算素养．2．借助数学式子的证明，培养逻辑推理素养.1．平方关系(1)公式：sin2α＋cos2α＝1.(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.2．商数关系(1)公式：＝tan_α(α≠kπ＋，k∈Z)．(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切．思考：对任意的角α，sin22α＋cos22α＝1是否成立？提示：成立．平方关系中强调的同一个角且是任意的，与角的表达形式无关．1．化简的结果是( )A．cos B．sinC．－cosD．－sinC [因为是第二象限角，12
所以cos＜0，所以＝＝＝－cos.]2．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是( )A．tanα＝－B．cosα＝－C．sinα＝－D．tanα＝B [由商数关系可知A，D均不正确．当α为第二象限角时，cosα＜0，sinα＞0，故B正确．]3．若cosα＝，且α为第四象限角，则tanα＝________.－ [因为α为第四象限角，且cosα＝，所以sinα＝－＝－＝－，所以tanα＝＝－.]直接应用同角三角函数关系求值【例1】 (1)已知α∈，tanα＝2，则cosα＝________.(2)已知cosα＝－，求sinα，tanα的值．[思路点拨] (1)根据tanα＝2和sin2α＋cos2α＝1列方程组求cosα.(2)先由已知条件判断角α是第几象限角，再分类讨论求sinα，tanα.12
(1)－ [由已知得由①得sinα＝2cosα代入②得4cos2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，又α∈，所以cosα＜0，所以cosα＝－.](2)[解] ∵cosα＝－＜0，∴α是第二或第三象限的角．如果α是第二象限角，那么sinα＝＝＝，tanα＝＝＝－.如果α是第三象限角，同理可得sinα＝－＝－，tanα＝.利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法：(1)已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系.(2)若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果.提醒：应用平方关系求三角函数值时，要注意有关角终边位置的判断，确定所求值的符号.1．已知sinα＋3cosα＝0，求sinα，cosα的值．[解] ∵sinα＋3cosα＝0，∴sinα＝－3cosα.12
又sin2α＋cos2α＝1，∴(－3cosα)2＋cos2α＝1，即10cos2α＝1，∴cosα＝±.又由sinα＝－3cosα，可知sinα与cosα异号，∴角α的终边在第二或第四象限．当角α的终边在第二象限时，cosα＝－，sinα＝；当角α的终边在第四象限时，cosα＝，sinα＝－.灵活应用同角三角函数关系式求值【例2】 (1)已知sinα＋cosα＝，α∈(0，π)，则tanα＝________.(2)已知＝2，计算下列各式的值．①；②sin2α－2sinαcosα＋1.[思路点拨] (1)法一：→→→法二：→→(2)→(1)－ [法一：(构建方程组)因为sinα＋cosα＝，①所以sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝，12
即2sinαcosα＝－.因为α∈(0，π)，所以sinα＞0，cosα＜0.所以sinα－cosα＝＝＝.②由①②解得sinα＝，cosα＝－，所以tanα＝＝－.法二：(弦化切)同法一求出sinαcosα＝－，＝－，＝－，整理得60tan2α＋169tanα＋60＝0，解得tanα＝－或tanα＝－.由sinα＋cosα＝＞0知|sinα|＞|cosα|，故tanα＝－.](2)[解] 由＝2，化简，得sinα＝3cosα，所以tanα＝3.①法一(换元)原式＝＝＝.法二(弦化切)原式＝＝＝.②原式＝＋1＝＋1＝＋1＝.1．将本例(1)条件“α∈(0，π)”改为“α∈(－π，0)”其他条件不变，结果又如何？[解] 由例(1)求出2sinαcosα＝－，12
因为α∈(－π，0)，所以sinα＜0，cosα＞0，所以sinα－cosα＝－＝－＝－.与sinα＋cosα＝联立解得sinα＝－，cosα＝，所以tanα＝＝－.2．将本例(1)的条件“sinα＋cosα＝”改为“sinα·cosα＝－”其他条件不变，求cosα－sinα.[解] 因为sinαcosα＝－＜0，所以α∈，所以cosα－sinα＜0，cosα－sinα＝－＝－＝－.1．sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.2．已知tanα＝m，求关于sinα，cosα的齐次式的值解决这类问题需注意以下两点：(1)一定是关于sinα，cosα的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式；(2)因为cosα≠0，所以可除以cosα，这样可将被求式化为关于tanα的表示式，然后代入tanα＝m的值，从而完成被求式的求值．提醒：求sinα＋cosα或sinα－cosα的值，要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号．应用同角三角函数关系式化简12
【例3】 (1)化简＝________.(2)化简·.(其中α是第三象限角)[思路点拨] (1)将cos2α＝1－sin2α代入即可化简．(2)首先将tanα化为，然后化简根式，最后约分．(1)1 [原式＝＝＝1.](2)[解] 原式＝·＝·＝·＝·.又因为α是第三象限角，所以sinα＜0.所以原式＝·＝－1.三角函数式化简的常用方法(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.12
提醒：在应用平方关系式求sinα或cosα时，其正负号是由角α所在的象限决定，不可凭空想象.2．化简tanα，其中α是第二象限角．[解] 因为α是第二象限角，所以sinα＞0，cosα＜0.故tanα＝tanα＝tanα＝＝·＝－1.应用同角三角函数关系式证明[探究问题]1．证明三角恒等式常用哪些方法？提示：(1)从右证到左．(2)从左证到右．(3)证明左右归一．(4)变更命题法．如：欲证明＝，则可证MQ＝NP，或证＝等．2．在证明＝sinα＋cosα时如何巧用“1”的代换．提示：在求证＝sinα＋cosα时，观察等式左边有2sinαcosα，它和1相加应该想到“1”的代换，即1＝sin2α＋cos2α，所以等式左边＝＝12
＝＝sinα＋cosα＝右边．【例4】 求证：＝.[思路点拨] 解答本题可由关系式tanα＝将两边“切”化“弦”来证明，也可由右至左或由左至右直接证明．[证明] 法一：(切化弦)左边＝＝，右边＝＝.因为sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)，所以＝，所以左边＝右边．所以原等式成立．法二：(由右至左)因为右边＝＝＝＝＝＝左边，所以原等式成立．1．证明恒等式常用的思路是：(1)从一边证到另一边，一般由繁到简；(2)左右开弓，即证左边、右边都等于第三者；(3)比较法(作差，作比法)．2．技巧感悟：朝目标奔．常用的技巧有：(1)巧用“1”的代换；(2)12
化切为弦；(3)多项式运算技巧的应用(分解因式)．提醒：解决此类问题要有整体代换思想．3．求证：(1)＝；(2)2(sin6θ＋cos6θ)－3(sin4θ＋cos4θ)＋1＝0.[证明] (1)左边＝＝＝＝＝＝＝右边，∴原等式成立．(2)左边＝2[(sin2θ)3＋(cos2θ)3]－3(sin4θ＋cos4θ)＋1＝2(sin2θ＋cos2θ)(sin4θ－sin2θcos2θ＋cos4θ)－3(sin4θ＋cos4θ)＋1＝(2sin4θ－2sin2θcos2θ＋2cos4θ)－(3sin4θ＋3cos4θ)＋1＝－(sin4θ＋2sin2θcos2θ＋cos4θ)＋1＝－(sin2θ＋cos2θ)2＋1＝－1＋1＝0＝右边，∴原等式成立．12
1．思考辨析(1)对任意角α，＝tan都成立．( )(2)因为sin2π＋cos2＝1，所以sin2α＋cos2β＝1成立，其中α，β为任意角．( )(3)对任意角α，sinα＝cosα·tanα都成立．( )[提示] 由同角三角函数的基本关系知(2)错，由正切函数的定义域知α不能取任意角，所以(1)错，(3)错．[答案] (1)× (2)× (3)×2．已知tanα＝－，则的值是( )A. B．3 C．－ D．－3A [因为tanα＝－，所以＝＝＝.]3．已知α是第二象限角，tanα＝－，则cosα＝________.－ [因为＝－，且sin2α＋cos2α＝1，又因为α是第二象限角，所以cosα＜0，所以cosα＝－.]4．(1)化简，其中α是第二象限角．12
(2)求证：1＋tan2α＝.[解] (1)因为α是第二象限角，所以sinα＞0，cosα＜0，所以sinαcosα＜0，所以＝＝＝－sinαcosα.(2)证明：1＋tan2α＝1＋＝＝.12
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