资料简介
5.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)5.6.1 匀速圆周运动的数学模型5.6.2 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象学习目标核心素养1.理解参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响；能够将y＝sinx的图象进行变换得到y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象．(难点)2.能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，确定其解析式．(重点)3.求函数解析式时φ值的确定．(易错点)1.通过函数图象的变换，培养直观想象素养.2.借助函数的图象求解析式，提升数学运算素养.1．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响2．ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响3．A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响1．把函数y＝sinx的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式为( )13
A．y＝sinx－ B．y＝sinx＋C．y＝sinD．y＝sinD [根据图象变换的方法，y＝sinx的图象向左平移个单位长度后得到y＝sin的图象．]2．为了得到函数y＝4sin，x∈R的图象，只需将函数y＝4sin，x∈R的图象上的所有点( )A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变A [函数y＝4sin的图象上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝4sin的图象．]3．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋1(A＞0，ω＞0)的最大值为5，则A＝________.4 [由已知得A＋1＝5，故A＝4.]三角函数图象之间的变换【例1】 (1)将函数y＝cos的图象向左平移个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为________．13
(2)将y＝sinx的图象怎样变换可得到函数y＝2sin2x＋＋1的图象？[思路点拨] (1)依据左加右减；上加下减的规则写出解析式．(2)法一：y＝sinx→纵坐标伸缩→横坐标伸缩和平移→向上平移．法二：左右平移→横坐标伸缩→纵坐标伸缩→上下平移．(1)y＝－cos2x－3 [y＝cos的图象向左平移个单位长度，得y＝cos＝cos(2x＋π)＝－cos2x，再向下平移3个单位长度得y＝－cos2x－3的图象．](2)[解] 法一：(先伸缩法)①把y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sinx的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得y＝2sin2x的图象；③将所得图象沿x轴向左平移个单位，得y＝2sin2的图象；④将所得图象沿y轴向上平移1个单位，得y＝2sin＋1的图象．法二：(先平移法)①将y＝sinx的图象沿x轴向左平移个单位，得y＝sin的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得y＝sin的图象；③把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来2倍，得到y＝2sin的图象；④将所得图象沿y轴向上平移1个单位，得y＝2sin＋1的图象．由y＝sinx的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象，其变化途径有两条：13
(1)y＝sinxy＝sin(x＋φ)y＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)．(2)y＝sinxy＝sinωxy＝sin＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)．提醒：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换后相位变换，平移个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．1．(1)要得到y＝cos的图象，只要将y＝sin2x的图象( )A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位(2)把函数y＝f(x)的图象上各点向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的倍，所得图象的解析式是y＝2sin，则f(x)的解析式是( )A．f(x)＝3cosxB．f(x)＝3sinxC．f(x)＝3cosx＋3D．f(x)＝sin3x(1)A (2)A [(1)因为y＝cos＝sin＝sin＝sin2，13
所以将y＝sin2x的图象向左平移个单位，得到y＝cos的图象．(2)y＝2siny＝3siny＝3siny＝3sin＝3sin＝3cosx．]已知函数图象求解析式【例2】 (1)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋B的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为( )A．y＝2cos＋4B．y＝2cos＋4C．y＝4cos＋2D．y＝4cos＋2(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)中A＞0，ω＞0，|φ|＜，且图象如图所示，求其解析式．13
[思路点拨] 由最大(小)值求A和B，由周期求ω，由特殊点坐标解方程求φ.(1)A [由函数f(x)的最大值和最小值得A＋B＝6，－A＋B＝2，所以A＝2，B＝4，函数f(x)的周期为×4＝4π，又ω＞0，所以ω＝，又因为点在函数f(x)的图象上所以6＝2cos＋4，所以cos＝1，所以＋φ＝2kπ，k∈Z，所以φ＝2kπ－，k∈Z，又|φ|＜所以φ＝－，所以f(x)＝2cos＋4.](2)[解] 法一：(五点作图原理法)由图象知，振幅A＝3，T＝－＝π，所以ω＝2，又由点，根据五点作图原理(可判为“五点法”中的第一点)－×2＋φ＝0得φ＝，所以f(x)＝3sin.法二：(方程法)由图象知，振幅A＝3，T＝－＝π，所以ω＝2，又图象过点，所以f＝3sin＝0，13
所以sin＝0，－＋φ＝kπ(k∈Z)，又因为|φ|＜，所以k＝0，φ＝，所以f(x)＝3sin.法三：(变换法)由图象知，振幅A＝3，T＝－＝π，所以ω＝2，且f(x)＝Asin(ωx＋φ)是由y＝3sin2x向左平移个单位而得到的，解析式为f(x)＝3sin＝3sin.确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的关键是φ的确定，常用方法有：(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω已知)或代入图象与x轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口.“五点”的ωx＋φ的值具体如下：,“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；,“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；,“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；,“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；,“第五点”为ωx＋φ＝2π.2．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象与x轴的交点中，相邻两个交点的距离为，且图象上一个最低点为M，求f(x)的解析式．[解] 由最低点M，得A＝2.13
在x轴上两相邻交点之间的距离为，故＝，即T＝π，ω＝＝＝2.由点M在图象上得2sin＝－2，即sin＝－1，故＋φ＝2kπ－(k∈Z)，∴φ＝2kπ－(k∈Z)．又φ∈，∴φ＝.故f(x)＝2sin.三角函数图象与性质的综合应用[探究问题]1．如何求函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴方程？提示：与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y＝Asin(ω＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称轴通过函数图象的最值点且垂直于x轴．函数y＝Asin(ωx＋φ)对称轴方程的求法：令sin(ωx＋φ)＝±1，得ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴方程为x＝(k∈Z)；函数y＝Acos(ωx＋φ)对称轴方程的求法：令cos(ωx＋φ)＝±1，得ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称轴方程为x＝(k∈Z)．2．如何求函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝Acos(ωx＋φ)的对称中心？提示：与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)图象的对称中心即函数图象与x轴的交点．函数y＝Asin(ωx＋φ)对称中心的求法：令sin(ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点13
(k∈Z)成中心对称；函数y＝Acos(ωx＋φ)对称中心的求法：令cos(ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象关于点(k∈Z)成中心对称．【例3】 (1)已知函数f(x)＝sin(ω＞0)，若f＝f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝( )A. B.C. D.(2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ＜π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．[思路点拨] (1)先由题目条件分析函数f(x)图象的对称性，何时取到最小值，再列方程求ω的值．(2)先由奇偶性求φ，再由图象的对称性和单调性求ω.(1)B [因为f＝f，所以直线x＝＝是函数f(x)图象的一条对称轴，又因为f(x)在区间上有最小值，无最大值，所以当x＝时，f(x)取得最小值．所以ω＋＝2kπ－，k∈Z，解得ω＝8k－，(k∈Z)又因为T＝≥－＝，所以ω≤12，又因为ω＞0，所以k＝1，即ω＝8－＝.]13
(2)[解] 由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即函数f(x)的图象关于y轴对称，∴f(x)在x＝0时取得最值，即sinφ＝1或－1.依题设0≤φ＜π，∴解得φ＝.由f(x)的图象关于点M对称，可知sin＝0，即ω＋＝kπ，解得ω＝－，k∈Z.又f(x)在上是单调函数，所以T≥π，即≥π.∴ω≤2，又ω＞0，∴k＝1时，ω＝；k＝2时，ω＝2.故φ＝，ω＝2或.1．将本例(2)中“偶”改为“奇”，“其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数”改为“在区间上为增函数”，试求ω的最大值．[解] 因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝sinφ＝0，又0≤φ＜π，所以φ＝0.因为f(x)＝sinωx在上是增函数．所以⊆，于是，解得0＜ω≤，所以ω的最大值为.2．本例(2)中增加条件“ω＞1”，求函数y＝f2(x)＋sin2x，x∈13
的最大值．[解] 由条件知f(x)＝sin＝cos2x，由x∈得2x∈，sin2x∈y＝f2(x)＋sin2x＝cos22x＋sin2x＝1－sin22x＋sin2x＝－(sin2x－)2＋所以当sin2x＝时ymax＝.1．正弦余弦型函数奇偶性的判断方法正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇偶性．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ±(k∈Z)时为偶函数；对于函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ±(k∈Z)时为奇函数．2．与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧(1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．(2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asinz的单调区间而求出函数的单调区间．若ω＜0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间．1．准确理解“图象变换法”(1)由y＝sinx到y＝sin(x＋φ)的图象变换称为相位变换，由y＝sinx到y＝sinωx图象的变换称为周期变换；由y＝sinx到y＝Asinx图象的变换称为振幅变换．(2)由y＝sinx的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，13
其变换途径有两条，注意两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：①是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．②是先周期变换后相位变换，平移个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．(3)类似地y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象也可以由y＝cosx的图象变换得到．2．由y＝Asin(ωx＋φ)的图象性质或部分图象确定解析式的关键在于确定参数A，ω，φ.其基本方法是在观察图象的基础上，利用待定系数法求解.1．思考辨析(1)y＝sin3x的图象向左平移个单位所得图象的解析式是y＝sin.( )(2)y＝sinx的图象上所有点的横坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y＝sin2x.( )(3)y＝sinx的图象上所有点的纵坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y＝sinx．( )[提示] (1)错误．y＝sin3x的图象向左平移个单位得y＝sin＝sin.(2)错误．y＝sin2x应改为y＝sinx.(3)错误．y＝sinx应改为y＝2sinx.[答案] (1)× (2)× (3)×2．函数y＝cosx图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cosωx，则ω的值为________．13
[函数y＝cosxy＝cosx.所以ω＝.]3．由y＝3sinx的图象变换到y＝3sin的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移________个单位，后者需向左平移________个单位． [y＝3sinxy＝3siny＝3sin，y＝3sinxy＝3siny＝3sin＝3sin.]4．已知函数f(x)＝3sin＋3(x∈R)，用图象变换法画出它在一个周期内的闭区间上的图象．[解]13
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