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5.4 三角函数的图象与性质5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象学习目标核心素养1.了解由单位圆和正、余弦函数定义画正弦函数、余弦函数图象的步骤，掌握“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象的方法．(重点)2．正、余弦函数图象的简单应用．(难点)3．正、余弦函数图象的区别与联系．(易混点)1.通过做正弦、余弦函数的图象，培养直观想象素养．2．借助图象的综合应用，提升数学运算素养.1．正弦曲线正弦函数y＝sinx，x∈R的图象叫正弦曲线．2．正弦函数图象的画法(1)几何法：①利用单位圆画出y＝sinx，x∈[0,2π]的图象；②将图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)．(2)五点法：①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)，用光滑的曲线连接；②将所得图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)．3．余弦曲线10
余弦函数y＝cosx，x∈R的图象叫余弦曲线．4．余弦函数图象的画法(1)要得到y＝cosx的图象，只需把y＝sinx的图象向左平移个单位长度即可．(2)用“五点法”画余弦曲线y＝cosx在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．思考：y＝cosx(x∈R)的图象可由y＝sinx(x∈R)的图象平移得到的原因是什么？提示：因为cosx＝sin，所以y＝sinx(x∈R)的图象向左平移个单位可得y＝cosx(x∈R)的图象．1．用五点法画y＝3sinx，x∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点( )A. B.C．(π，0)D．(2π，0)A [五个关键点的横坐标依次是0，，π，，2π.]2．函数y＝cosx与函数y＝－cosx的图象( )A．关于直线x＝1对称B．关于原点对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称C [由解析式可知y＝cosx的图象过点(a，b)，则y＝－cosx的图象必过点(a，－b)，由此推断两个函数的图象关于x轴对称．]3．请补充完整下面用“五点法”作出y＝－sinx(0≤x≤2π)的图象时的列表．10
x0①2π－sinx②－10③0①________；②________；③________.π 0 1 [用“五点法”作y＝－sinx(0≤x≤2π)的图象的五个关键点为(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)故①为π，②为0，③为1.]4．函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－的交点有________个．2 [由图象可知：函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－有两个交点．]正弦函数、余弦函数图象的初步认识【例1】 (1)下列叙述正确的是( )①y＝sinx，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称；②y＝cosx，x∈[0,2π]的图象关于直线x＝π成轴对称；③正、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围．A．0 B．1个 C．2个 D．3个(2)函数y＝sin|x|的图象是( )(1)D (2)B [(1)分别画出函数y＝sinx，x∈[0,2π]和y＝cosx，x∈[0,2π]的图象，由图象(略)观察可知①②③均正确．10
(2)y＝sin|x|＝结合选项可知选B.]1．解决正、余弦函数的图象问题，关键是要正确的画出正、余弦曲线．2．正、余弦曲线的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到．3．正、余弦曲线的对称性对称中心对称轴y＝sinx(x∈R)(kπ，0)，k∈Zx＝kπ＋，k∈Zy＝cosx(x∈R)，k∈Zx＝kπ，k∈Z提醒：对称中心处函数值为0，对称轴处函数值为－1或1.1．关于三角函数的图象，有下列说法：①y＝sinx＋1.1的图象与x轴有无限多个公共点；②y＝cos(－x)与y＝cos|x|的图象相同；③y＝|sinx|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称；④y＝cosx与y＝cos(－x)的图象关于y轴对称．其中正确的序号是________．②④ [对②，y＝cos(－x)＝cosx，y＝cos|x|＝cosx，故其图象相同；对④，y＝cos(－x)＝cosx，故其图象关于y轴对称；作图(略)可知①③均不正确．]用“五点法”作三角函数的图象【例2】 用“五点法”作出下列函数的简图．(1)y＝1－sinx(0≤x≤2π)；(2)y＝－1＋cosx(0≤x≤2π)．[思路点拨] →→10
[解] (1)①取值列表如下：x0π2πsinx010－101－sinx10121②描点连线，如图所示.(2)①取值列表如下：x0π2πcosx10－101－1＋cosx0－1－2－10②描点连线，如图所示．用“五点法”画函数y＝Asinx＋b(A≠0)或y＝Acosx＋b(A≠0)在[0,2π]上简图的步骤(1)列表：x0π2π10
sinx(或cosx)0(或1)1(或0)0(或－1)－1(或0)0(或1)yb(或A＋b)A＋b(或b)b(或－A＋b)－A＋b(或b)b(或A＋b)(2)描点：在平面直角坐标系中描出五个点(0，y1)，，(π，y3)，，(2π，y5)，这里的yi(i＝1,2,3,4,5)值是通过函数解析式计算得到的．(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，就得到正(余)弦函数y＝Asinx＋b(y＝Acosx＋b)(A≠0)的图象．提醒：作图象时，函数自变量要用弧度制，x轴、y轴上尽量统一单位长度．2．用“五点法”画出函数y＝＋sinx，x∈[0,2π]的图象．[解] 取值列表如下：x0π2πsinx010－10＋sinx－描点，并将它们用光滑的曲线连接起来．(如图).正弦(余弦)函数图象的应用[探究问题]1．方程sinx＝x的实根个数有多少个？10
提示：在同一坐标系内分别作出y＝sinx，y＝x图象(略)可知在x∈[0,1]内，sinx1时不会相交，所以方程只有一个实根为0.2．函数f(x)＝－cosx在[0，＋∞)内有多少个零点？提示：令f(x)＝0，所以＝cosx，分别作出y＝，y＝cosx的图象(略)，可知两函数只有一个交点，所以f(x)在[0，＋∞)内只有一个零点．【例3】 (1)函数y＝的定义域为________．(2)在同一坐标系中，作函数y＝sinx和y＝lgx的图象，根据图象判断出方程sinx＝lgx的解的个数．[思路点拨] (1)→→(2)→→→(1) [由2sinx－1≥0得sinx≥，画出y＝sinx的图象和直线y＝.可知sinx≥的解集为.](2)[解] 建立平面直角坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sinx，x∈R的图象．描出点(1,0)，(10,1)，并用光滑曲线连接得到y＝lgx的图象，如图所示．由图象可知方程sinx＝lgx的解有3个．]1．本例(1)中的“sinx”改为“cosx”，应如何解答？10
[解] 由2cosx－1≥0得cosx≥，画出y＝cosx的图象和直线y＝.观察图象可知cosx≥的解集是.2．本例(1)中函数改为y＝lg＋，应如何解答？[解]要使原函数解析式有意义，必须满足＜sinx≤.首先作出y＝sinx在[0,2π]上的图象，如图所示，作直线y＝，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sinx，x∈[0,2π]的交点横坐标为和；作直线y＝，该直线与y＝sinx，x∈[0,2π]的交点横坐标为和.观察图象可知，在[0,2π]上，当＜x≤或≤x＜时，不等式＜sinx≤成立，所以＜sinx≤的解集为或.1．用三角函数的图象解sinx＞a(或cosx＞a)的方法(1)作出y＝a，y＝sinx(或y＝cosx)的图象．(2)确定sinx＝a(或cosx＝a)的x值．10
(3)确定sinx＞a(或cosx＞a)的解集．2．利用三角函数线解sinx＞a(或cosx＞a)的方法(1)找出使sinx＝a(或cosx＝a)的两个x值的终边所在的位置．(2)根据变化趋势，确定不等式的解集．1．作正、余弦函数的图象可以借助单位圆，用几何法作出，也可以用“五点法”作出简图．2．“五点法”是一种作图思想或策略，它不只限于画正弦函数、余弦函数的简图，也可用于画复合型正、余弦函数的简图．3．由三角函数图象求三角不等式的解集，是另一种数形结合的思想方法，它常化归为三角函数图象位于某直线上方(或下方)的问题．结合图象就可以写出其规律.1．思考辨析(1)正弦函数y＝sinx的图象在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同．( )(2)正弦函数y＝sinx(x∈R)的图象关于x轴对称．( )(3)余弦函数y＝cosx(x∈R)的图象关于原点成中心对称．( )[提示] 由y＝sinx(x∈R)图象可知(1)正确，(2)错误；由y＝cosx(x∈R)图象可知(3)错误．[答案] (1)√ (2)× (3)×2．函数y＝sinx，x∈[0，π]的图象与直线y＝0.99的交点有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个B [观察图象(略)易知：有两个交点．]3．不等式组的解集是________．(π，5] [当≤x≤π时0≤sinx≤1，当π＜x≤5时sinx＜0，所以原不等式的解集为(π，5]．]10
4．用“五点法”画出y＝－2cosx＋3(0≤x≤2π)的简图．[解] 列表：x0π2π－2cosx－2020－2－2cosx＋313531描点、连线得出函数y＝－2cosx＋3(0≤x≤2π)的图象：10
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