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同角三角函数基本关系和诱导公式的应用【例1】 (1)已知sin(－π＋θ)＋2cos(3π－θ)＝0，则＝________.(2)已知f(α)＝.①化简f(α)；②若f(α)＝，且＜α＜，求cosα－sinα的值；③若α＝－，求f(α)的值．[思路点拨] 先用诱导公式化简，再用同角三角函数基本关系求值．12
(1) [由已知得－sinθ－2cosθ＝0，故tanθ＝－2，则＝＝＝.](2)[解] ①f(α)＝＝sinα·cosα.②由f(α)＝sinα·cosα＝可知，(cosα－sinα)2＝cos2α－2sinα·cosα＋sin2α＝1－2sinα·cosα＝1－2×＝，又∵＜α＜，∴cosα＜sinα，即cosα－sinα＜0，∴cosα－sinα＝－.③∵α＝－π＝－6×2π＋，∴f＝cos·sin＝cos·sin＝cos·sin＝×＝.1．将本例(2)中“”改为“－”“＜α＜”改为“－＜α＜0”求cosα＋sinα.[解] 因为－＜α＜0，所以cosα＞0，sinα＜0且|cosα|＞|sinα|，所以cosα＋sinα＞0，又(cosα＋sinα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋2×＝，所以cosα＋sinα＝12
.2．将本例(2)中的用tanα表示.[解] ＝＝＝.1．牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及＝tanα，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧．比如：已知sinα±cosα的值，可求cosαsinα.注意应用(cosα±sinα)2＝1±2sinαcosα.2．诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．三角函数的图象变换问题【例2】 (1)已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin，则下面结论正确的是( )A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C212
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2(2)将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A. B.C．0D．－(1)D (2)B [(1)因为y＝sin＝cos＝cos，所以曲线C1：y＝cosx上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线y＝cos2x，再把得到的曲线y＝cos2x向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos2＝cos.故选D.(2)y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位后得y＝sin＝sin.若该函数为偶函数，则＋φ＝kπ＋，k∈Z，故φ＝kπ＋.当k＝0时φ＝.故选B.]1．函数y＝sinx的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R图象的两种方法12
2．对称变换(1)y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象．(2)y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象．(3)y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象．1．将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为( )A．y＝2sinB．y＝2sinC．y＝2sinD．y＝2sinD [函数y＝2sin的周期为π，将函数y＝2sin12
的图象向右平移个周期即个单位长度，所得图象对应的函数为y＝2sin＝2sin，故选D.]三角函数的性质【例3】 (1)若函数f(x)＝3sin(2x＋θ)(0＜θ＜π)是偶函数，则f(x)在[0，π]上的单调递增区间是( )A.B.C.D.(2)已知函数f(x)＝2sin＋a＋1(其中a为常数)．①求f(x)的单调区间；②若x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值．[思路点拨] (1)先根据函数f(x)是偶函数，求θ，再依据单调性求增区间，最后与[0，π]求交集．(2)①由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z求增区间，由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z求减区间．②先求f(x)的最大值，得关于a的方程，再求a的值．(1)B [因为函数f(x)＝3sin(2x＋θ)(0＜θ＜π)是偶函数，所以θ＝，f(x)＝3sin＝3cos2x，令2kπ－π≤2x≤2kπ，得kπ－≤x≤kπ，可得函数f(x)的增区间为，k∈Z，12
所以f(x)在[0，π]上的单调递增区间为.](2)[解] ①由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，∴函数f(x)的单调增区间为(k∈Z)，由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，∴函数f(x)的单调减区间为(k∈Z)．②∵0≤x≤，∴≤2x＋≤，∴－≤sin≤1，∴f(x)的最大值为2＋a＋1＝4，∴a＝1.1．求本例(2)中函数y＝f(x)，x∈R取最大值时x的取值集合．[解] 当f(x)取最大值时，2x＋＝＋2kπ，∴2x＝＋2kπ，∴x＝＋kπ，k∈Z.∴当f(x)取最大值时，x的取值集合是.2．在本例(2)的条件下，求不等式f(x)＜1的解集．[解] 由f(x)＜1得2sin＋2＜1，所以sin＜－所以2kπ－＜2x＋＜2kπ－，k∈Z.解得kπ－＜x＜kπ－，k∈Z.12
所以不等式f(x)＜1的解集为.三角恒等变换的综合应用【例4】 已知函数f(x)＝sinsinx－cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在上的单调性．[解] (1)f(x)＝sinsinx－cos2x＝cosxsinx－(1＋cos2x)＝sin2x－cos2x－＝sin－，因此f(x)的最小正周期为π，最大值为.(2)当x∈时，0≤2x－≤π，从而当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增，当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在上单调递增；在上单调递减．三角函数的图象和性质是三角函数的重要内容.如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质.(1)求三角函数的值域、单调区间、图象变换、周期性、对称性等问题，一般先要通过三角恒等变换将函数表达式变形为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝12
Acos(ωx＋φ)＋k等形式，让角和三角函数名称尽量少，然后再根据正、余弦函数基本性质和相关原理进行求解.(2)要注意三角恒等变换中由于消项、约分、合并等原因，函数定义域往往会发生一些变化，所以一定要在变换前确定好原三角函数的定义域，并在这个定义域内分析问题.2．已知函数f(x)＝.(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递减区间．[解] (1)由sinx≠0得x≠kπ(k∈Z)，故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．因为f(x)＝＝2cosx(sinx－cosx)＝sin2x－cos2x－1＝sin－1，所以f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)函数y＝sinx的单调递减区间为2kπ＋，2kπ＋(k∈Z)．由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．三角函数的平面几何中的应用12
【例5】 直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为2米，过点P的一直线与走廊的外侧两边交于A，B两点，且与走廊的一边的夹角为θ.(1)将线段AB的长度l表示为θ的函数；(2)一根长度为5米的铁棒能否水平(即铁棒与地面平行)通过该直角走廊？并说明理由．(铁棒的粗细忽略不计)[思路点拨] (1)长度l可分成PA，PB两段分别用θ表示．(2)判断铁棒能否水平通过该直角走廊需要比较铁棒长度与AB长度的最小值．[解] (1)由题意可知：l＝＋＝，其中0＜θ＜.(2)l＝，设t＝sinθ＋cosθ＝sin，因为0＜θ＜，所以＜θ＋＜，所以t∈(1，]，所以l＝＝.12
因为t－在(1，]上是增函数，所以t－的最大值为，所以l＝的最小值为4.因为4＞5，所以长度为5米的铁棒能水平通过该直角走廊．三角函数的实际应用多与最值有关，解决这类问题的一般步骤如下：(1)审读题意，合理地选取“角”为自变量，建立三角函数关系式.(2)利用和、差、倍、半角公式进行化简整理，通常要整理为y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式.(3)在符合实际问题意义的情形下求目标式的最值.3．福建沿海的超强台风过后，当地人民积极恢复生产，焊接工王师傅每天都很忙碌．今天他遇到了一个难题：如图所示，有一块扇形钢板，半径为1米，圆心角θ＝，施工要求按图中所画的那样，在钢板OPQ上裁下一块平行四边形钢板ABOC，要求使裁下的钢板面积最大．试问王师傅如何确定A的位置，才能使裁下的钢板符合要求？最大面积为多少？[解] 连接OA，设∠AOP＝α，过A作AH⊥OP，垂足为点H，在Rt△AOH中，OH＝cosα，AH＝sinα，所以BH＝＝sinα，所以OB＝OH－BH＝cosα－sinα，设平行四边形ABOC的面积为S，则S＝OB·AH＝·sinα＝sinαcosα－sin2α＝sin2α－(1－cos2α)＝sin2α＋cos2α－＝－12
＝sin－.由于0＜α＜，所以＜2α＋＜π，当2α＋＝，即α＝时，Smax＝－＝，所以当A是的中点时，所裁钢板的面积最大，最大面积为平方米．12
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