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第五章三角函数5.5.2简单的三角恒等变换1.能用二倍角公式导出半角公式,体会其中的三角恒等变换的基本思想方法,以及进行简单的应用.2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧,掌握三角恒等变换的基本思想方法,能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用.重点:能用二倍角公式导出半角公式及进行简单的应用.难点:能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用.1.你能填写出下面我们学习了的公式吗?;;。提出问题学习了和(差)角公式、二倍角公式以后,我们就有了进行三角恒等变换的新工具,从而使三角恒等变换的内容、思路和方法更加丰富.例7 试以表示,,例8 求证:(1),
(2)例8的证明用到了换元的方法.如把看作θ,看作,从而把包含的三角函数式转化为θ,的三角函数式.或者,把看作,cos看作,把等式看作,的方程,则原问题转化为解方程(组)求.它们都体现了化归思想.例9求下列函数的周期,最大值和最小值:(1); (2).例10 如图5.5-2,已知OPQ是半径为1,圆心角为的扇形,C是扇形弧上的动点,ABCD是扇形的内接矩形.记∠COP=α,求当角α取何值时,矩形ABCD的面积最大?并求出这个最大面积.1.若cosα=,α∈(0,π),则cos的值为( )A. B.-C.D.-2.已知cosα=,α∈,则sin等于( )A.B.-C.D.3.已知sinα-cosα=-,则sin2α的值等于( )A.B.-C.-D.4.函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为________.
5.求证:4sinθcos2=2sinθ+sin2θ.6、如图所示,要把半径为R的半圆形木料截成长方形,应怎样截取,才能使△OAB的周长最大?1.知识:如何采用两角和或差的正余弦公式进行合角,借助三角函数的相关性质求值.其中三角函数最值问题是对三角函数的概念、图像和性质,以及诱导公式、同角三角函数基本关系、和(差)角公式的综合应用,也是函数思想的具体体现.如何科学的把实际问题转化成数学问题,如何选择自变量建立数学关系式;求解三角函数在某一区间的最值问题.2.思想:本节课通过由特殊到一般方式把关系式化成的形式,可以很好地培养学生探究、归纳、类比的能力.通过探究如何选择自变量建立数学关系式,可以很好地培养学生分析问题、解决问题的能力和应用意识,进一步培养学生的建模意识.[来源:学参考答案:一、知识梳理二、学习过程例7 解:是的二倍角.在倍角公式中,以代替,以代替,得,所以=,①在倍角公式-1中,以代替,以代替,得-1,所以=,②
将①②两个等式的左右两边分别相除,得=例8 证明:(1)因为=+=将以上两式的左右两边分别相加,得+=①即(2)由(1)可得+=设,把,代入①,即得例9分析:便于求周期和最大值、最小值的三角函数式是,利用和角公式将其展开,可化为)的形式.反之,利用和(差)角公式,可将转化为的形式,进而就可以求得其周期和最值了.解:(1)=2()①=2()=2因此,所求周期为2,最大值为2,最小值为-2.你能说说①这一步变形的理由吗?(2)设,则=.于是
所以=25.取A=5,则,.由可知,所求周期为2,最大值为5,最小值为-5例10 分析:要求当角a取何值时,矩形ABCD的面积S最大,可分二步进行.①找出S与a之间的函数关系;②由得出的函数关系,求S的最大值.解:在中,,.在中,,所以,,所以,.设矩形的面积为,则.对于第二步求具体值,要首先确定变量的取值范围:由,得.所以当,即时,因此,当时,矩形的面积最大,最大面积为.
注:(1)在求解最大值时,要特别注意“”这一隐含条件;(2)应用问题转化为数学问题,最后要回归到实际问题.三、达标检测1.【解析】 由题意知∈,∴cos>0,cos==.【答案】 C2.【解析】 由题知∈,∴sin>0,sin==.【答案】 A3.【解析】 由sinα-cosα=-,(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=1-sin2α=,所以sin2α=-.【答案】 C4.【解析】 ∵y=sin2x+cos2x=sin2x+cos2x+=sin+,∴函数的最小正周期T==π.【答案】 π5.【证明】 法一:左边=2sinθ·2cos2=2sinθ(1+cosθ)=2sinθ+2sinθcosθ=2sinθ+sin2θ=右边,所以原式成立.法二:右边=2sinθ+2sinθcosθ=2sinθ(1+cosθ)=2sinθ·2cos2=4sinθcos2=左边,所以原式成立.6、【精彩点拨】 →→【解答】 设∠AOB=α,△OAB的周长为l,则AB=Rsinα,OB=Rcosα,∴l=OA+AB+OB=R+Rsinα+Rcosα
=R(sinα+cosα)+R=Rsin+R.∵0
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