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第五章三角函数5.4.1正弦函数、余弦函数的图像1.了解正弦函数、余弦函数图象的来历,掌握“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象的方法.2.正、余弦函数图象的简单应用.3.正、余弦函数图象的区别与联系.重点:理解并掌握用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象的方法。难点:理解作余弦函数的图象的方法。教材整理1 正弦曲线和余弦曲线1.可以利用单位圆中的______线作y=sinx,x∈[0,2π]的图象.2.y=sinx,x∈[0,2π]的图象向____、____平行移动(每次2π个单位长度),就可以得到正弦函数y=sinx,x∈R的图象.3.正弦函数y=sinx,x∈R的图象和余弦函数y=cosx,x∈R的图象分别叫做__________和__________.教材整理2 正弦曲线和余弦曲线“五点法”作图1.“五点法”作图的一般步骤是⇒⇒.提出问题下面先研究函数,∈R的图象,从画函数,∈[0,2π]的图象开始.在[0,2π]上任取一个值,如何利用正弦函数的定义,确定正弦函数值并画出点T(,)?问题探究如图5.4.1,在直角坐标系中画出以原点O为圆心的单位圆,⊙O与x轴正半轴的交点为A(1,0).在单位圆上,将点A绕着点O旋转弧度至点B,根据正弦函数的定义,点B的纵坐标.由此,以为横坐标,为纵坐标画点,即得到函数图象上的点T(,). 若把x轴上从0到2π这一段分成12等份,使的值分别为,,,…2π,它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分,再按上述画点T(,)的方法,就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点(图5.4.2).事实上,利用信息技术,可使在区间[0,2π]上取到足够多的值而画出足够多的点T(,),将这些点用光滑的曲线连接起来,可得到比较精确的函数,∈[0,2π]的图象.根据函数,∈[0,2π]的图象,你能想象函数,∈R的图象吗?由诱导公式一可知,函数,∈[2kπ,2(k+1)π],k∈Z且k≠0的图象与,∈[0,2π]的图象形状完全一致.因此将函数,∈ [0,2π]的图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度),就可以得到正弦函数,∈R的图象(图5.4.4).正弦函数的图象叫做正弦曲线(sinecueve),是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线.思考:在确定正弦函数的图象形状时,应抓住哪些关键点?观察图5.4.3,在函数,∈[0,2π]的图象上,以下五个点:在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点,函数,∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此,在精确度要求不高时,常先找出这五个关键点,再用光滑的曲线将它们连接起来,得到正弦函数的简图.这种近似的“五点(画图)法”是非常实用的.由三角函数的定义可知,正弦函数、余弦函数是一对密切关联的函数.下面我们利用这种关系,借助正弦函数的图象画出余弦函数的图象.思考:你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系,通过怎样的图形变换,才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象?对于函数,由诱导公式得,∈R.而函数∈R的图象可以通过正弦函数,∈R的图象向左平移个单位长度而得到.所以,将正弦函数的图象向左平移个单位长度,就得到余弦函数的图象,如图5.4.5所示.你能说明理由吗?余弦函数,∈R的图象叫做余弦曲线(cosinecurve).它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线. 类似于用“五点法”画正弦函数图象,找出余弦函数在区间[-π,π]上相应的五个关键点,将它们的坐标填入表5.4.1,然后画出,∈[-π,π]的简图例1、用“五点法”作出下列函数的简图.(1)y=1+sinx,x∈[0,2π];(2)y=-cosx,x∈[0,2π].【精彩点拨】 在[0,2π]上找出五个关键点,用光滑的曲线连接即可.在直角坐标系中描出五点,然后用光滑曲线顺次连接起来,就得到y=1+sinx,x∈[0,2π]的图象.你能利用函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象,通过图象变换得到y=1+sinx,x∈[0,2π]的图象吗?同样地,利用函数y=cosx,x∈[0,2π]图象,通过怎样的图象变换就能得到函数y=-cosx,x∈[0,2π]的图象?方法与规律1.“五点法”是作三角函数图象的常用方法,“五点”即函数图象最高点、最低点与x轴的交点.2.列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节,注意用光滑的曲线连接五个关键点.1.以下对于正弦函数y=sinx的图象描述不正确的是(  )A.在x∈[2kπ,2kπ+2π],k∈Z上的图象形状相同,只是位置不同B.关于x轴对称C.介于直线y=1和y=-1之间D.与y轴仅有一个交点2.用“五点法”作函数y=cos2x,x∈R的图象时,首先应描出的五个点的横坐标是(  )A.0,,π,,2π   B.0,,,,πC.0,π,2π,3π,4πD.0,,,,3.点M在函数y=sinx的图象上,则m等于(  )A.0B.1C.-1D.24.函数y=cosx与函数y=-cosx的图象(  ) A.关于直线x=1对称B.关于原点对称C.关于x轴对称D.关于y轴对称5.方程x2-cosx=0的实数解的个数是__________.6.用“五点法”画出y=cos,x∈[0,2π]的简图.1.正、余弦函数的图象每相隔2π个单位重复出现,因此,只要记住它们在[0,2π]内的图象形态,就可以画出正弦曲线和余弦曲线.2.作与正、余弦函数有关的函数图象,是解题的基本要求,用“五点法”作图是常用的方法.参考答案:一、知识梳理正弦;左;右;正弦曲线;余弦曲线;列表;描点;连线二、学习过程1+sinx12101例1【解析】 (1)列表:(2)列表:x0ππ2πcosx10-101-cosx-1010-1描点连线,如图 三、达标检测1.【解析】 观察y=sinx的图象可知A,C,D正确,且关于原点中心对称,故选B.【答案】 B2.【解析】 令2x=0,,π,和2π,得x=0,,,,π,故选B.【答案】 B3.【解析】 由题意-m=sin,∴-m=1,∴m=-1.【答案】 C4.【解析】 作出函数y=cosx与函数y=-cosx的简图(略),易知它们关于x轴对称,故选C.【答案】 C5.【解析】 作函数y=cosx与y=x2的图象,如图所示,由图象,可知原方程有两个实数解.【答案】 26.【解】 由诱导公式得y=cos=-sinx,(1)列表: x0π2π-sinx0-1010(2)描点:在坐标系内描出点(0,0),,(π,0),,(2π,0).(3)作图:将上述五点用平滑的曲线顺次连接起来. 查看更多

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