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第五章三角函数5.4.2正弦函数、余弦函数的性质1.了解周期函数、周期、最小正周期的含义．2.掌握y＝sinx(x∈R)，y＝cosx(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值．3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期，单调区间及最值．重点：y＝sinx(x∈R)，y＝cosx(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值．难点：会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期，单调区间及最值．1．函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个____________，使得当x取定义域内的________值时，都有____________，那么函数f(x)就叫做周期函数，_________叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个____________，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．2．两种特殊的周期函数(1)正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是___.(2)余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是___.2.正、余弦函数的奇偶性1．对于y＝sinx，x∈R恒有sin(－x)＝－sinx，所以正弦函数y＝sinx是____函数，正弦曲线关于______对称．2．对于y＝cosx，x∈R恒有cos(－x)＝cosx，所以余弦函数y＝cosx是____函数，余弦曲线关于________对称．3.正、余弦函数的单调性与最值不同处图象奇偶性____函数____函数单调性在(k∈Z在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是________；在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上________
)上是________；在(k∈Z)上是________不同处对称轴x＝kπ＋(k∈Z)x＝kπ(k∈Z)对称中心(kπ，0)(k∈Z)(k∈Z)最值x＝___________时，ymax＝1；x＝___________时，ymin＝－1x＝_____时，ymax＝1；xx＝______时，ymin＝－1提出问题类比以往对函数性质的研究，你认为应研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？观察它们的图象，你能发现它们具有哪些性质？问题探究根据研究函数的经验，我们要研究正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、最大（小）值等．另外，三角函数是刻画“周而复始”现象的数学模型，与此对应的性质是特别而重要的．观察正弦函数的图象，可以发现，在图象上，横坐标每隔2π个单位长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律．实际上，这一点既可从定义中看出，也能从诱导公式（k∈Z）中得到反映，即自变量的值增加2π整数倍时所对应的函数值，与所对应的函数值相等．数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律．1.周期性一般地，对于函数,如果存在一个非零常数T，使得当取定义域内的每一个值时，都有那么函数就叫做周期函数（periodicfunction）．非零常数T叫做这个函数的周期（period）．周期函数的周期不止一个．例如，２π，４π，６π，…以及－２π，－４π，－６π，…都是正弦函数的周期．事实上，且≠０，常数都是它的周期．如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期（minimalpositiveperiod）．
根据上述定义，我们有：正弦函数是周期函数，（k∈Z且k≠０）都是它的周期，最小正周期是２π．类似地，余弦函数也是周期函数，（k∈Z且k≠０）都是它的周期，最小正周期是２π．典例解析例2．求下列三角函数的周期：(1)y＝3sinx，x∈R；(2)y＝cos2x，x∈R；（3）x∈R;2.奇偶性观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到正弦曲线关于原点犗对称，余弦曲线关于x轴对称．这个事实，也可由诱导公式=；=得到．所以正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．知道一个函数具有周期性和奇偶性，对研究它的图象与性质有什么帮助?做一做1．(1)函数f(x)＝sin2x的奇偶性为( )A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数(2)判断函数f(x)＝sin的奇偶性．3.单调性由于正弦函数是周期函数，我们可以先在它的一个周期的区间（如）上讨论它的单调性，再利用它的周期性，将单调性扩展到整个定义域．观察图5.4-8，可以看到：当由增大到时，曲线逐渐上升，的值由-1增大到1；当由增大到时，曲线逐渐下降，的值由1减小到-1．
的值的变化情况如表5.4.2所示：就是说，在区间上单调递增，上单调递减，有正弦函数的周期性可得；正弦函数在每一个闭区间（k∈Z）上都单调递增,其值从-1增大到1;在每一个闭区间（k∈Z）上都单调递减,其值从1减小到-1．类似地，观察余弦函数在一个周期区间（如）上函数值的变化规律，将看到的函数值的变化情况填入表5.4.3由此可得，,在区间上单调递增，其值从-1增大到1；上单调递增，余弦函数在每一个闭区间,上都单调递增，其值从-1增大到1；在每一个闭区间 ,上都单调递减，其值从1减小到-1．函数名递增区间递减区间y=sinxy=cosx４.最大值与最小值
从上述对正弦函数、余弦函数的单调性的讨论中容易得到，正弦函数当且仅当＝时,取得最大值１，当且仅当＝ 时,取得最小值－１；余弦函数当且仅当＝ 时,取得最大值１，当且仅当＝ 时,取得最小值－１．例3.下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时自变量的集合，并求出最大值、最小值．（１），∈R；（２），∈R．例4.不通过求值，指出下列各式的大小：(1);(2)cos;cos例5.求函数,∈［－２π，２π］的单调递增区间．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若sin(60°＋60°)＝sin60°，则60°为正弦函数y＝sinx的一个周期．( )(2)若T是函数f(x)的周期，则kT，k∈N*也是函数f(x)的周期．( )(3)函数y＝sinx，x∈(－π，π]是奇函数．( )2.函数f(x)＝sin，x∈R的最小正周期为( )A. B．πC．2πD．4π3.函数f(x)＝sin的一个递减区间是( )A.B．[－π，0]C.D.4．比较下列各组数的大小：(1)cos150°与cos170°；(2)sin与sin.
1.正弦、余弦函数的奇偶性、单调性2.求函数的单调区间：（1）.直接利用相关性质；（2）复合函数的单调性；（3）利用图象寻找单调区间参考答案：一、知识梳理1最小的正数;2π;2π2奇;原点;偶;y轴3奇；偶；增函数；减函数；增函数；减函数；2kπ＋(k∈Z)；2kπ－(k∈Z)；2kπ＋π；2kπ二、学习过程例2．分析：通常可以利用三角函数的周期性，通过代数变形，得出等式而求出相应的周期．对于（２），应从余弦函数的周期性出发，通过代数变形得出，x∈R；对于（３），应从正弦函数的周期性出发，通过代数变形得出=,x∈R；【解】(1)，有3sin(x＋π)＝3sinx，由周期函数的定义知，y＝3sinx的周期为2π.(2)令，由，得，且的周期为2π.即因为cos(z＋2π)＝cosz，于是cos(2x＋2π)＝cos2x，所以cos2(x＋π)＝cos2x，由周期函数的定义知，y＝cos2x的周期为π.令,由得Z且的周期为即周期为2π.即，,于是，所以由周期函数的定义知，原函数的周期为4π.回顾例２的解答过程，你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？做一做：【答案】 A【解析】 (1)∵f(x)的定义域是R，且f(－x)＝sin2(－x)＝－sin2x＝－f(x)，∴函数为奇函数．
(2)∵f(x)＝sin＝－cosx，∴f(－x)＝－cos＝－cosx，∴函数f(x)＝sin为偶函数.例3.解：容易知道，这两个函数都有最大值、最小值．（１）使函数，∈R取得最大值的狓的集合，就是使函数，∈R，取得最大值的的集合｛｜＝2kπ，k∈Z｝；使函数，∈R，取得最小值的狓的集合，就是使函数，∈R取得最小值的的集合｛｜＝（2k+1）π，k∈Z｝．函数，∈R的最大值是１＋１＝２；最小值是－１＋１＝０．(2)解：令z＝2，使函数），z∈R取得最大值的z的集合，就是使，z∈R取得最小值的z的集合｛z｜＝-+2kπ，k∈Z｝由z＝2＝-+2kπ，得＝-+kπ．所以，使函数，∈R取得最大值的的集合是｛｜＝-+kπ,k∈Z｝．同理，使函数，∈R取得最小值的的集合是｛｜＝+kπ,k∈Z｝．函数，∈R的最大值是３，最小值是－３．例4.分析：可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小．为此，先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小．解：（１）因为-
，所以(2)解：cos=cos=cos；coscos=cos因为，所以coscos；cos例5.分析：令=当自变量的值增大时，的值也随之增大，因此若函数在某个区间上单调递增，则在相应的区间上也一定单调递增．解：令=，∈［-２π，２π］，则∈因为，∈的单调递增区间是∈，且由，得．所以，函数,，∈［-２π，２π］的单调递增区间是三、达标检测1．【解析】 (1)×.举反例，sin(40°＋60°)≠sin40°，所以60°不是正弦函数y＝sinx的一个周期．(2)√.根据周期函数的定义知，该说法正确．(3)×.因为定义域不关于原点对称．【答案】 (1)× (2)√ (3)×2.【解析】 因为sin＝sin＝sin，即f(x＋4π)＝f(x)，所以函数f(x)的最小正周期为4π.【答案】 D3.【解析】 令x＋∈，k∈Z，得x∈，k∈Z，
k＝0时，区间是函数f(x)的一个单调递减区间，而⊆.故选D.【答案】 D4．【解】 (1)因为90°
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