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5.3.2 命题、定理、证明基础题知识点1 命题的定义及结构1．下列语句中，是命题的是(A)①若∠1＝60°，∠2＝60°，则∠1＝∠2；②同位角相等吗？③画线段AB＝CD；④如果a>b，b>c，那么a>c；⑤直角都相等．A．①④⑤B．①②④C．①②⑤D．②③④⑤2．把“垂直于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式是如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．3．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并分别指出它们的题设和结论：(1)两点确定一条直线；(2)同角的补角相等；(3)两个锐角互余．解：(1)如果在平面上有两个点，那么过这两个点能确定一条直线．题设：在平面上有两个点；结论：过这两个点能确定一条直线．(2)如果两个角是同角的补角，那么它们相等．题设：两个角是同角的补角；结论：这两个角相等．(3)如果两个角是锐角，那么这两个角互余．题设：两个角是锐角；结论：这两个角互余．知识点2 真假命题及其证明4．下列说法错误的是(C)A．命题不一定是定理，定理一定是命题B．定理不可能是假命题C．真命题是定理D．如果真命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题就是定理5．下列命题：①若|a|＞|b|，那么a2＞b2；②两点之间，线段最短；③对顶角相等；④内错角相等．其中真命题的个数是(C)A．1个B．2个C．3个D．4个6．下列命题中，是假命题的是(A)A．相等的角是对顶角B．垂线段最短C．同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种D．两点确定一条直线7．(巨野县期末)判断下列命题的真假，是假命题的举出反例．①两个锐角的和是钝角；②一个角的补角大于这个角；③不相等的角不是对顶角．解：①假命题．反例为：30°与40°的和为70°.②假命题．反例为：120°的补角为60°.③真命题．8．如图，BD平分∠ABC，若∠BCD＝70°，∠ABD＝55°.求证：CD∥AB.
证明：∵BD平分∠ABC，∠ABD＝55°，∴∠ABC＝2∠ABD＝110°.又∵∠BCD＝70°，∴∠ABC＋∠BCD＝180°.∴CD∥AB.9．把下列命题写成“如果……那么……”的形式，并判断其真假．(1)等角的补角相等；(2)不相等的角不是对顶角；(3)相等的角是内错角．解：(1)如果两个角是两个相等的角的补角，那么这两个角相等．是真命题．(2)如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角．是真命题．(3)如果两个角相等，那么这两个角是内错角．是假命题．中档题10．下列说法正确的是(C)A．“作线段CD＝AB”是一个命题B．过一点作已知直线的平行线有一条且只有一条C．命题“若x＝1，则x2＝1”是真命题D．所含字母相同的项是同类项11．下列命题中，是真命题的是(B)A．若|x|＝2，则x＝2B．平行于同一条直线的两条直线平行C．一个锐角与一个钝角的和等于一个平角D．任何一个角都比它的补角小12．(大庆中考)如图，从①∠1＝∠2；②∠C＝∠D；③∠A＝∠F三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为(D)A．0B．1C．2D．313．“直角都相等”的题设是两个角是直角，结论是这两个角相等．14．对于下列假命题，各举一个反例写在横线上．(1)“如果ac＝bc，那么a＝b”是一个假命题．反例：3×0＝(－2)×0；(2)“如果a2＝b2，则a＝b”是一个假命题．反例：32＝(－3)2.15．命题“两直线平行，内错角的平分线互相平行”是真命题吗？如果是，请给出证明；如果不是，请举出反例．解：是真命题，证明如下：已知：AB∥CD，BE，CF分别平分∠ABC和∠BCD.求证：BE∥CF.
证明：∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠BCD.∵BE，CF分别是∠ABC，∠BCD的角平分线，∴∠2＝∠ABC，∠3＝∠BCD.∴∠2＝∠3.∴BE∥CF.16．小明到工厂去进行社会实践活动时，发现工人师傅生产了一种如图所示的零件，要求AB∥CD，∠BAE＝35°，∠AED＝90°.小明发现工人师傅只是量出∠BAE＝35°，∠AED＝90°后，又量了∠EDC＝55°，于是他就说AB与CD肯定是平行的，你知道什么原因吗？解：过点E作EF∥AB.∵EF∥AB，∴∠AEF＝∠BAE.∵∠BAE＝35°，∴∠AEF＝35°.∵∠AED＝90°，∴∠DEF＝∠AED－∠AEF＝90°－35°＝55°.∵∠EDC＝55°，∴∠EDC＝∠DEF.∴EF∥CD.∴AB∥CD.17．(姜堰市期末)如图，直线AB和直线CD，直线BE和直线CF都被直线BC所截．在下面三个条件中，请你选择其中两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题并证明．①AB⊥BC，CD⊥BC，②BE∥CF，③∠1＝∠2.解：答案不唯一，如：已知：如图，AB⊥BC，CD⊥BC，BE∥CF.求证：∠1＝∠2.证明：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴AB∥CD，∠ABC＝∠DCB＝90°.又∵BE∥CF，∴∠EBC＝∠FCB.∴∠ABC－∠EBC＝∠DCB－∠FCB，即∠1＝∠2.
18．(鄄城县期末)已知：如图，C，D是直线AB上两点，∠1＋∠2＝180°，DE平分∠CDF，EF∥AB.(1)求证：CE∥DF；(2)若∠DCE＝130°，求∠DEF的度数．解：(1)证明：∵C，D是直线AB上两点，∴∠1＋∠DCE＝180°.∵∠1＋∠2＝180°，∴∠2＝∠DCE.∴CE∥DF.(2)∵CE∥DF，∠DCE＝130°，∴∠CDF＝180°－∠DCE＝180°－130°＝50°.∵DE平分∠CDF，∴∠CDE＝∠CDF＝25°.∵EF∥AB，∴∠DEF＝∠CDE＝25°.综合题19．阅读下列问题后做出相应的解答．“同位角相等，两直线平行”和“两直线平行，同位角相等”这两个命题的题设和结论在命题中的位置恰好对调，我们把其中一个命题叫做另一个命题的逆命题．请你写出命题“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆命题，并指出逆命题的题设和结论．解：逆命题：在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上．题设：在角的内部到角两边距离相等的点；结论：点在这个角的平分线上．
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