资料简介
2.6直角三角形(二)A组1．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是(D)A．∠A＋∠B＝∠CB．∠A＝2∠B＝2∠CC．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3D．∠A＝∠B＝3∠C2．已知一个三角形的其中一个角等于另两个角的差，则这个三角形一定是直角三角形．(第3题)3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，交BC的延长线于点F．若∠F＝30°，DE＝1，则BE的长是__2__．4．等腰三角形一腰上的高线等于这条腰的一半，则这个等腰三角形的顶角的度数为30°或150°．5．在△ABC中，2∠B＝∠A＋∠C，最小角∠A＝30°，最长边的中线为8cm，则最短边的长为__8__cm．6．直角三角形斜边上的高线长与中线长分别为5cm和6cm，则它的面积为__30__cm2．7．如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A＝∠C．求证：△ABD是直角三角形．(第7题)【解】 ∵CE⊥AD，∴∠CED＝90°，∴∠C＋∠D＝90°．又∵∠A＝∠C，∴∠A＋∠D＝90°，∴△ABD是直角三角形．8．如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P．求证：△PEF是直角三角形．
(第8题)【解】 ∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠DFE＝180°．∵∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，∴∠PEF＝∠BEF，∠PFE＝∠DFE，∴∠PEF＋∠PFE＝(∠BEF＋∠DFE)＝90°．∴△PEF是直角三角形．B组(第9题)9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，AE平分∠BAC交BC于点E，D为AB的中点，连结DE，则△BDE的周长是__10__．【解】 ∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AE垂直平分BC．∵BC＝8，∴BE＝4．∵D是AB的中点，∴AD＝BD＝DE＝AB＝3．∴C△BDE＝BD＋DE＋BE＝3＋3＋4＝10．(第10题)10．如图，在等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC边上的两动点，且总使AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则＝____．【解】 ∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠ACB＝60°．
∵AD＝BE，∴CE＝BD．在△ACE和△CBD中，∵∴△ACE≌△CBD(SAS)．∴∠CAE＝∠BCD．∴∠AFG＝∠CAF＋∠ACF＝∠BCD＋∠ACF＝∠ACB＝60°．∵AG⊥CD，∴∠FAG＝30°．∴＝．(第11题)11．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是对角线AC，BD的中点，连结MN．(1)试猜想MN与BD的位置关系，并证明你的结论．(2)如果∠BCD＝45°，BD＝2，求MN的长．【解】 (1)MN⊥BD．证明如下：连结BM，DM．∵∠ADC＝90°，M是AC的中点，∴AC＝2DM＝2CM．同理，AC＝2BM＝2CM，∴BM＝DM．∵N是BD的中点，∴MN⊥BD．(2)由(1)，得BM＝CM，DM＝CM，∴∠BCM＝∠CBM，∠DCM＝∠CDM．∵∠AMB是△BCM的一个外角，∴∠AMB＝∠BCM＋∠CBM＝2∠BCM．同理，∠AMD＝2∠DCM．∵∠BCD＝45°，∴∠BCM＋∠DCM＝45°．∴∠BMD＝∠AMB＋∠AMD＝2(∠BCM＋∠DCM)＝90°．∴△BMD是直角三角形．∵N是BD的中点，BD＝2，∴MN＝BD＝1．12．如图，AD，BF分别是△ABC的高线与角平分线，BF，AD交于点E，∠1＝∠2．求证：△ABC是直角三角形．(第12题)【解】 ∵BF是△ABC的角平分线，∴∠ABF＝∠CBF．∵AD是△ABC的高线，
∴∠ADB＝90°，∴∠CBF＋∠BED＝90°．∵∠1＝∠2＝∠BED，∴∠ABF＋∠2＝90°，∴∠BAC＝90°，∴△ABC是直角三角形．(第13题)13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC的中点，CE⊥AD于点E，BF∥AC交CE的延长线于点F，连结DF．求证：AB垂直平分DF．【解】 ∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∠CAD＋∠CDE＝90°．∵CE⊥AD，∴∠CED＝90°．∴∠CDE＋∠DCE＝90°．∴∠CAD＝∠DCE，即∠CAD＝∠BCF．∵BF∥AC，∴∠CBF＋∠ACB＝180°，∴∠CBF＝180°－∠ACB＝90°．∴∠CBF＝∠ACD．在△ACD和△CBF中，∵∴△ACD≌△CBF(ASA)．∴CD＝BF．∵D为BC的中点，∴CD＝BD，∴BD＝BF．∵BF∥AC，∴∠ABF＝∠CAB＝∠DBA＝45°．∴AB垂直平分DF．数学乐园14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，CD平分∠ACB，点E在AC上，且AE＝AD，EF⊥CD交BC于点F，交CD于点O．求证：BF＝2AD．(第14题)导学号：91354012
【解】 连结DF，过点D作DG⊥BC于点G．∵∠A＝90°，AD＝AE，AB＝AC，∴∠ADE＝∠AED＝45°，∠B＝∠ACB＝45°，∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD．∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACD．∴∠EDC＝∠ACD．∴DE＝EC．∵EF⊥CD，∴EF垂直平分CD．∴FD＝FC．∴∠FDC＝∠FCD．∴∠FDC＝∠ACD．∴DF∥AC．∴∠DFB＝∠ACB＝45°．∴∠B＝∠BFD＝45°．∴BD＝DF，∠BDF＝90°．∴△DBF为等腰直角三角形．∵DG⊥BF，∴DG为斜边BF上的中线，∴DG＝BF．∵CD平分∠ACB，∠A＝∠DGC＝90°，∴AD＝DG．∴AD＝BF，即BF＝2AD．
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