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第2章自我评价一、选择题(每小题3分，共30分)1．在下列标志中，属于轴对称图形的是(B)2．下列四组线段能构成直角三角形的是(D)A．a＝1，b＝2，c＝3B．a＝2，b＝3，c＝4C．a＝2，b＝4，c＝5D．a＝3，b＝4，c＝53．有下列命题：①同位角相等，两直线平行；②全等三角形的周长相等；③直角都相等；④等边对等角．其中逆命题是真命题的有(B)A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，AB∥CD，AD＝CD，∠1＝70°，则∠2的度数是(C)A．20°B．35°C．40°D．70°(第4题) (第5题)5．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB＝60°，CP＝2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果M是OP的中点，那么DM的长是(C)A．2 B．C． D．2
(第6题)6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M和N，再分别以点M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长，交BC于点D，则下列说法中，正确的个数是(D)①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC∶S△ABC＝1∶3．A．1 B．2 C．3 D．47．如图，将一把含45°角的三角尺的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角尺的最大边长为(D)A．3cmB．6cmC．cmD．cm(第7题) (第7题解)【解】 如解图，过点C作CD⊥AD于点D，则CD＝3cm．在Rt△ADC中，∵∠CAD＝30°，∴AC＝2CD＝2×3＝6(cm)．∵该三角尺是含45°角的三角尺，∴∠BAC＝90°，AB＝AC＝6cm，∴BC＝＝＝(cm)．(第8题)
8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝BD，DA＝DC，则∠B的度数为(C)A．22．5°B．30°C．36°D．45°【解】 设∠B＝x．∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝x．∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝x．∴∠ADB＝∠C＋∠DAC＝2x．∵AB＝BD，∴∠BAD＝∠ADB＝2x．在△ABD中，∵∠B＝x，∠ADB＝∠BAD＝2x，∴x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°，即∠B＝36°．9．如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是线段AD上的动点，E是AC边上一点．若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，∠ECF的度数为(C)A．20° B．25° C．30° D．45°(第9题) (第9题解)【解】 如解图，过点E作EM∥BC，交AB于点M，则∠AME＝∠B，∠AEM＝∠ACB．∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC＝4．∴∠AME＝∠AEM＝60°．∴AM＝AE＝2．∴BM＝AB－AM＝2．∵AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC．
∵EM∥BC，∴AD⊥EM．∴点E和点M关于AD对称．连结CM交AD于点F，连结EF，则此时EF＋CF的值最小．∵AC＝BC，AM＝BM，∴∠ECF＝∠ACB＝30°．10．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠ADC＋∠ABC＝180°，有下列结论：①CD＝CB；②AD＋AB＝2AE；③∠ACD＝∠BCE；④AB－AD＝2BE．其中正确的是(C)A．② B．①②③C．①②④D．①②③④导学号：91354016(第10题) (第10题解)【解】 如解图，在EA上取点F，使EF＝BE，连结CF．∵CE⊥AB，EF＝BE，∴CF＝CB，∴∠CFB＝∠B．∵∠AFC＋∠CFB＝180°，∠ADC＋∠ABC＝180°，∴∠D＝∠AFC．∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠FAC．在△ACD和△ACF中，∵∴△ACD≌△ACF(AAS)．∴AD＝AF，CD＝CF．∴CD＝CB，故①正确．
AD＋AB＝AF＋(BE＋AE)＝AF＋EF＋AE＝AE＋AE＝2AE，故②正确．根据已知条件无法证明∠ACD＝∠BCE，故③错误．AB－AD＝AB－AF＝BF＝2BE，故④正确．综上所述，正确的是①②④．二、填空题(每小题3分，共30分)11．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线．若∠B＝60°，则∠BAD＝__30°__．,(第11题)) ,(第12题))12．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，则BC边上的高AD的长是__8__cm．13．如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E．若∠1＝50°，则∠2的度数为__40°__．,(第13题)) ,(第14题))14．如图，在△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，且它们相交于点O，OE∥AB，OF∥AC，BC＝10，则△OEF的周长为__10__．【解】 ∵OB，OC分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠ABO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO．∵OE∥AB，OF∥AC，∴∠ABO＝∠BOE，∠ACO＝∠COF，∴∠CBO＝∠BOE，∠BCO＝∠COF，∴BE＝OE，OF＝FC，∴△OEF的周长＝OE＋EF＋OF＝BE＋EF＋FC＝BC＝10．(第15题)15．如图，在△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝102°，则∠ADC＝__52°__．
【解】 ∵AC＝AD＝DB，∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C．设∠ADC＝α，则∠B＝∠BAD＝．∵∠BAC＝102°，∴∠DAC＝102°－．∵∠ADC＋∠C＋∠DAC＝180°，∴2α＋102°－＝180°，解得α＝52°，即∠ADC＝52°．16．如图，已知△ABC的周长是21，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，垂足为D，且OD＝3，则△ABC的面积是____．,(第16题)) ,(第16题解))【解】 如解图，过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为E，F，连结OA．由角平分线的性质知OD＝OE＝OF，∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC＝AB·OE＋BC·OD＋AC·OF＝(AB＋BC＋AC)·OD＝×21×3＝．17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．若点P在边AC上移动，则BP的最小值是____．,(第17题)) ,(第17题解))【解】 过点A作AD⊥BC于点D，如解图．∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BD＝BC＝3，∴AD＝＝4．易得当BP⊥AC时，BP有最小值．
此时AD·BC＝BP·AC，得4×6＝5BP，∴BP＝．18．如图是两把完全一样的含30°角的三角尺，分别记做△ABC与△A′B′C′，现将两把三角尺重叠在一起，设较长直角边的中点为M，绕中点M转动上面的三角尺ABC，使其直角顶点C恰好落在三角尺A′B′C′的斜边A′B′上．当∠A＝30°，AC＝10时，两直角顶点C，C′间的距离是__5__．(第18题) (第18题解)【解】 如解图，连结C′C．∵M是AC，A′C′的中点，AC＝A′C′＝10，∴CM＝A′M＝C′M＝AC＝5，∴∠A′CM＝∠A′＝30°，∴∠CMC′＝60°．∴△MCC′为等边三角形．∴C′C＝CM＝5．(第19题)19．按如图所示的方式作正方形和等腰直角三角形．若第一个正方形的边长AB＝1，第一个正方形与第一个等腰直角三角形的面积和为S1，第二个正方形与第二个等腰直角三角形的面积和为S2……则第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和Sn＝____．【解】 易得第一个正方形的面积为1，
第一个等腰直角三角形的面积为，第二个正方形的面积为，第二个等腰直角三角形的面积为×，……∴第n个正方形的面积为×1＝，第n个等腰直角三角形的面积为×＝，∴第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和Sn＝＋＝．(第20题)20．如图，正方形ABDE，正方形CDFI，正方形EFGH的面积分别为25，9，16，△AEH，△BDC，△GFI的面积分别为S1，S2，S3，则S1＋S2＋S3＝__18__．导学号：91354017【解】 过点A作AK⊥HE，交HE的延长线于点K．易得DE2＝25，DE2＝9，EF2＝16，∴DE2＝DF2＋EF2，∴△DEF是直角三角形，且∠DFE＝90°．易得∠AEK＋∠DEK＝∠DEK＋∠DEF＝90°，∴∠AEK＝∠DEF．又∵AE＝DE，∠K＝∠DFE＝90°，∴△AEK≌△DEF(AAS)，∴AK＝DF．又∵EH＝EF，∴S△AHE＝EH·AK＝EF·DF＝S△DEF．
同理，S△BDC＝S△GFI＝S△DEF，∴S1＋S2＋S3＝3S△DEF．易得DF＝3，EF＝4，∴S△DEF＝×3×4＝6，∴S1＋S2＋S3＝3×6＝18．三、解答题(共40分)21．(6分)如图，AD＝BC，AC＝BD．求证：△EAB是等腰三角形．(第21题)【解】 在△ADB和△BCA中，∵∴△ADB≌△BCA(SSS)，∴∠DBA＝∠CAB，∴△EAB是等腰三角形．(第22题)22．(6分)如图，△ABC为等边三角形，DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，垂足分别为E，F，D，则△DEF是等边三角形吗？请说明理由．【解】 △DEF是等边三角形．理由如下：∵DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，∠ADF＝∠CFE＝90°，∴∠AFD＝30°，∴∠DFE＝180°－30°－90°＝60°．同理，∠FDE＝∠DEF＝60°．
∴△DEF是等边三角形．(第23题)23．(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA的延长线上，∠E＝∠AFE，请判断EF与BC的位置关系，并说明理由．【解】 EF⊥BC．理由如下：过点A作AD⊥BC于点D，延长EF交BC于点G．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAC＝2∠CAD．又∵∠BAC＝∠E＋∠AFE，∠E＝∠AFE，∴∠BAC＝2∠E，∴∠CAD＝∠E，∴AD∥EF．又∵∠ADC＝90°，∴∠EGC＝90°，即EF⊥BC．24．(10分)已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，F为BE的中点，连结DF，CF．(1)如图①，当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF，CF的数量关系和位置关系．(2)如图②，在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°，请你判断此时(1)中的结论是否仍然成立，并证明你的判断．(3)如图③，在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°，若AD＝1，AC＝，求此时线段CF的长(直接写出结果)．(第24题)【解】 (1)∵∠ACB＝∠ADE＝90°，F为BE的中点，
∴DF＝BF＝BE，CF＝BE，∴DF＝CF．∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°．∵BF＝DF，∴∠DBF＝∠BDF．∵∠DFE＝∠DBF＋∠BDF，∴∠DFE＝2∠DBF．同理，∠CFE＝2∠CBF，∴∠DFE＋∠CFE＝2∠DBF＋2∠CBF＝2∠ABC＝90°，∴DF⊥CF．(2)(1)中的结论仍然成立．证明如下：如解图①，延长DF交BC于点G．∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴DE∥BC，∴∠DEF＝∠GBF，∠EDF＝∠BGF．∵F为BE的中点，∴EF＝BF，∴△DEF≌△GBF(AAS)，∴DE＝GB，DF＝GF．∵AD＝DE，∴AD＝GB．∵AC＝BC，∴AC－AD＝BC－GB，即DC＝GC．∵∠ACB＝90°，∴△DCG是等腰直角三角形．∵DF＝GF，∴DF＝CF，DF⊥CF．(第24题解)(3)如解图②，延长DF交BA于点H．∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴AC＝BC，AD＝DE，∠AED＝∠ABC＝45°．由旋转可知∠CAE＝∠BAD＝∠ACB＝90°，∴AE∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，∴∠DEF＝∠HBF．∵F是BE的中点，∴EF＝BF．又∵∠DFE＝∠HFB，∴△DEF≌△HBF(ASA)，∴ED＝BH．∵BC＝AC＝，∠ACB＝90°，∴AB＝4．∵BH＝ED＝AD＝1，∴AH＝3．∵∠BAD＝90°，∴DH＝，∴DF＝，∴CF＝．25．(10分)问题探究：(1)如图①，在锐角△ABC中，分别以AB，AC为边向外作等腰三角形ABE和等腰三角形ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD，连结BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．深入探究：(2)如图②，在四边形ABCD中，AB＝7，BC＝3，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD的长．(3)如图③，在(2)的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长．(第25题)导学号：91354018【解】 (1)BD＝CE．理由如下：∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAD．在△EAC和△BAD中，∵∴△EAC≌△BAD(SAS)，∴BD＝CE．(2)如解图①，在△ABC的外部作等腰直角三角形BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB，连结EC．
∵∠ACD＝∠ADC＝45°，∴AC＝AD，∠CAD＝90°，∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAD．在△EAC和△BAD中，∵∴△EAC≌△BAD(SAS)，∴EC＝BD．∵AE＝AB＝7，∴BE＝＝．易知∠ABE＝45°，又∵∠ABC＝45°，∴∠CBE＝45°＋45°＝90°，∴EC＝＝＝，∴BD＝EC＝．(第25题解)(3)如解图②，在线段AC的右侧过点A作AE⊥AB，交BC的延长线于点E．∵AE⊥AB，∴∠BAE＝90°．又∵∠ABC＝45°，∴∠E＝∠ABC＝45°，∴AE＝AB＝7，∴BE＝＝．∵∠ACD＝∠ADC＝45°，∴∠DAC＝90°＝∠BAE，∴∠BAE－∠BAC＝∠DAC－∠BAC，即∠EAC＝∠BAD．在△EAC和△BAD中，∵∴△EAC≌△BAD(SAS)，∴EC＝BD．又∵BC＝3，∴BD＝EC＝BE－BC＝－3．
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