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中考初中数学基础巩固复习专题(二)代数式【知识要点】：知识点1整式的概念（1）整式中只含有一项的是单项式，否则是多项式，单独的字母或常数是单项式；（2）单项式的次数是所有字母的指数之和；多项式的次数是多项式中最高次项的次数；（3）单项式的系数，多项式中的每一项的系数均包括它前面的符号（4）同类项概念的两个相同与两个无关：两个相同：一是所含字母相同，二是相同字母的指数相同；两个无关：一是与系数的大小无关，二是与字母的顺序无关；（5）整式加减的实质是合并同类项；（6）因式分解与整式乘法的过程恰为相反。知识点2整式的运算（如结构图）知识点3因式分解多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．分解因式的常用方法有：（1）提公因式法如多项式其中m叫做这个多项式各项的公因式，m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．
（2）运用公式法，即用写出结果．（3）十字相乘法对于二次项系数为l的二次三项式寻找满足ab＝q，a＋b＝p的a，b，如有，则对于一般的二次三项式寻找满足a1a2＝a，c1c2＝c，a1c2＋a2c1＝b的a1，a2，c1，c2，如有，则（4）分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行．分组时要用到添括号：括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是“－”号，括到括号里的各项都改变符号.（5）求根公式法：如果有两个根x1，x2，那么。知识点4分式的概念（1）分式的定义：整式A除以整式B，可以表示成的形式。如果除式B中含有字母，那么称为分式，其中A称为分式的分子，B为分式的分母。对于任意一个分式，分母都不能为零。（2）分式的约分（3）分式的通分知识点5分式的性质（1）（2）已知分式，分式的值为正：a与b同号；分式的值为负：a与b异号；分式的值为零：a＝0且b0；分式有意义：b0。（3）零指数（4）负整数指数（5）整数幂的运算性质
上述等式中的m、n可以是0或负整数．知识点6根式的有关概念1.平方根：若x2＝a（a>0），则x叫做a的平方根，记为。注意：①正数的平方根有两个，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根；2.算术平方根：一个数的正的平方根叫做算术平方根；3.立方根：若x3＝a（a>0），则x叫做a的立方根，记为。4.最简二次根式被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式。5.同类二次根式：化简后被开方数相同的二次根式。知识点7二次根式的性质①是一个非负数；②③④⑤知识点8二次根式的运算（1）二次根式的加减二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并．（2）二次根式的乘法二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个二次根式互为有理化因式．（3）二次根式的除法二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去（或分子、分母约分）．把分母的根号化去，叫做分母有理化．【复习点拨】1.复习整式的有关概念，整式的运算2.
理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，能把简单多项式分解因式。3.掌握分式的概念、性质，掌握分式的约分、通分、混合运算。4.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。会求实数的平方根、算术平方根和立方根，了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式。掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简；掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。【典例解析】例题1：（山东枣庄）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（ ）A．﹣2a+bB．2a﹣bC．﹣bD．b【考点】73：二次根式的性质与化简；29：实数与数轴．【分析】直接利用数轴上a，b的位置，进而得出a＜0，a﹣b＜0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：由图可知：a＜0，a﹣b＜0，则|a|+=﹣a﹣（a﹣b）=﹣2a+b．故选：A．例题2：（重庆B）计算a5÷a3结果正确的是（ ）A．aB．a2C．a3D．a4【分析】根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，求出a5÷a3的计算结果是多少即可．【解答】解：a5÷a3=a2故选：B．【点评】此题主要考查了同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
例题3：（重庆B）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）A．x＞3B．x＜3C．x≠3D．x=3【分析】分式有意义的条件是分母不为0．【解答】解：∵分式有意义，∴x﹣3≠0，∴x≠3；故选：C．【点评】本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义．例题4：（湖南株洲）计算a2•a4的结果为（ ）A．a2B．a4C．a6D．a8【考点】46：同底数幂的乘法．【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则求出答案．【解答】解：原式=a2+4=a6．故选C．例题5：分式方程﹣=0的解为 x=﹣ ．【考点】B3：解分式方程．【分析】根据解方式方程的步骤一步步求解，即可得出x的值，将其代入原方程验证后即可得出结论．【解答】解：去分母，得4x+8﹣x=0，移项、合并同类项，得3x=﹣8，方程两边同时除以3，得x=﹣．经检验，x=﹣是原方程的解．故答案为：x=﹣．例题6：若，，则等于（）A．2B．1C．-2D．-1【考点】完全平方公式，代数式的值，整体思想
【分析】根据完全平方公式对变形，再整体代入可得．【解答】解：∵∴∵∴=1故选B例题7：（（重庆B）计算：（1）（x+y）2﹣x（2y﹣x）；（2）（a+2﹣）÷．【分析】（1）按从左往右的顺序进行运算，先乘方再乘法；（2）把（a+2}看成分母是1的分数，通分后作乘法，最后的结果需化成最简分式．【解答】解：（1）（x+y）2﹣x（2y﹣x）=x2+2xy+y2﹣2xy+x2=2x2+y2；（2）（a+2﹣）÷=（）×==．【点评】本题主要考查了分式的混合运算，运算过程中注意运算顺序．分式的运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减．有括号的先算括号里面的．注意分式运算的结果需化为最简分式．例题8：（山东枣庄）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×
4是12的最佳分解，所以F（12）=．（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；（3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．【考点】59：因式分解的应用．【分析】（1）对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），找出m的最佳分解，确定出F（m）的值即可；（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，根据“吉祥数”的定义确定出x与y的关系式，进而求出所求即可；（3）利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出F（t）的最大值即可．【解答】解：（1）证明：对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），∵|n﹣n|=0，∴n×n是m的最佳分解，∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）==1；（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，∵t是“吉祥数”，∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=36，∴y=x+4，∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，∴满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59；（3）F（15）=，F（26）=，F（37）=，F（48）==，F（59）=，∵＞＞＞＞，∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值为．【达标检测】一、选择题
1.（湖南岳阳）下列运算正确的是（ ）A．5=﹣x5C．x3x2=x6D．3x2+2x3=5x5【分析】根据幂的乘方，同底数幂的乘法以及合并同类项计算法则进行解答．【解答】解：A、原式=x6，故本选项错误；B、原式=﹣x5，故本选项正确；C、原式=x5，故本选项错误；D、3x2与2x3不是同类项，不能合并，故本选项错误；故选：B．【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．2.（张家界）下列运算正确的有（ ）A．5ab﹣ab=4B．（a2）3=a6C．（a﹣b）2=a2﹣b2D．=±3【考点】47：幂的乘方与积的乘方；22：算术平方根；35：合并同类项；4C：完全平方公式．【分析】根据合并同类项、幂的乘方、完全平方公式以及算术平平方根的定义和计算公式分别进行计算，即可得出答案．【解答】解：A、5ab﹣ab=4ab，故本选项错误；B、（a2）3=a6，故本选项正确；C、（a﹣b）2=a2﹣2ab﹣b2，故本选项错误；D、=3，故本选项错误；故选B．3.（甘肃张掖）下列计算正确的是（ ）A．x2+x2=x4B．x8÷x2=x4C．x2•x3=x6D．（﹣x）2﹣x2=0【考点】48：同底数幂的除法；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方．【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．【解答】解：（A）原式=2x2，故A不正确；（B）原式=x6，故B不正确；（C）原式=x5，故C不正确；（D）原式=x2﹣x2=0，故D正确；
故选（D）4.．若x=﹣3，y=1，则代数式2x﹣3y+1的值为（ ）A．﹣10B．﹣8C．4D．10【分析】代入后求出即可．【解答】解：∵x=﹣3，y=1，∴2x﹣3y+1=2×（﹣3）﹣3×1+1=﹣8，故选B．【点评】本题考查了求代数式的值，能正确代入是解此题的关键，注意：代入负数时要有括号．5.若分式的值为零，则的值是（）A．1B．-1C．D．2【分析】分式的分母不能为0【解答】解：∵=0∴∴故选A【点评】本题考查分式的意义，解题的关键是熟练记住知识点，本题属于基础题型．二、填空题：6.（浙江义乌）分解因式：x2y﹣y= y（x+1）（x﹣1） ．【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【分析】观察原式x2y﹣y，找到公因式y后，提出公因式后发现x2﹣1符合平方差公式，利用平方差公式继续分解可得．【解答】解：x2y﹣y，=y（x2﹣1），=y（x+1）（x﹣1），故答案为：y（x+1）（x﹣1）．7.（湖南岳阳）因式分解：x2﹣6x+9= （x﹣3）2 ．
【分析】直接运用完全平方公式进行因式分解即可．【解答】解：x2﹣6x+9=（x﹣3）2．【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式的结构特点是解题的关键．8.（甘肃张掖）如果m是最大的负整数，n是绝对值最小的有理数，c是倒数等于它本身的自然数，那么代数式m2015+n+c的值为 0 ．【考点】33：代数式求值．【分析】根据题意求出m、n、c的值，然后代入原式即可求出答案．【解答】解：由题意可知：m=﹣1，n=0，c=1∴原式=（﹣1）2015+×0+1=0，故答案为：09.（浙江衢州）化简：= 1 ．【考点】6B：分式的加减法．【分析】分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可．【解答】解：原式==1．10.（浙江衢州）如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是 a+6 ．【考点】4G：平方差公式的几何背景．【分析】根据拼成的长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积列式整理即可得解．【解答】解：拼成的长方形的面积=（a+3）2﹣32，=（a+3+3）（a+3﹣3），=a（a+6），∵拼成的长方形一边长为a，
∴另一边长是a+6．故答案为：a+6．三、解答题11.（张家界）先化简（1﹣）÷，再从不等式2x﹣1＜6的正整数解中选一个适当的数代入求值．【考点】6D：分式的化简求值；C7：一元一次不等式的整数解．【分析】先把括号里的式子进行通分，再把后面的式子根据完全平方公式、平方差公式进行因式分解，然后约分，再求出不等式的解集，最后代入一个合适的数据代入即可．【解答】解：（1﹣）÷=×=，∵2x﹣1＜6，∴2x＜7，∴x＜，把x=3代入上式得：原式==4．12.（湖南株洲）化简求值：（x﹣）•﹣y，其中x=2，y=．【考点】6D：分式的化简求值．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分后计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=•﹣y=﹣=﹣，当x=2，y=时，原式=﹣．13.(湖北咸宁)（1）计算：|﹣|﹣+0；（2）解方程：=．【考点】B3：解分式方程；2C：实数的运算；6E：零指数幂．
【分析】（1）根据实数的运算法则，零指数幂的性质计算即可；（2）根据分式方程的解法即可得到结论．【解答】解：（1）：|﹣|﹣+0=﹣4+1=1﹣3；（2）方程两边通乘以2x（x﹣3）得，x﹣3=4x，解得：x=﹣1，检验：当x=﹣1时，2x（x﹣3）≠0，∴原方程的根是x=﹣1．14.．(湖北襄阳)先化简，再求值：（+）÷，其中x=+2，y=﹣2．【考点】6D：分式的化简求值．【分析】先根据分式的混合运算顺序和法则化简原式，再将x、y的值代入求解可得．【解答】解：原式=[+]÷=•y（x+y）=，当x=+2，y=﹣2时，原式===．15.（乌鲁木齐）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=．【考点】6D：分式的化简求值．【分析】先把除法化为乘法，再根据运算顺序与计算方法先化简，再把x=代入求解即可．【解答】解：原式=（﹣）•=•=•=，当x=时，原式==．
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