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南平市2021年高中毕业班第二次质量检测数学试题本试卷共六页。考试时间120分钟。满分150分。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题前，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A＝{2，3，4}，集合B＝{x|x2－3x＋m＝0}。若A∩B＝{2}，则B＝A.{1，－2}B.{1，0}C.{1，2}D.{1，3}2.复数z满足＝i，则复平面上表示复数z的点位于A.第一或第三象限B.第二或第四象限C.实轴D.虚轴3.函数f(x)＝·cosx的图象的大致形状是4.攒尖顶是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，通常有圆形、三角、四角、六角、八角等结构，多见于亭阁式建筑。如图所示，某园林的亭阁建筑为六角攒尖顶，它的屋顶轮廓可近似看作一个正六棱锥，设正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2α，则该正六棱锥底面内切圆半径与侧棱长之比为
A.sinαB.cosαC.2sinαD.2cosα5.克劳德·香农是美国数学家、信息论的创始人，他创造的香农定理对通信技术有巨大的贡献。5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlog2(1＋)。它表示：在受噪声干挠的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比。按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至4000，则C大约增加A.10%B.20%C.30%D.50%6.过点P(2，1)的直线l与函数f(x)＝的图象交于A，B两点，O为坐标原点，则A.B.2C.5D.107.某企业计划加大技改力度，需更换一台设备，现有两种品牌的设备可供选择，A品牌设备需投入60万元，B品牌设备需投入90万元，企业对两种品牌设备的使用年限情况进行了抽样调查：更换设备技改后，每年估计可增加效益100万元，从年均收益的角度分析：A.不更换设备B.更换为A设备C.更换为B设备D.更换为A或B设备均可8.设函数f(x)＝(x－1)ex，若关于x的不等式f(x)0，b>0，a2＋b2－ab＝2，则下列不等式恒成立的是A.≤B.ab≤2C.a＋b≤2D.a2＋b2≥411.己知函数f(x)＝sin(ωx＋)与函数g(x)＝cos(2x＋θ)有相同的对称中心，则下列结论正确的是A.若方程m＝f(x)在x∈[0，]上有两个不同的实数根，则m取值范围是[，1)B.将函数|f(x)|的图象向右平移个单位，会与函数|g(x)|的图象重合C.函数f(x)的所有零点的集合为{x|x＝，k∈Z}D.若函数g(x)在[0，]上单调递减，则θ＝＋2kπ，k∈Z12.在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，将菱形ABCD沿对角线AC折成大小为θ(θ∈(0°，180°))的二面角B－AC－D，四面体ABCD内接于球O，下列说法正确的是A.四面体ABCD的体积的最大值是1B.无论θ为何值，都有AB⊥DCC.四面体ABCD的表面积的最大值是4＋2D.当θ＝60°时，球O的体积为第II卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.请写出与曲线f(x)＝x3＋1在点(0，1)处具有相同切线的一个函数(非常数函数)的解析式为g(x)＝。14.过抛物线C：y2＝2px(p>0)焦点F的直线l交C于A，B两点，点A在第一象限，若|AF|＝3|BF|，则直线l的倾斜角为。15.福建省于2021年启动了中学生科技创新后备人才培养计划(简称中学生“英才计划”)，在数学、物理、化学、生物、计算机等学科有特长的学生入选2021年福建省中学生“英才计划”，他们将在大学教授的指导下进行为期一年的培养。现有4名数学特长生可从3位数学教授中任选一。位作为导师，每位数学教授至多带2名数学特长生，则不同的培养方案有种。(结果用数字作答)16.在平面直角坐标系中，定义P(x1，y1)Q(x2，y2)两点间的直角距离为d(P，Q)＝|x1－x2|＋|y1
－y2|，如图是圆A：(x－1)2＋y2＝1当x≥时的一段弧，D是与x轴的交点，将依次以原点O为中心逆时针旋转60°五次，得到由六段圆弧构成的曲线。则d(C，D)＝；若点P为曲线上任一点，则d(O，P)的最大值为。四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(本小题满分10分)在①2ccosB＝2a－b，②△ABC的面积为(a2＋b2－c2)，③cos2A－cos2C＝sin2B－sinAsinB，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答。(如果选择多个条件作答，则按所选的第一个条件给分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，C，且。(1)求角C的大小；(2)若c＝2且4sinAsinB＝3，求△ABC的面积。18.(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＋n＝2an(n∈N*)。(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn。19.(本小题满分12分)如图，已知四边形ACDE为菱形，∠CDE＝60°，AC⊥BC，F是DE的中点，平面ABC∩平面BDE＝l。
(1)证明：l⊥平面BCF；(2)若平面ABC⊥平面ACDE，AC＝BC＝2，求AE与平面BDE所成角的正弦值。20.(本小题满分12分)一个国家的数学实力往往影响着国家的科技发展，几乎所有的重大科技进展都与数学息息相关，我国第五代通讯技术(5G)的进步就是源于数学算法的优化。华为公司所研发的SingleRAN算法在部署5G基站时可以把原来的4G、3G基站利用起来以节省开支，华为创始人任正非将之归功于“数学的力量”。近年来，我国加大5G基站建设力度，基站已覆盖所有地级市，并逐步延伸到乡村。(1)现抽样调查某市所辖的A地和B地5G基站覆盖情况，各取100个村，调查情况如下表：视样本的频率为总体的概率，假设从A地和B地所有村中各随机抽取2个村，求这4个村中A地5G已覆盖的村比B地多的概率；(2)该市2020年已建成的5G基站数y与月份x的数据如下表：探究上表中的数据发现，因年初受新冠疫情影响，5G基站建设进度比较慢，随着疫情得到有效控制，5G基站建设进度越来越快，根据散点图分析，已建成的5G基站数呈现先慢后快的非线性变化趋势，采用非线性回归模型拟合比较合理，请结合参考数据，求5G基站数关于月份x的回归方程。(的值精确到0.01)附：设u＝lny，则ui＝lnyi，(i＝1，2，…，12)≈1299.17，≈6.88，，，对于样本(xi，yi)，(i＝1，2，…，n)的线性回归方程有
。21.(本小题满分12分)已知点P(，)在椭圆C：上，且椭圆C的离心率为，若过原点的直线交C于A，B两点，点A在第一象限，AD⊥x轴，垂足为D，连接BD并延长交C于点E。(1)求椭圆C的方程；(2)证明：AB⊥AE。22.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(x－4)ex－3－x2＋3x－，g(x)＝aex＋cosx，其中a∈R。(1)讨论函数f(x)的单调性，并求不等式f(x)>0的解集；(2)若a＝1，证明：当x>0时，g(x)>2；(3)用max{m，n}表示m，n中的最大值，设函数h(x)＝max{f(x)，g(x)}，若h(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围。
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