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期末测试卷03（本卷满分150分，考试时间120分钟）测试范围：必修第一册（人教A版2019）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知集合，，则集合与集合的关系是( )。A、B、C、D、【答案】A【解析】∵，，故有，故选A。2．若命题：，则为()。A、且B、或C、且D、【答案】B【解析】∵，∴且，∴：或，故选B。3．已知，，且，则的最小值为()。A、B、C、D、【答案】D【解析】∵，∴，即最小值为，故选D。4．若关于的不等式()的解集为空集，则的最小值为()。A、B、
C、D、【答案】D【解析】，，得，∴，令，则，∴，故选D。5．若函数的值域为，则实数的取值范围为()。A、B、C、D、【答案】D【解析】等价于的值域能取到内的任意实数，若，则，可取，若，则需，，解得，∴的范围为，故选D。6．已知函数(，)的最小正周期为，将的图像向右平移个单位后得函数的图像，则函数的图像()。A、关于直线对称B、关于直线对称C、关于点对称D、关于点对称【答案】D【解析】由题意得，故，∴，∴，又，∴，∴，令()，解得()，即的对称轴为()，经检验、都不符合，
∴令()，解得()，即的对称中心为()，经检验不符合，符合，故选D。7．设函数，，若实数、分别是、的零点，则下列不等式一定成立的是()。A、B、C、D、【答案】A【解析】∵、连续且都为单调增函数，∴、各只有唯一一个零点，则：，，则，，，则，∴，，选A。8．已知函数，实数、、满足，其中，若实数为方程的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是()。A、B、C、D、【答案】D【解析】∵，在定义域上是减函数，∴时，，又∵，∴一种情况是、、都为负值①，另一种情况是，，②，在同一坐标系内画函数与的图象，对于①要求、、都大于，对于②要求、都小于是，大于。
两种情况综合可得不可能成立，故选D。二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．若集合，，且，则实数的值为()。A、B、C、D、【答案】ABC【解析】，，当时，，，可取，当时，，令，，可取，令，，可取，综上、或，故选ABC。10．已知，则( )。A、B、C、D、【答案】AC【解析】原式转化为，则，∴，则或，当时，，当时，，故选AC。11．已知函数的值域为，则下列说法正确的是( )。
A、B、C、D、【答案】BC【解析】设，函数式变形为，()，由已知得，则，即，其解集为，则和是方程的两个根，应用韦达定理得，，，故选BC。12．已知为定义在内的偶函数，对都有，当任意，且时，恒成立，则下列命题正确的是()。A、B、直线是函数的图像的一条对称轴C、函数在区间内为增函数D、方程在区间内有四个实数根【答案】BD【解析】A选项，∵为上的偶函数，且对，均有，∴令得：，∴，错，B选项，∵，∴，∴是以为周期的偶函数，∴，，∴，∴图像关于对称，对，C选项，∵当且时，恒成立，∴在上为增函数，又函数是偶函数，∴在上为减函数，又函数是以为周期的函数，∴在上为减函数，错，D选项，∵在上为减函数，在上为增函数，且，∴方程在上有个实根(和)，又函数是以为周期的函数，∴方程在上有个实根()，
在区间上有一个实根()，∴方程在上有个实根，对，故选BD。三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．定义集合运算，若，，则集合中的元素个数为。【答案】【解析】∵，，∴，因此中的元素个数为。14．问题某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高。当住第层楼时，上下楼造成的不满意度为。但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随着楼层的升高，环境不满意度降低。设住第层楼时，环境不满意程度为。则此人应选第楼，会有一个最佳满意度。【答案】【解析】设此人应选第层楼，此时的不满意程度为，由题意知，∵，当且仅当，即时取等号，但考虑到，∴当时，当时，即此人应选楼，不满意度最低。15．设函数，则函数零点的个数是。【答案】【解析】的零点相当于：与的两图像的交点，作图，有四个交点。16．将函数图像向左平移个单位，再向上平移个单位，得到图像，若，且、，则的最大值为。【答案】
【解析】由题意可得，∴，又，∴，由，得()，∵、，∴。四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）已知全集，非空集合，。(1)当时，求；(2)命题：，命题：，若是的必要条件，求实数的取值范围。【解析】(1)∵时，，2分，4分全集，∴，∴；5分(2)∵命题：，命题：，是的必要条件，∴，6分∵，∴，8分∵，，∴，解得或，故实数的取值范围。10分18．（本小题满分12分）定义在上的函数满足，当时有。(1)求在上的解析式；(2)判断在上的单调性并用定义证明。【解析】(1)设，则，∵，且时，，2分∴时，有，4分
在中，令，，5分综上，当时，有：；6分(2)在上是减函数，证明：设，则，，8分∴，，∴，10分∴，∴在上是减函数。12分19．（本小题满分12分）已知函数。(1)当时，求函数的单调递增区间；(2)若，求函数的值域。【解析】(1)函数，∴，2分令，，∴，∵，∴函数的单调递增区间；4分(2)，6分令，∵，∴，8分∴，∴，10分
∴原式可化为，，11分∴，∴最大值为，最小值为，∴值域为。12分20．（本小题满分12分）已知函数，。(1)求函数的解析式；(2)解不等式；(3)若在上单调递增，求实数的范围。【解析】(1)∵，∴；2分(2)由可得：，等价于，解得，或，解得，4分∴原不等式的解集为；6分(3)依题意在上单调递增，7分①当时，在上单调递增，符合题意，8分②当时，为二次函数，对称轴为，9分当时，图像开口向上，只需，解得，10分当时，图像开口向下，只需，解得，11分综上：。12分21．（本小题满分12分）已知函数满足(且)。(1)判断函数的奇偶性及单调性；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；(3)当时，恒成立，求的取值范围。【解析】(1)令()，则，∵，
则()，2分又∵，∴为奇函数，4分又当时，为增函数，为增函数，当时，为减函数，仍为增函数，6分综上，可知是上递增的奇函数；7分(2)由(1)，当时，，再由单调性及定义域可得；9分(3)设，∵是上的增函数，∴在上也递增，由得，则，要使恒成立，只需在时恒成立，11分即，解得且。12分22．（本小题满分12分）已知函数。(1)若且时，求的最大值和最小值；(2)若且时，方程有两个不相等的实数根、，求的取值范围及的值。【解析】(1)若，则，∵，∴，1分∴当时，的取得最大值为，此时在的最大值为，3分当时，的取得最小值为，此时在的最小值为；5分(2)若，，∵，∴，∴，∴，7分
当有两不等的根，结合函数的图像可得或，即，9分由得，由，得，10分即函数在内的对称性为和，两个根分别关于和对称，11分即或。12分
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