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人教版高中数学高一上学期期末复习试题数学一、单项选择题1.设全集，，，则如图阴影部分表示的集合为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】解出集合、，然后利用图中阴影部分所表示的集合的含义得出结果.【详解】，.图中阴影部分所表示的集合为且.故选：D.【点睛】本题考查韦恩图表示的集合的求解，同时也考查了一元二次不等式的解法，解题的关键就是弄清楚阴影部分所表示的集合的含义，考查运算求解能力，属于基础题.2.命题：，，则该命题的否定为（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】【分析】根据特称命题的否定可得出结论.
【详解】由特称命题的否定可知，原命题的否定为：，.故选：B.【点睛】本题考查特称命题否定的改写，解题的关键就是弄清特称命题的否定与全称命题之间的关系，属于基础题.3.若，，，则有（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与、的大小关系，从而可得出这三个数的大小关系.【详解】指数函数为增函数，则；对数函数为增函数，则，即；对数函数为增函数，则.因此，.故选：A.【点睛】本题考查指数式与对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性得出各数与中间值、的大小关系，考查推理能力，属于基础题.4.设,则“”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】由一定可得出；但反过来，由不一定得出，如，故选A.
【考点定位】本小题主要考查充分必要条件、不等式的性质等基础知识，熟练掌握这两部分的基础知识是解答好本类题目的关键.5.下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】逐个分析各选项中函数的最小正周期以及各函数在区间上的单调性，即可得出结论.【详解】对于A选项，函数的最小正周期为，且该函数在区间上单调递减；对于B选项，函数的最小正周期为，当时，，则该函数在区间上不单调；对于C选项，函数的最小正周期为，当时，，则该函数在区间上单调递减；对于D选项，函数的最小正周期为，且该函数在区间上单调递增.故选：C.【点睛】本题考查三角函数周期和单调性的判断，熟悉正弦、余弦和正切函数的基本性质是判断的关键，考查推理能力，属于基础题.6.是定义在上的偶函数，且，则下列各式一定成立的是（）A.B.C.D.【答案】B
【解析】【分析】利用偶函数的性质和对各选项中的不等式逐项判断，可得出合适的选项.【详解】由于函数是定义在上的偶函数，且.对于A选项，与的大小无法判断；对于B选项，，该不等式成立；对于C选项，与的大小无法判断；对于D选项，，与的大小无法判断.故选：B.【点睛】本题考查利用偶函数的性质判断不等式是否成立，考查推理能力，属于基础题.7.若为第四象限角，则可化简为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用同角三角函数的平方关系化简即可.【详解】为第四象限角，则，且，，因此，.故选：D.【点睛】本题考查利用同角三角函数的平方关系化简，在去绝对值时，要考查代数式的符号，考查计算能力，属于中等题.
8.用函数表示函数和中的较大者，记为：．若，，则的大致图象为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】在同一直角坐标系中作出两个函数和的图象，结合函数的定义得出该函数的图象.【详解】在同一直角坐标系中作出两个函数和的图象，如下图所示：由图象可知，，因此，函数的图象为A选项中的图象.
故选：A.【点睛】本题考查函数图象的识别，理解函数的定义是关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、多项选择题9.对于①，②，③，④，⑤，⑥，则为第二象限角的充要条件为（）A.①③B.①④C.④⑥D.②⑤【答案】BC【解析】【分析】根据为第二象限角判断出、、的符号，从而可得出为第二象限角的充要条件.【详解】若为第二象限角，则，，.所以，为第二象限角或或.故选：BC.【点睛】本题考查三角函数值的符号与象限角之间的关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.10.如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为．关于下列说法正确的是（）A.浮萍每月的增长率为B.浮萍每月增加的面积都相等C.第个月时，浮萍面积不超过D.若浮萍蔓延到、、所经过的时间分别是、、，则
【答案】AD【解析】【分析】将点的坐标代入函数的解析式，求出底数的值，然后利用指数函数的基本性质以及指数运算逐个分析各选项的正误，可得出结论.【详解】将点的坐标代入函数的解析式，得，函数的解析式为.对于A选项，由可得浮萍每月增长率为，A选项正确；对于B选项，浮萍第个月增加的面积为，第个月增加的面积为，，B选项错误；对于C选项，第个月时，浮萍的面积为，C选项错误；对于D选项，由题意可得，，，，，即，所以，，D选项正确.故选：AD.【点睛】本题考查指数函数基本性质应用以及指数幂的运算，解题的关键就是求出指数函数的解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11.下列命题中正确的是（）A.函数区间上有且只有个零点B.若函数，则C.如果函数在上单调递增，那么它在上单调递减D.若函数的图象关于点对称，则函数为奇函数【答案】ABD【解析】【分析】
分析函数在区间上的单调性，结合零点存在定理可判断A选项的正误；利用作差法可判断B选项的正误；利用奇函数与单调性之间的关系可判断出C选项的正误；利用函数奇偶性的定义可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，函数在区间上减函数，函数在区间上为增函数，所以，函数在区间上为减函数，，，所以，函数在区间上有且只有个零点，A选项正确；对于B选项，，B选项正确；对于C选项，令，定义域为，关于原点对称，且，所以，函数为奇函数，由于该函数在区间为增函数，则该函数在区间上也为增函数，C选项错误；对于D选项，由于函数的图象关于点对称，则，令，定义域为，且，即，所以，函数为奇函数，D选项正确.故选：ABD.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及函数的单调性、对称性、零点存在定理的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
12.若函数在区间上有个零点，则的可能取值为（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】令，可得，作出函数与在区间上的图象，可知两个函数在区间上的图象有两个交点，进而求出实数的取值范围，从而可得出合适的选项.【详解】令，可得，可知两个函数在区间上的图象有两个交点，作出函数与在区间上的图象，如下图所示：则或，解得或.故选：BD.【点睛】本题考查利用三角函数的零点个数求参数，一般转化为两个函数的交点个数问题，考查数形结合思想的应用，属于中等题.三、填空题13.______．【答案】
【解析】【分析】利用指数的运算性质和对数的换底公式可计算出所求代数式的值.【详解】原式.故答案为：.【点睛】本题考查指数与对数的混合运算，涉及指数的运算性质和换底公式的应用，考查计算能力，属于基础题.14.已知，则的最小值是______.【答案】【解析】由得：，所以，当且仅当时，取等号，故填.15.已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则______．【答案】【解析】【分析】由函数的图象无限接近直线但又不与该直线相交可得出，再将原点坐标代入该函数的解析式可求出的值，由此可计算出的值.【详解】由于函数的图象无限接近直线但又不与该直线相交，则，又函数的图象过原点，则，可得，因此，.
故答案为：.【点睛】本题考查利用指数型函数的基本性质求参数，考查计算能力，属于基础题.16.已知相互啮合的两个齿轮，大轮有齿，小轮有齿．当小轮转动两周时，大轮转动的角为______；如果小轮的转速为转/分，大轮的半径为，则大轮周上一点每秒转过的弧长为______．【答案】(1).(2).【解析】【分析】可设大齿轮和小齿轮旋转的角速度分别为、，根据两齿轮转动时转过的齿轮数相等可求出的值，进而可求出结果.【详解】设大齿轮和小齿轮旋转的角速度分别为、，在转动时，两齿轮转过的齿轮数相等，当小轮转动两周时，转过的齿轮数为，则大齿轮转动的角为.由题意可知，，（转/秒），所以，大轮周上一点每秒转过的弧长为.故答案为：；.【点睛】本题考查扇形圆心角与弧长的计算，解题时要明确两齿轮旋转时转过的齿轮数相等，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.四、解答题17.已知.（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】
【分析】（1）由等式可求出与的等量关系，从而可求出的值；（2）利用诱导公式将所求代数式化简，然后在所求代数式上除以转化为正、余弦齐次分式，利用弦化切的思想可计算出所求代数式的值.【详解】（1），，，因此，；（2）.【点睛】本题考查三角函数求值，涉及弦化切思想以及诱导公式的应用，考查计算能力，属于基础题.18.已知是定义在上的奇函数，当时，．（1）求当时的解析式；（2）求不等式的解集．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）设，可得出，求出的表达式，再利用奇函数的性质可得出的表达式；（2）分、、三种情况解不等式，进而可得出该不等式的解集.【详解】（1）当时，，当时，，．又是上的奇函数，．，即时，；（2）当时，不等式可化为，，显然成立；当时，是奇函数，成立；当时，不等式可化为，，，得．
综上可知，不等式的解集为．【点睛】本题考查利用函数奇偶性求函数解析式，同时也考查了分段函数不等式的求解，涉及指数函数单调性的应用，考查计算能力，属于中等题.19.已知函数的最小正周期为，且．（1）求的解析式；（2）求在区间上的最大值和最小值．【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为．【解析】【分析】（1）由函数的最小正周期可求出的值，再由结合的取值范围求出的值，由此可得出函数的解析式；（2）由计算出的取值范围，再利用正弦函数的基本性质可得出函数的最大值和最小值.【详解】（1）的最小正周期，，则，由，得，即，又，，故；（2），，，，
在区间上最大值为，最小值为．【点睛】本题考查利用正弦型三角函数的基本性质求函数解析式，同时也考查了正弦型函数在区间上最值的求解，解题时要充分利用正弦函数的基本性质求解，考查计算能力，属于中等题.20.某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔（单位：分钟）满足，．经测算，该路无人驾驶公交车载客量与发车时间间隔满足：，其中．（1）求，并说明的实际意义；（2）若该路公交车每分钟的净收益（元），问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益．【答案】（1），发车时间间隔为分钟时，载客量为；（2）当发车时间间隔为分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为元．【解析】【分析】（1）将代入函数的解析式，可计算出，结合题意说明的实际意义；（2）求出函数的解析式，分别求出该函数在区间和上的最大值，比较大小后可得出结论.【详解】（1），实际意义为：发车时间间隔为分钟时，载客量为；（2），当时，，任取，则
，，所以，，，，所以，函数在区间上单调递增，同理可证该函数在区间上单调递减，所以，当时，取得最大值；当时，，该函数在区间上单调递减，则当时，取得最大值．综上，当发车时间间隔为分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为元．【点睛】本题考查分段函数模型的应用，考查分段函数最值的计算与实际应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.21.已知是偶函数．（1）求的值；（2）若函数的图象与直线有公共点，求a的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由偶函数的定义结合对数的运算性质可求出实数的值；（2）利用参变量分离法得出关于的方程有解，然后利用指数函数和对数的函数的基本性质求出的取值范围，即可得出实数的取值范围.【详解】（1）是偶函数，，，化简得，即，，，即对任意的都成立，；
（2）由题意知，方程有解，亦即，即有解，有解，由，得，，故，即的取值范围是．【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数，同时也考查了利用函数的零点个数求参数，涉及对数运算性质的应用，灵活利用参变量分离法能简化计算，考查运算求解能力，属于中等题.22.某地区上年度电价为元/（），年用电量为．本年度该地政府实行惠民政策，要求电力部门让利给用户，将电价下调到元/（）至元/（）之间，而用户的期望电价为元/（）．经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）．该地区的电力成本价为元/（）．（1）写出本年度电价下调后电力部门的收益（单位：元）关于实际电价（单位：元/（）的函数解析式；（收益实际用电量（实际电价成本价））（2）设，当电价最低定为多少时，可保证电力部门的收益比上年至多减少？【答案】（1），；（2）当电价最低定为元/（）时，可保证电力部门的收益比上年至多减少．【解析】【分析】（1）设下调电价后新增用电量为，可得出，进而求出本年度的用电量，再结合收益的计算方法可得出收益关于实际电价的函数解析式；（2）根据题意得出，解此不等式组，即可得出结论.【详解】（1）设下调电价后新增用电量为，因为下调电价后新增用电量和实际电价与用户期望电价的差成反比（比例系数为），则，所以本年度的用电量为，
所以本年度电力部门的收益关于实际电价的函数解析式为：，；（2）依题意有：，整理得：，解得：，所以当电价最低定为元/（）时，可保证电力部门的收益比上年至多减少．【点睛】本题考查函数模型的实际应用，根据题意求出函数模型解析式是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
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