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2017年陕西省西安市碑林区八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）不等式x＜3的解集是（ ）A．B．x＞6C．x＜6D．2．（3分）若a＜0，则不等式﹣ax+a＜0的解集是（ ）A．x＜1B．x＞1C．x＜﹣1D．x＞﹣13．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．4．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，若CD=1，则AB的长是（ ）A．2B．C．D．45．（3分）若等腰三角形的一个内角为80°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）A．80°B．50°C．80°或50°D．80°或20°6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则△ACD的周长是（ ）
A．7B．8C．9D．107．（3分）如图，已知AB=AC=AD，∠CAD=20°，则∠CBD的度数是（ ）A．10°B．15°C．20°D．25°8．（3分）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）A．如果a＞0，b＜0，则a﹣b＞0B．两直线平行，同旁内角互补C．四边形是多边形D．若a＞0，则|a|=a9．（3分）下列说法正确的是（ ）A．平移不改变图形的形状和大小，而旋转改变图形的形状和大小B．在平面直角坐标系中，一个点向右平移2个单位，则纵坐标加2C．在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分D．在平移和旋转图形中，对应角相等，对应线段相等且平行10．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（2，）绕原点O顺时针旋转90°后得到点P′，则点P′的坐标是（ ）A．B．C．D． 二、填空题（每小题3分，共24分）11．（3分）已知点A（a，3）与点B（﹣5，b）关于原点对称，则a+b= ．[来源:学|科|网Z|X|X|K]12．（3分）已知长度为3cm，4cm，xcm的三条线段可以构成一个三角形，则x的取值范围是 ．13．（3分）直角三角形中，两锐角的角平分线所夹的锐角是 度．14．（3分）将直线y=2x+3向下平移2个单位，得直线 ．[来源:学#科#网Z#X#X#K]
15．（3分）已知O为三边垂直平分线交点，∠BAC=80°，则∠BOC= ．16．（3分）将点A向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到点A′（4，5），则点A的坐标是 ．17．（3分）用反证法证明“已知五个正数的和等于1，求证：这五个正数中至少有一个大于或等于”时，首先要假设 ．18．（3分）如图，长为1的线段AB在x轴上移动C（0，1）、D（0，2），则AC+BD的最小值是 ． 三、解答题（共46分）19．（10分）解不等式（组）：（1）﹣＞﹣．（2）．20．（7分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AB．求证：∠A=30°．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点都在格点上，点A的坐标为（1，1）．（1）将Rt△ABC先向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度得到Rt△A1B1C1，请在图中画出Rt△A1B1C1，并写出点A1的坐标．（2）再将Rt△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°后得到Rt△A2B2C2，请在图中画出Rt△A2B2C2，并直接写出Rt△A1B1C1在上述旋转过程中点B1所经过的路径长．22．（6分）如图，在四边形BCDE中，∠C=∠BED=90°，∠B=60°，延长CD、BE，两线相交于点A，已知CD=2，DE=1，求Rt△ABC的面积．23．（8分）某餐厅计划购买12张餐桌和一批椅子（不少于12把），现从甲、乙两商场了解到同一型号的餐桌报价都为每张200元，餐椅报价都为每把50元．甲商场规定：每购买一张餐桌赠送一把餐椅；乙商场规定：所有餐桌、餐椅均按报价的八五折销售，那么，什么情况下到甲商场购买更优惠．24．（7分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，AC=4，求四边形ABCD的面积．
2017年陕西省西安市碑林区八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析 一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）不等式x＜3的解集是（ ）A．B．x＞6C．x＜6D．【解答】解：x＜3，两边都乘以2得：x＜6，故选C． 2．（3分）若a＜0，则不等式﹣ax+a＜0的解集是（ ）A．x＜1B．x＞1C．x＜﹣1D．x＞﹣1【解答】解：﹣ax+a＜0，﹣ax＜﹣a，∵a＜0，∴﹣a＞0，∴x＜1，故选A． 3．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．
4．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，若CD=1，则AB的长是（ ）A．2B．C．D．4【解答】解：∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠ABC=180°﹣∠A﹣∠C=60°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠CBD=∠ABC=30°，即在Rt△BCD中，∠CBD=30°，∴BD=2CD=2（含30度角的直角三角形的性质），由勾股定理得：BC==，∵∠A=30°，∠C=90°，∴AB=2BC=2，故选：B． 5．（3分）若等腰三角形的一个内角为80°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）A．80°B．50°C．80°或50°D．80°或20°【解答】解：当80°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是80°；当80°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°﹣80°×2=20°．故选D． 6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则△ACD的周长是（ ）
A．7B．8C．9D．10【解答】解：∵AB的垂直平分线交BC于点D，∴AD=BD，∵BC=4，AC=3，∴CD+AD=CD+BD=BC=4，∴△ACD的周长为：4+3=7．故选A． 7．（3分）如图，已知AB=AC=AD，∠CAD=20°，则∠CBD的度数是（ ）A．10°B．15°C．20°D．25°【解答】解：∵AC=AD，∠CAD=20°，∴∠ACD=∠ADC=80°，设∠ACB=β，∠CBD=α，∵AB=AC，[来源:Z.xx.k.Com]∴∠ABC=∠ACB=β，∴∠ABD=β﹣α，∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABD=β﹣α，∴∠BDC=∠ADC﹣∠ADB=80°﹣（β﹣α），在△BCD中，∠CBD+∠BDC+∠BCD=180°，∴α+80°﹣（β﹣α）+β+80°=180°，∴α=10°，
即：∠CBD=10°，故选A． 8．（3分）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）A．如果a＞0，b＜0，则a﹣b＞0B．两直线平行，同旁内角互补C．四边形是多边形D．若a＞0，则|a|=a【解答】解：A、如果a＞0，b＜0，则a﹣b＞0的逆命题为如果a﹣b＞0，则a＞0，b＜0，此逆命题为假命题；B、两直线平行，同旁内角互补的逆命题为同旁内角互补，两直线平行，此逆命题为真命题；C、四边形是多边形的逆命题为多边形为四边形，此逆命题为假命题；D、若a＞0，则|a|=a的逆命题为若|a|=a，则a＞0，此逆命题为假命题．故选B． 9．（3分）下列说法正确的是（ ）A．平移不改变图形的形状和大小，而旋转改变图形的形状和大小B．在平面直角坐标系中，一个点向右平移2个单位，则纵坐标加2C．在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分D．在平移和旋转图形中，对应角相等，对应线段相等且平行【解答】解：A、平移不改变图形的形状和大小，旋转也不改变图形的形状和大小，故此选项错误；B、在平面直角坐标系中，一点向右平移2个单位，横坐标加2，故此选项错误；C、在成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都被对称中心平分，此选项正确；D、在平移中，对应角相等，对应线段相等且平行，旋转则对应线段有可能不平行，故此选项错误．故选：C． 10．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（2，
）绕原点O顺时针旋转90°后得到点P′，则点P′的坐标是（ ）A．B．C．D．【解答】解：如图，点P′的坐标是（，﹣2）．故选D． 二、填空题（每小题3分，共24分）11．（3分）已知点A（a，3）与点B（﹣5，b）关于原点对称，则a+b= 2 ．【解答】解：∵点A（a，3）与点B（﹣5，b）关于原点对称，∴a=5，b=﹣3，a+b=2，故答案为：2． 12．（3分）已知长度为3cm，4cm，xcm的三条线段可以构成一个三角形，则x的取值范围是 1＜x＜7 ．【解答】解：根据三角形的三边关系，得4﹣3＜x＜4+3，即1＜x＜7．故答案为1＜x＜7． 13．（3分）直角三角形中，两锐角的角平分线所夹的锐角是 45 度．【解答】解：如图所示△ACB为Rt△，AD，BE，分别是∠CAB和∠ABC的角平分线，AD，BE相交于一点F．
∵∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°∵AD，BE，分别是∠CAB和∠ABC的角平分线，∴∠FAB+∠FBA=∠CAB+∠ABC=45°．故答案为：45． 14．（3分）将直线y=2x+3向下平移2个单位，得直线 y=2x+1 ．【解答】解：将直线y=2x+3向下平移2个单位，得到直线y=2x+3﹣2，即y=2x+1．故答案为：y=2x+1． 15．（3分）已知O为三边垂直平分线交点，∠BAC=80°，则∠BOC= 160° ．【解答】解：∵已知点O为三边垂直平分线交点，∴点O为△ABC的外心，∴∠BOC=2∠BAC，∵∠BAC=80°，∴∠BOC=160°，故答案为：160°．
16．（3分）将点A向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到点A′（4，5），则点A的坐标是 （2，8） ．【解答】解：把点A′（4，5）向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得对应点A的坐标为（2，8）．故答案为（2，8）． 17．（3分）用反证法证明“已知五个正数的和等于1，求证：这五个正数中至少有一个大于或等于”时，首先要假设 这五个数都小于 ．【解答】解：首先要假设这五个数都小于．故答案为：这五个数都小于． 18．（3分）如图，长为1的线段AB在x轴上移动C（0，1）、D（0，2），则AC+BD的最小值是 ．【解答】解：如图所示，以AB，BD为边构造平行四边形ABDE，作点C关于x轴的对称点F，连接AF，则DE⊥y轴，OF=OC=1，∵四边形ABDE是平行四边形，∴BD=AE，DE=AB=1，∵AB垂直平分线CF，∴AC=AF，∴AC+BD=AE+AF，如图，当点E，A，F在同一直线上时，AE+AF=EF（最短），此时，∵Rt△DEF中，DE=1，DF=2+1=3，∴EF===，∴AC+BD的最小值是．
故答案为：． 三、解答题（共46分）19．（10分）解不等式（组）：（1）﹣＞﹣．（2）．【解答】解：（1）﹣＞﹣，去分母得5（2x+1）﹣（1﹣3x）＞﹣2，去括号得10x+5﹣1+3x＞﹣2，移项得10x+3x＞﹣2﹣5+1，合并同类项得13x＞﹣6，系数化为1得x＞﹣；（2），由①得x≤2，由②得x＞﹣1．故不等式组的解集是﹣1＜x≤2．
20．（7分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AB．求证：∠A=30°．【解答】证明：取AB的中点D，连接CD，∵∠C=90°，点D是AB的中点，∴CD=AD=BD=AB，∴∠A=∠DCA，∵BC=AB，∴CD=BD=BC，∴△BCD是等边三角形，∴∠BDC=60°，∴∠A=∠DCA=30°． 21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点都在格点上，点A的坐标为（1，1）．（1）将Rt△ABC先向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度得到Rt△A1B1C1，请在图中画出Rt△A1B1C1，并写出点A1的坐标．（2）再将Rt△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°后得到Rt△A2B2C2，请在图中画出Rt△A2B2C2，并直接写出Rt△A1B1C1在上述旋转过程中点B1所经过的路径长．
【解答】解：（1）如图所示，Rt△A1B1C1即为所求，点A1的坐标为（﹣4，0）．（2）如图所示，Rt△A2B2C2即为所求；∵A1B1==5，∠B1A1B2=90°，∴点B1所经过的路径长为=π． 22．（6分）如图，在四边形BCDE中，∠C=∠BED=90°，∠B=60°，延长CD、BE，两线相交于点A，已知CD=2，DE=1，求Rt△ABC的面积．【解答】解：∵∠C=90°，∠B=60°，∴∠A=30°，
∴AD=2DE=2，∴AC=AD+CD=4，设BC=x，则AB=2x，由勾股定理得，（2x）2﹣x2=16，解得，x=，即BC=，则Rt△ABC的面积=×BC×AC=． 23．（8分）某餐厅计划购买12张餐桌和一批椅子（不少于12把），现从甲、乙两商场了解到同一型号的餐桌报价都为每张200元，餐椅报价都为每把50元．甲商场规定：每购买一张餐桌赠送一把餐椅；乙商场规定：所有餐桌、餐椅均按报价的八五折销售，那么，什么情况下到甲商场购买更优惠．【解答】解：设学校计划购买x把餐椅，到甲、乙两商场购买所需要费用分别为y甲、y乙，①当椅子的数量小于12时，y甲=2400；y乙=（200×12+50x）×85%；当y甲＜y乙时，2400＜2040+x，解得：x＞8.47，即x≥9．②y甲=200×12+50（x﹣12），即：y甲=1800+50x；y乙=（200×12+50x）×85%，即y乙=2040+x；当y甲＜y乙时，1800+50x＜2040+x，∴x＜32，又根据题意可得：x≥12，∴12≤x＜32，综上所述，当购买的餐椅大于等于9少于32把时，到甲商场购买更优惠． 24．（7分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠
BCD=90°，AB=AD，AC=4，求四边形ABCD的面积．【解答】解：作AE⊥CD于E，AF⊥CB于F．∴∠AEC=∠ECF=∠F=90°，∴四边形AECF是矩形，∴∠EAF=∠DAB=90°，∴∠DAE=∠BAF．∵AD=AB，∠AED=∠F=90°，∴△AED≌△AFB，∴AE=AF，△AED与△AFB的面积相等，∴四边形AECF是正方形，∴S四边形ABCD=S正方形AECF=•AC2=8．
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