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1.3.2球的体积和表面积A级 基础巩固一、选择题1．如果三个球的半径之比是1︰23，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( B )A．倍 B．倍 C．2倍 D．3倍[解析] 设小球半径为1，则大球的表面积S大＝36π，S小＋S中＝20π，＝.2．若两球的体积之和是12π，经过两球球心的截面圆周长之和为6π，则两球的半径之差为( A )A．1 B．2 C．3 D．4[解析] 设两球的半径分别为R、r(R>r)，则由题意得，解得.故R－r＝1.3．一个正方体表面积与一个球表面积相等，那么它们的体积比是( A )A． B．C． D．[解析] 由6a2＝4πR2得＝，∴＝＝3＝.4．球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是( C )A． B． C． D．π[解析] 设正方体的棱长为a，球半径为R，则3a2＝4R2，∴a2＝R2，球的表面积S1＝4πR2，正方体的表面积S2＝6a2＝6×R2＝8R2，∴S1︰S2＝.5．(2019·福建高三毕业自主检测)某简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在球O的球面上，则球O的体积为( B )
A．π B．4πC．12π D．32π6．若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r、R，则球的表面积为( C )A．4π(r＋R)2 B．4πr2R2C．4πRr D．π(R＋r)2[解析] 解法一：如图，设球的半径为r1，则在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r.由勾股定理得4r＝(R＋r)2－(R－r)2，解得r1＝.故球的表面积为D球＝4πr＝4πRr.解法二：如图，设球心为O，球的半径为r1，连接OA、OB，则在Rt△AOB中，OF是斜边AB上的高．由相似三角形的性质得OF2＝BF·AF＝Rr，即r＝Rr，故r1＝，故球的表面积为S球＝4πRr.二、填空题7．(2017·天津理，10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为___.[解析] 设正方体的棱长为a，则6a2＝18，∴a＝.设球的半径为R，则由题意知2R＝＝3，∴R＝.故球的体积V＝πR3＝π×()3＝.8．(2018·莆田高一检测)已知两个球的表面积之比为1︰16，则这两个球的半径之比为_1︰4__.[解析] 球的表面积公式为4πR2，设两球半径分别为r1，r2，∴＝，∴＝.三、解答题9．体积相等的正方体、球、等边圆柱(轴截面为正方形)的全面积分别是S1、S2、S3
，试比较它们的大小．[解析] 设正方体的棱长为a，球的半径为R，等边圆柱的底面半径为r，则S1＝6a2，S2＝4πR2，S3＝6πr2.由题意知，πR3＝a3＝πr2·2r，∴R＝a，r＝a，∴S2＝4π2＝4π·a2＝a2，S3＝6π2＝6π·a2＝a2，∴S23a2＝a2，即S1>S3.∴S1、S2、S3的大小关系是S2
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