资料简介
1.3.2 球的体积和表面积问题导学一、球的表面积与体积活动与探究1(1)已知球的直径为8cm，求它的表面积和体积；(2)已知球的表面积为144π，求它的体积；(3)已知球的体积为π，求它的表面积．迁移与应用1．两个球的体积之比为1∶27，那么两个球的表面积之比为( )A．1∶9B．1∶27C．1∶3D．1∶12．三个球的半径比是1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两球体积和的( )A．1倍B．2倍C．3倍D．8倍(1)与球的体积、表面积有关的问题就是与球的半径有关的问题，设出球的半径或求出球的半径，一切问题都迎刃而解．(2)两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方，两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方．二、球的截面问题活动与探究2已知球的两平行截面的面积为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，求这个球的表面积和体积．迁移与应用已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的倍，且AC＝8，BC＝6，AB＝10，求球的表面积与球的体积．设球的截面圆上一点A，球心为O，截面圆心为O1，则△AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形，解答球的截面问题时，常用该直角三角形求解，并常用过球心和截面圆心的轴截面．三、有关几何体的外接球与内切球活动与探究3有三个球，第一个球内切于正方体；第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．迁移与应用1．长方体的一个顶点上三条棱的长分别为3,4,5，且它的八个顶点都在同一个球面上，求这个球的表面积．2．在球面上有四个点A，B，C，P，且PA，PB，PC两两垂直，PA＝a，PB＝a，PC＝a．求球的体积．(1)球内接长方体的体对角线长等于球的直径．(2)注意“迁移与应用2”的解法：补形法的应用，即遇到类似问题时，可补形为一个长方体，利用长方体的外接球求解．当堂检测1．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的( )A．2倍B．2倍C．倍D．3倍2．设正方体的表面积为24cm2，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是( )
A．πcm3B．6cm3C．πcm3D．πcm33．某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )A．72πB．48πC．30πD．24π4．球的大圆的面积为9π，则该球的表面积为__________．5．已知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6π和8π，求这两个截面间的距离．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．答案：课前预习导学【预习导引】πR3 4πR2预习交流 提示：设球的半径为R，则πR3＝36π，所以R＝3，所以球的表面积S＝4πR2＝36π．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：根据条件，求出球的半径，再代入公式求解．解：(1)∵球的直径为8cm，∴半径R＝4cm．∴表面积S球＝4πR2＝64π(cm2)，体积V球＝πR3＝π(cm3)．(2)∵S球＝4πR2＝144π，∴R＝6．∴V球＝πR3＝π×63＝288π．(3)∵V球＝πR3＝，∴R＝5．∴S球＝4πR2＝4π×52＝100π．
迁移与应用 1．A2．C活动与探究2 思路分析：利用截面圆的半径、球的半径以及球心与截面圆心的连线构成的直角三角形求解．解：如图是球的轴截面．设以r1为半径的截面面积为5π，以r2为半径的截面面积为8π，O1O2=1，球的半径为R，则πr12=5π，πr22=8π，∴r12=5，r22=8．∴OO1=，OO2=．∴O1O2=OO1－OO2==1，移项得＝1＋，两边平方并化简得＝1．∴R2＝9，R＝3，∴球的表面积S球＝4π×32＝36π，球的体积V球＝π×33＝36π．迁移与应用解：如图，设球的半径为R，球心为O，截面圆心为O1，则OO1＝R．在△ABC中，∵AC2＋BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴O1是AB的中点，即O1B＝5．又OO＋O1A2＝OA2，∴2＋52＝R2，∴R2＝100，R＝10．∴球的表面积S球＝4πR2＝4π×102＝400π，球的体积V球＝πR3＝π×103＝π．活动与探究3 解：作出截面图，分别求出三个球的半径．设正方体的棱长为a．(1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个正方形面的中心，经过四个切点及球心作截面，如图①，有2r1＝a，r1＝，所以S1＝4πr12＝πa2．
(2)球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心取正方体的对角面为截面，如图②，有2r2＝a，r2＝a，所以S2＝4πr22＝2πa2．(3)正方体的各个顶点在球面上，过球心取正方体的对角面为截面，如图③，所以2r3＝a，r3＝a，所以S3＝4πr32＝3πa2．图③综上知S1∶S2∶S3＝1∶2∶3．迁移与应用 1．解：设球半径为R，∵长方体的一个顶点上三条棱的长分别为3,4,5，∴2R＝＝5．∴R＝．∴S球表面积＝4πR2＝4π×＝50π．2．解：以PA，PB，PC为棱作一长方体，则该长方体内接于球．设长方体的对角线长为l，球半径为R，则l＝＝2a．所以R＝a．所以V球＝πa3．【当堂检测】1．B 2．D 3．C 4．36π5．解：当两个截面在球心同一侧时，其轴截面如图甲．由题意知O1A＝3，O2B＝4，又OA＝OB＝5，由勾股定理得OO1＝4，OO2＝3．∴O1O2＝1．当两个截面在球心两侧时，其轴截面如图乙．同理可得OO1＝4，OO2＝3，∴O1O2＝7．∴这两个截面间的距离为1或7．
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