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1．3.2 球的体积和表面积球的体积和表面积[提出问题]从生活经验中我们知道，不能将橘子皮展成平面，因为橘子皮近似于球面，这种曲面不能展成平面图形．那么，人们又是怎样计算球面的面积的呢？古人在计算圆周率时，一般是用割圆术，即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长．理论上，只要取得圆内接正多边形的边数越多，圆周率越精确，直到无穷．这种思想就是朴素的极限思想．问题1：运用上述思想能否计算球的表面积和体积？提示：可以．问题2：求球的表面积和体积需要什么条件？提示：已知球的半径即可．[导入新知]1．球的体积设球的半径为R，则球的体积V＝πR3.2．球的表面积设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍．[化解疑难]1．一个关键把握住球的表面积公式S球＝4πR2，球的体积公式V球＝πR3是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件．把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了．2．两个结论(1)两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方．(2)两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方．球的体积与表面积[例1] 若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，求圆锥侧面积与球面面积之比．[解] 设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，球的半径为R，-9-
则由题意得∴π(2R)2·h＝πR3，∴R＝h，r＝2h，∴l＝＝h，∴S圆锥侧＝πrl＝π×2h×h＝2πh2，S球＝4πR2＝4πh2，∴＝＝.[类题通法]求球的体积与表面积的方法(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解．(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．[活学活用] 球的体积是，则此球的表面积是( )A．12π B．16πC.D.答案：B根据三视图计算球的体积与表面积[例2] 一个几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的表面积是________cm2.[答案] 4π＋12[类题通法]1．由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义．根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积．此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆．2．计算球与球的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接，避免重叠和交叉．[活学活用]如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为( )A．18π B．30π-9-
C．33π D．40π答案：C球的截面问题[例3] 已知球的两平行截面的面积为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，求这个球的表面积．[解] 如图所示，设以r1为半径的截面面积为5π，以r2为半径的截面面积为8π，O1O2＝1，球的半径为R，OO2＝x，那么可得下列关系式：r＝R2－x2且πr＝π(R2－x2)＝8π，r＝R2－(x＋1)2且πr＝π[R2－(x＋1)2]＝5π，于是π(R2－x2)－π[R2－(x＋1)2]＝8π－5π，即R2－x2－R2＋x2＋2x＋1＝3，∴2x＝2，即x＝1.又∵π(R2－x2)＝8π，∴R2－1＝8，R2＝9，∴R＝3.球的表面积为S＝4πR2＝4π×32＝36π.[类题通法]球的截面问题的解题技巧(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．(2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.[活学活用] 已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，求球的表面积与球的体积．解：如图，设球心为O，球半径为R，作OO1垂直平面ABC于O1，由于OA＝OB＝OC＝R，则O1是△ABC的外心．设M是AB的中点，由于AC＝BC，则O1在CM上．设O1M＝x，易知O1M⊥AB，设O1A＝，O1C＝CM－O1M＝－x.又O1A＝O1C，∴＝－x.解得x＝.则O1A＝O1B＝O1C＝.-9-
在Rt△OO1A中，O1O＝，∠OO1A＝90°，OA＝R.由勾股定理得2＋2＝R2.解得R＝.故S球＝4πR2＝54π，V球＝πR3＝27π. 1．探究与球有关的组合问题 [典例] 一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为________．[解析] 长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即2R＝＝，所以球的表面积S＝4πR2＝14π.[答案] 14π[多维探究]1．球的内接正方体问题若棱长为2的正方体的各个顶点均在同一球面上，求此球的体积．解：正方体的外接球直径等于正方体的对角线长，即2R＝×2，所以R＝，所以V球＝·π·()3＝4π.2．球内切于正方体问题将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )A. B.C.D.答案：A3．球的内接正四面体问题若棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上，求球的表面积．解：把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为x，则a＝x，-9-
由题意2R＝x＝×＝a，∴S球＝4πR2＝aπ＝aπ.4．球的内接圆锥问题球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________．解析：①当圆锥顶点与底面在球心两侧时，如图所示，设球半径为r，则球心到该圆锥底面的距离是，于是圆锥的底面半径为＝，高为.该圆锥的体积为×π×2×＝πr3，球体积为πr3，∴该圆锥的体积和此球体积的比值为＝.②同理，当圆锥顶点与底面在球心同侧时，该圆锥的体积和此球体积的比值为.答案：或5．球的内接直棱柱问题设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A．πa2B.πa2C.πa2D．5πa2答案：B[方法感悟]1．正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝，过在一个平面上的四个切点作截面，如图(1)．-9-
2．球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r2＝，如图(2)．3．长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3＝，如图(3)．4．正方体的外接球正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R＝a.5．正四面体的外接球正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：2R＝a.[随堂即时演练]1．两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为( )A．1∶9 B．1∶27C．1∶3D．1∶1答案：A2．棱长为2的正方体的外接球的表面积是( )A．8πB．4πC．12πD．16π答案：C3．火星的半径约是地球半径的一半，则地球的体积是火星体积的________倍．答案：84．已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M.若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于________．答案：16π5．(1)已知球的直径为2，求它的表面积和体积．-9-
(2)已知球的体积为36π，求它的表面积．答案：(1)表面积：4π，体积：π. (2)36π.[课时达标检测]一、选择题1．两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( )A．2∶3 B．4∶9C.∶D.∶答案：B2．设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2答案：B3．如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面面积和球的表面积之比为( )A．4∶3B．3∶1C．3∶2D．9∶4答案：C4．(全国乙卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是( )A．17πB．18πC．20πD．28π答案：A5．(山东高考)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )-9-
A.＋πB.＋πC.＋πD．1＋π答案：C二、填空题6．圆柱形容器的内壁底半径是10cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了cm，则这个铁球的表面积为________cm2.答案：100π7．正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为________．答案：π8．(天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.答案：18＋9π三、解答题9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．-9-
解：该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π，该组合体的体积V＝πr3＋πr2l＝π×13＋π×12×3＝.10．用两个平行平面去截半径为R的球面，两个截面圆的半径为r1＝24cm，r2＝15cm，两截面间的距离为d＝27cm，求球的表面积．解：设垂直于截面的大圆面交两截面圆于A1B1，A2B2，上述大圆的垂直于A1B1的直径交两截面圆于O1，O2，设球心到两截面的距离分别为d1，d2，则解得R＝25.当|d1－d2|＝27时，其与②③组成的方程组无解．∴S球＝4πR2＝2500π(cm2)．-9-
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