资料简介
1．2.3 空间几何体的直观图斜二测画法 [提出问题]美术与数学，一个属于艺术，一个属于科学，看似毫无关系，但事实上这两个学科之间有着千丝万缕的联系，在美术画图中，空间图形或实物在画板上画得既富有立体感，又能表达出各主要部分的位置关系和度量关系．问题1：在画实物图的平面图形时，其中的直角在图中一定画成直角吗？提示：为了直观，不一定．问题2：正方形、矩形、圆等平面图形在画实物图时应画成什么？为什么？提示：平行四边形、扁圆形．为增加直观性．问题3：这种作图方法与在直角坐标系中画平面图的方法相同吗？提示：不相同．[导入新知]1．用斜二测画法画平面图形的步骤(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．2．用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤(1)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可．(2)画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出高线(与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可)，连线成图．(3)擦去辅助线，被遮线用虚线表示．[化解疑难]1．画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．2．用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变，垂线长减半，直角画45°(或135°)．
水平放置的平面图形的直观图 [例1] 按图示的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE的直观图．[解] 画法：(1)在图①中作AG⊥x轴于G，作DH⊥x轴于H.(2)在图②中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.(3)在图②中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝GA，H′D′＝HD.(4)连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图③)．[类题通法]1．在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．2．画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．[活学活用] 如图是水平放置的由正方形ABCE和正三角形CDE所构成的平面图形，请画出它的直观图．解：画法：(1)以AB边所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，两轴相交于点O(如图①)，画相应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°(如图②)．
(2)在图②中，以O′为中点，在x′轴上截取A′B′＝AB；分别过A′，B′作y′轴的平行线，截取A′E′＝AE，B′C′＝BC；在y′轴上截取O′D′＝OD.(3)连接E′D′，D′C′，C′E′，并擦去辅助线x′轴和y′轴，便得到平面图形ABCDE水平放置的直观图A′B′C′D′E′(如图③)．空间几何体的直观图[例2] 用斜二测画法画棱长为2cm的正方体ABCDA′B′C′D′的直观图．[解] 画法：(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画底面．以点O为中心，在x轴上取线段MN，使MN＝2cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝1cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是正方体的底面ABCD.(3)画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正方体的直观图(如图②)．[类题通法]画空间图形的直观图的原则(1)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x轴、y轴、z轴的线段在直观图中应分别画成平行于x′轴、y′轴、z′轴的线段．(2)平行于x轴、z轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y
轴的线段长度变为原来的.[活学活用] 如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．解：(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画底面．由三视图知该几何体是一个简单组合体，它的下部是一个正四棱台，上部是一个正四棱锥，利用斜二测画法画出底面ABCD，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中相应高度，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出上底面A′B′C′D′.(3)画正四棱锥顶点．在Oz上截取点P，使PO′等于三视图中相应的高度．(4)成图．连接PA′，PB′，PC′，PD′，A′A，B′B，C′C，D′D，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如图②.直观图的还原和计算问题[例3] 如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.试画出原四边形的形状，并求原图形的面积．[解] 如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2.在过点D的y轴的平行线上截取DA＝2D1A1＝2.
在过点A的x轴的平行线上截取AB＝A1B1＝2.连接BC，即得到了原图形(如图)．由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长度为AD＝2.所以面积为S＝×2＝5.[类题通法]由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．[活学活用] 如图，Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，直角边O′B′＝1，则这个平面图形的面积是________．答案： [典例] 一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形OA′B′C′的面积为，则原梯形的面积为( )A．2 B.C．2D．4[解析] 如图，由斜二测画法原理知，原梯形与直观图中的梯形上、下底边的长度是一样的，不一样的是两个梯形的高．原梯形的高OC是直观图中OC′长度的2倍，OC′的长度是直观图中梯形的高的倍．由此知原梯形的高OC的长度是直观图中梯形高的2倍，故其面积是梯形OA′B′C′面积的2倍，梯形OA′B′C′的面积为，所以原梯形的面积是4.[答案] D
[易错防范]1．原梯形与直观图中梯形上、下底边的长度一样，但高的长度不一样．原梯形的高OC是直观图中OC′的长度的2倍，OC′长度是直观图中梯形的高的倍，此处易出错．2．解答此类问题时要注意角度的变化以及长度的变化，直观图面积S′与原图形面积S满足S′＝S.[成功破障] 如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′和x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为( )A．2 B．4C．2D．4答案：D[随堂即时演练]1．关于斜二测画法，下列说法不正确的是( )A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的C．在画与直角坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°D．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同答案：C2．利用斜二测画法得到的下列结论中，正确的是( )①两条相交直线的直观图是平行直线；②两条垂直直线的直观图是垂直直线；③正方形的直观图是平行四边形；④梯形的直观图是梯形．A．①② B．③④C．①③D．②④答案：B3.已知△ABC的直观图如图所示，则原△ABC的面积为________．答案：9
4.如图所示，一个水平放置的正方形ABCD，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图A′B′C′D′中，顶点B′到x′轴的距离为________．答案：5．画边长为1cm的正三角形的水平放置的直观图．解：(1)如图所示，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线AO所在直线为y轴，再画对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.(2)在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝0.5cm，在y′轴上截取O′A′＝AO＝cm，连接A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为正三角形ABC的直观图．[课时达标检测]一、选择题1．如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的( )答案：A2．水平放置的△ABC，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是( )A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形D．任意三角形答案：C3．如图所示的正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( )
A．6cmB．8cmC．(2＋3)cmD．(2＋2)cm答案：B4.如图所示的水平放置的三角形的直观图中，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点，那么A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形中线段AB，AD，AC中( )A．最长的是AB，最短的是ACB．最长的是AC，最短的是ABC．最长的是AB，最短的是ADD．最长的是AD，最短的是AC答案：C5．已知正三角形ABC的边长为a，那么正三角形ABC的直观图△A′B′C′的面积是( )A.a2B.a2C.a2D.a2答案：D二、填空题6.如图，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是________．答案：107．在如图所示的平面直角坐标系中，得到的边长为1的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是________．答案：(3)
8.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD，如图所示，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，原平面图形的面积为________．答案：2＋三、解答题9.如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形．解：画法：(1)如图②，画直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；(2)在图①中，过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′.在图②中，在x轴上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′.(3)连接AB，BC，则△ABC即为△A′B′C′原来的图形，如图②.10．已知某几何体的三视图如下，请画出它的直观图(单位：cm)．解：画法：(1)如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)在x轴上取线段OB＝8cm，在y轴上取线段OA′＝2cm，以OB和OA′为邻边作平行四边形OBB′A′.(3)在z轴上取线段OC＝4cm，过C分别作x轴、y轴的平行线，并在平行线上分别截取CD＝4cm，CC′＝2cm.以CD和CC′为邻边作平行四边形CDD′C′.(4)连接A′C′，BD，B′D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到该几何体的直观图(如图②)．
查看更多
