资料简介
1.2空间几何体的三视图和直观图1.2.1中心投影与平行投影1.2.2空间几何体的三视图
1.了解中心投影和平行投影.2.掌握柱、锥、台、球等简单几何体的三视图及画法.3.对于简单组合体在了解其构成的前提下会画其三视图,并能识别和描述三视图所表示的立体图形.
1.投影的有关概念(1)概念：由于光的照射,在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子的现象.(2)投影线与投影面：投影线是_____,投影面是留下物体影子的_____.光线屏幕
(3)分类：①投影②平行投影中心投影：光由一点向外_____形成的投影.平行投影：在一束_________照射下形成的投影.散射平行光线正投影：投影线_______投影面.斜投影：投影线___________投影面.正对着没有正对着
2.空间几何体的三视图(1)三视图的概念：①正视图：光线从几何体的_____向_____正投影,得到的投影图.②侧视图：光线从几何体的_____向_____正投影,得到的投影图.③俯视图：光线从几何体的_____向_____正投影,得到的投影图.前面后面左面右面上面下面
(2)三视图表达的意义和画法规则：①正、俯视图都反映物体的_____——“长对正”;②正、侧视图都反映物体的_____——“高平齐”;③俯、侧视图都反映物体的_____——“宽相等”;④能看见的轮廓线和棱用_____表示,不能看见的轮廓和棱用_____表示.长度高度宽度实线虚线
1.“判一判”理清知识的疑惑点(正确的打“√”,错误的打“×”).(1)平行直线的平行投影仍是平行的直线.()(2)直线的平行投影可能是点.()(3)如果一个几何体的三个视图是完全相同的,则这个几何体是正方体.()
提示：(1)错误.根据平行投影的性质可知,平行直线的平行投影是平行或重合的直线或两个点.(2)正确.当直线与投影线平行时,直线的投影即为一个点.(3)错误.如果一个几何体的三个视图是完全相同的,则这个几何体可能是正方体,也可能是球.答案：(1)×(2)√(3)×
2.“练一练”尝试知识的应用点(请把正确的答案写在横线上).(1)正视图为一个三角形的几何体可以是.(写出三种)(2)下列图形：①三角形;②直线;③平行四边形;④四面体;⑤球.其中投影不可能是线段的是.【解析】(1)由几何体的三视图可知,正视图为三角形的几何体可以是三棱锥、圆锥、四棱锥等.答案：三棱锥、圆锥、四棱锥(答案不唯一)
(2)三角形的投影是线段或三角形;直线的投影是点或直线;平行四边形的投影是线段或平行四边形;四面体的投影是三角形或四边形;球的投影是圆.答案：②④⑤
一、中心投影与平行投影探究1：观察下面的图形,结合中心投影和平行投影的有关概念,思考下面的问题：
(1)图中(1)和(2)分别是什么投影?提示：根据投影的概念知,图(1)为中心投影;图(2)为平行投影.
(2)若用灯泡照射一个与投影面平行的不透明物体,在投影面上形成的影子与原物体的形状和大小有什么关系?提示：在投影面上形成的影子形状与原物体相似,大小比原物体大.
(3)若用一束平行的光线照射一个与投影面平行的不透明物体,在投影面上形成的影子与原物体的形状和大小有什么关系?提示：形状和大小是相同的.
探究2：完成下面探究,体会正投影与斜投影的区别：(1)在平行投影中,一个与投影面平行的平面图形,在正投影和斜投影下的形状、大小是否发生变化?提示：形状和大小都不发生变化.(2)在平行投影中,一个与投影面不平行的平面图形,在正投影和斜投影下的形状、大小是否发生变化?提示：形状和大小会发生变化,因为不平行时,平面图形各边的长度与投影后的影子各边的长度就不相等.
【探究提升】中心投影与平行投影的说明(1)中心投影与平行投影都是在光的照射下形成的投影.(2)中心投影的投影线交于一点,平行投影的投影线互相平行.(3)平行投影下,与投影面平行的平面图形留下的影子与这个平面图形的形状和大小完全相同;而中心投影则不同.(4)画实际效果图时,一般用中心投影法,画立体几何中的图形时,一般用平行投影法.
【拓展延伸】正投影的性质(1)不垂直于投影面的直线或线段的平行投影仍是直线或线段.(2)平行直线的平行投影是平行或重合的直线.(3)平行于投影面的线段,它的投影与这条线段平行且等长.(4)在同一直线或平行直线上,两条线段平行投影的比等于这两条线段的比.(5)垂直于投影面的直线或线段的正投影是点.(6)垂直于投影面的平面图形的正投影是直线或直线的一部分.
二、空间几何体的三视图如图为棱长为1的正方体及三视图,请根据图形探究下面的问题：
探究1：一个几何体的正视图、侧视图、俯视图的长度、宽度和高度有什么关系?提示：正视图与侧视图等高;正视图和俯视图等长;侧视图和俯视图等宽.
探究2：三视图分别反映了物体的哪些位置关系?提示：正视图反映了物体的上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体的左右和前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度;侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度.
【探究提升】三视图的画法要求(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是人从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影组成的平面图形.(2)一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在正视图的下面,长度与正视图一样,侧视图放在正视图的右面,高度与正视图一样,宽度与俯视图的宽度一样.
(3)在三视图中,被挡住的轮廓线画成虚线,尺寸线用细实线标出.(4)画三视图时,首先要确定正视、俯视、侧视的方向,因为同一物体放置的位置不同,所画的三视图可能不同.
类型一中心投影和平行投影尝试解答下面的问题,并总结画投影图的关键及常用方法.1.已知△ABC,选定的投影面与△ABC所在的平面平行,则经过中心投影后所得的△A′B′C′与△ABC的关系是()A.全等B.相似C.不相似D.以上都不对
2.(2013·温州高二检测)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AA1,C1D1的中点,G是正方形BCC1B1的中心,则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图中的.
【解题指南】1.根据题意,先画出图形,利用平行关系判断.2.关键是画出四边形AGFE的四个顶点在各面上的投影,然后连线即可.
【解析】1.选B.由题意画出图形如图所示：由图易得
2.要画出四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影,只需画出四个顶点A,G,F,E在每个面上的投影,再顺次连接就可得到在该面上的投影,并且在两个相对面上的投影是相同的.在面ABCD和面A1B1C1D1上的投影是(1);在面ADD1A1和面BCC1B1上的投影是(2);在面ABB1A1和面DCC1D1上的投影是(3).答案：(1)(2)(3)
【技法点拨】画投影图的关键及常用方法(1)关键：画一个图形在一个投影面上的投影的关键是确定该图形的关键点(如顶点,端点等)及这些关键点的投影,再依次连接就可得到图形在投影面上的投影.(2)常用方法：投影问题与垂直关系紧密联系,投影图形的形状与投影线和投射图形有关系,在解决有些投影问题时,常借助于正方体模型寻求解题方法.
类型二几何体的三视图通过解答下面的问题,归纳画简单组合体三视图的步骤及画三视图的注意点.1.(2012·陕西高考)将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥,得到图2所示的几何体,则该几何体的侧视图为()
2.画出如图所示的几何体的三视图.
【解题指南】1.结合原正方体,确定两个关键点B1,D1和两条重要线段AD1和B1C的投影.2.(1)是圆柱与长方体组成的简单组合体;(2)是球与圆台组成的简单组合体;画三视图时,注意轮廓线的画法.
【解析】1.选B.图2所示的几何体的侧视图由点A,D,B1,D1确定,外形为正方形,判断的关键是两条对角线AD1投影为实线,B1C投影为虚线,选B.
2.图(1)是一个圆柱和一个长方体的组合体,按照圆柱、长方体的三视图画法画出它们的组合形状,如图①;图(2)为球与圆台的组合体,其三视图如图②.
【互动探究】题1条件不变,则该几何体的正视图为;俯视图为.【解析】该几何体的正视图是由A,B,B1,D1的投影确定的正方形,对角线AB1投影为实线,对角线CD1投影为虚线,故A正确;俯视图为正方形ABCD,B1D1的投影为正方形ABCD的对角线BD,为实线,故D正确.答案：AD
【技法点拨】画组合体三视图的步骤及注意点(1)画组合体三视图的四个步骤：①分析：分析组合体的组合形式.②分解：把组合体分解成简单几何体.③画图：画分解后的简单几何体的三视图.④拼合：将各个三视图拼合成组合体的三视图.
(2)画三视图的注意点：①要做到长对正,高平齐,宽相等.②要确定正视、侧视、俯视的方向.③对于简单组合体要分清楚是由哪些简单几何体组成的,并注意它们的组成方式,特别是它们的交线位置.④在三视图中,俯视图尤其重要.画完三视图后要注意再对照实物图验证其正确性.提醒：画几何体的三视图时,被遮住的线要画成虚线.
【拓展延伸】几种常见几何体的三视图几何体正视图侧视图俯视图
几何体正视图侧视图俯视图
几何体正视图侧视图俯视图
几何体正视图侧视图俯视图
几何体正视图侧视图俯视图
类型三由三视图判断几何体试着解答下面的问题,总结由三视图判断几何体结构特征的步骤.1.已知一几何体的三视图如图所示,则该几何体为.
2.根据图中几何体的三视图,说出该几何体的结构特征.
【解题指南】1.根据正视图、侧视图,可知该几何体为台体,再根据俯视图可确定该几何体的形状.2.由正视图和侧视图可知,该几何体为简单几何体的组合体,再根据俯视图,可判断该几何体的构成.
【解析】1.由正视图、侧视图,可知该几何体为台体,根据俯视图可确定该几何体为三棱台.答案：三棱台
2.由正视图和侧视图可知,该几何体为简单几何体的组合体,根据俯视图为大正方形里有一个小正方形,故该组合体上面为一个正方体,下面为一个底面是正方形的倒置的四棱台.该几何体为：
【技法点拨】由三视图判断几何体结构特征的四个步骤(1)观察分析：看是简单几何体,还是组合体;是多面体,还是旋转体.(2)想象猜测：通过想象猜测可能的几何体形状.(3)还原验证：画出想象的几何体三视图,以验证该几何体是否满足条件.(4)下结论：归纳出该几何体的结构特征.
【变式训练】如图是一几何体的三视图,想象该几何体的几何结构特征,画出该几何体的形状.
【解析】由于俯视图有一个圆和一个四边形,则该几何体是由旋转体和多面体拼接成的组合体,结合侧视图和正视图,可知该几何体是由上面一个圆柱,下面一个四棱柱拼接成的组合体.该几何体的形状如图所示.
拓展类型由部分视图推断未知视图通过解答下面的问题,体会三视图的作用,并总结由部分视图推断未知视图的方法.1.在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示,则相应的侧视图是()
2.如图,已知某组合体的正视图与侧视图相同(其中AB=AC,四边形BCDE为矩形),则该组合体的俯视图可以是.
【解题指南】1.由正视图和俯视图可联想到几何体的形状,然后再推出侧视图.2.先根据正视图和侧视图,确定几何体的结构特征,然后再根据几何体画出俯视图.
【解析】1.选D.由正视图和俯视图可以推测几何体为半圆锥和三棱锥的组合体,且顶点在底面的射影恰是底面半圆的圆心,可知侧视图为等腰三角形,且轮廓线为实线,故选D.
2.由正视图与侧视图相同可得,该几何体可以是由长方体与底面边长与长方体底面边长相同的四棱锥组合而成,则俯视图为(1);该几何体可以是长方体与底面直径与长方体底面正方形边长相同的圆锥组成,其俯视图为(4);该几何体可以是由圆柱与底面为正方形且边长等于圆柱底面直径的四棱锥组合而成,其俯视图为图(2);该几何体可以是由相同底面的圆柱与圆锥组成的几何体,其俯视图为(3);综上可知,该组合体的俯视图可以是(1)(2)(3)(4).答案：(1)(2)(3)(4)
【技法点拨】三视图的作用及由部分视图推断未知视图的方法(1)三视图的作用①通过正视图和俯视图可以了解图形在左右方向点、空间的情况;②通过正视图和侧视图可以了解图形在上下方向点、空间的情况;③通过俯视图和侧视图可以了解图形在前后方向点、空间的情况.
(2)由部分视图推断未知视图的方法根据各个视图的作用,先由所给的视图,确定该几何体的部分结构特征,再结合要判断的视图的情况推断几何体的构成,最后再检验所确定的几何体的三视图是否符合题意.
【变式训练】如图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个说法：①存在三棱柱,其正视图、俯视图如图;②存在四棱柱,其正视图、俯视图如图;③存在圆柱,其正视图、俯视图如图.其中正确的说法个数是()A.3B.2C.1D.0
【解析】选A.只需①底面是等腰直角三角形的直三棱柱,让其直角三角形直角边对应的一个侧面平卧;②正四棱柱平躺;③圆柱平躺,即可使得三个说法都正确.
1.对几何体的三视图,下列说法正确的是()A.正视图反映物体的长和宽B.俯视图反映物体的长和高C.侧视图反映物体的高和宽D.正视图反映物体的高和宽【解析】选C.根据几何体三视图的画法特征,可知侧视图反映的是几何体的高和宽.
2.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是()A.球B.三棱锥C.正方体D.圆柱
【解析】选D.球的三视图均为圆,且大小均相等;对于三棱锥O-ABC,当OA,OB,OC两两垂直且OA=OB=OC时,其三视图的形状都相同,大小均相等;正方体的三视图是三个大小均相等的正方形;圆柱的三视图中必有一个为圆,其他两个为矩形,故一个几何体的三视图形状都相同,大小均相等,那么这个几何体不可以是圆柱,故选D.
3.下列几种关于投影的说法不正确的是()A.平行投影的投影线是互相平行的B.中心投影的投影线是互相垂直的C.线段上的点在中心投影下仍然在线段上D.平行的直线在中心投影中不平行
【解析】选B.平行投影的投影线是互相平行的,A正确,中心投影的投影线是从点出发的,不可能互相垂直.故B不正确,点在线上时,在中心投影下点仍在线上,故C正确,平行的直线在中心投影中不平行,故D正确.
4.如图所示的三视图表示的几何体是.【解析】该三视图表示的是一个四棱台.答案：四棱台
5.如图是同一个圆柱的不同放置,阴影面为正面,分别画出它们的三视图.
【解析】三视图如图(1)(2).
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