资料简介
3.2.2函数模型的应用实例（2）从容说课本节课是在上一节课的基础上进一步研究函数模型的应用，让学生不仅能够应用已知的函数模型解决问题，并且还要能够在面临实际问题时，通过有关数据自己建立函数模型来解决实际问题，并加以检验.例1给出的数据具有很强的规律性，它体现的是在理想状态下的数据，通过这些数据所抽象出的函数模型是固定的，相对比较容易，教学时注重引导学生分析问题所提供的数据的特点，再抽象出函数模型；值得注意的是变量的变化范围要符合实际情况.例2中的数据是通过实际测量得到的，它的规律一般不是很明显，主要引导学生通过计算器，画出散点图，然后进行观察比较所作的散点图与哪类函数模型比较接近，从而选择这个函数模型，并注意对模型的修改.通过两节课的几个例子，引导学生回顾问题的特点，以及解决问题的过程与方法，加以总结：根据收集到的数据的特点建立函数模型，解决实际问题的基本过程：三维目标一、知识与技能1.能根据理想状态下的数据特点，建立函数模型解决实际问题.2.能利用计算器，通过表格画出散点图，进行比较选择函数模型，并能加以修改.3.根据例题的解决方法总结出“根据收集到的数据特点建立函数模型，解决实际问题的基本方法”.二、过程与方法1.对于理想状态下的数据特点，引导学生根据它的实际意义抽象出函数模型，并注意变量的变化范围.2.针对实际测量得到的数据利用计算器，画出散点图，比较抽象出函数模型，这里将学生分成几组，分别从不同的数据来计算出函数模型的参变量，通过比较以获得更精确的函数模型.三、情感态度与价值观通过对函数模型在实际问题中的应用举例，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新精神和实践能力.教学重点根据例题的解决方法总结出“根据收集到的数据特点建立函数模型，解决实际问题的基本方法”.教学难点对抽象出的函数模型与根据实际数据画出的散点图进行比较，并加以修改.教具准备多媒体课件、投影仪、计数器.教学过程
一、创设情景，引入新课师：上一节课我们研究了一些简单函数模型的应用，但是我们不仅要能够应用已知的函数模型解决问题，而且还要能够在面临实际问题时，通过收集到数据自己建立函数模型来解决实际问题.本节课主要通过两个具体的实例去感受如何收集数据，建立适当的函数模型，解决实际问题，同时研究总结它的基本过程.二、例题剖析【例1】某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元.销售单价与日均销售量的关系如下表所示.销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？师：根据上表，我们发现，表中的数据具有很强的规律性，具体体现在哪里.这张表反映了销售单价与日均销售量的什么关系？获得的利润指的是什么？生：当销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶，获得利润=日均销售利润－日固定成本（200）.解：设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，在此情况下的日均销售量就为480－40（x－1）=520－40x（桶）.（在实际问题中应注意变量的变化范围）由x＞0，且520－40x＞00＜x＜13.所以y=（520－40x）x－200=－40x2+520x－200（0＜x＜1）.易知当x=6.5时，y有最大值.所以，只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润.从例1中的数据可以看出它的变化是很有规律性的，它体现的是一种理想状态下的数据，对于这类问题抽象出函数模型比较容易，而且列出的函数模型应该是固定的，但是在现实生活中，一般都是通过实际测量所得数据解决实际问题，它的规律一般不是很明显，我们必须通过计算器加以解决.【例2】某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表.身高/cm60708090100110体重/kg6.137.909.9912.1515.0217.50身高/cm120130140150160170体重/kg20.9226.8631.1138.8547.2555.05（1）根据上表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式.（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？分析：这里只给了通过测量得到的统计数据表，要想由这些数据直接发现函数模型是困难的.师：请同学们根据这些数据画出散点图，再进行观察和思考，所作的散点图与已知的哪一个函数图象最接近，从而选择函数模型.通过散点图，发现指数型函数y=a·bx的图象可能与散点图的吻合较好，而函数y=a·bx中只有两个待定参数a、b，故只需选取两组数据就能求出a、b的值.但是这里共有12组数据，是否任取两组数据，得到的a、b的值相同呢？
将学生分成8组，分别给予两组数据计算a、b的值，通过计算器看计算a、b的结果是否相同，再同散点图进行比较是否吻合，从中选出最接近的函数模型.课堂上先选取（60，6.13）、（70，7.90）这两组数据，可以用计算器得出a=1.338，b=1.026从而函数的解析式为y=1.338×1.026x，同时画出这个函数图象与散点图，我们发现，函数y=1.338×1.026x不能很好地反映该地区未成年人体重与身高的关系.课后请同学们自己选择两组数据进行研究，直至得到自己较为满意的函数的模型.在教科书上选取的是（70，7.90），（160，47.25）两组数据，计算出a≈2，b≈1.02.从而得到函数模型y=2×1.02x，同时画出这个函数图象与散点图.我们发现，散点图上的点基本上在或接近函数y=2×1.02x的图象，所以函数y=2×1.02x能较好地刻画该地区未成年人体重与身高的关系.（2）将x=175代入y=2×1.02x，得y=2×1.02175，由计算器算得y≈63.98.由于78÷63.98≈1.22＞1.2.所以这个男生偏胖.从例2我们可以看出从实际测量所得的数据抽象出函数模型的应用问题比较困难，尤其要注意如何选择更精确的数学模型，如果能很好地运用计算器的的拟合功能，那么获得的函数模型更精确.从以上例题我们可以得到：根据收集到的数据建立函数模型，解决实际问题的基本过程.三、课堂练习1.某公司生产某种产品的固定成本为150万元，而每件产品的可变成本为2500元，每件产品的售价为3500元.（1）分别求出总成本y1、单位成本y2、销售总收入y3、总利润y4与总产量x的函数解析式；（2）根据所求函数的图象，对这个公司的经济效益作出简单分析.解：（1）y1=150+0.25x，y2=，y3=0.35x，y4=0.1x－150.（2）当x＜1500时，该公司亏本；当x=1500时，该公司不赔不赚；当x＞1500时，该公司赢利.2.不打开降落伞，跳伞运动员离开飞机后，第1s下落约5m，第2s下落约15m，第3s下落约25m，如果跳伞运动员从离地面1800m的高空跳伞，并准备在距地面200m时打开降落伞，那么跳伞运动员应在离开飞机多少秒后打开降落伞?（精确到0.1s）解：运动员在离开飞机xs后下落的距离y为y=5x2.由题意知y=1600，解得x≈17.9.跳伞运动员应在离开飞机后约17.9s时打开降落伞.3.某地区今年1月、2月、3月患某种传染病的人数分别为52、61、68.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型y=ax2+bx+c，乙选择了模型y=pqx+r，其中y为患病人数，x为月份数，a、b、c、p、q、r都是常数.结果4月、5月、6月份的患病人数分别为74、78、83，你认为谁选择的模型较好？解：由所以甲函数模型为y=－x2+12x+41.当x=4时，y=73；当x=5时，y=76；当x=6时，y=77与实际结果相差较大.
由所以乙函数模型为y=－（）x+r.当x=4时，y≈74；当x=5时，y≈78，当x=6时，y≈82.与实际结果非常接近.因此选择乙模型较好.三、课堂小结本节课我们主要通过收集数据，作出散点图，然后通过观察图象抽象出函数模型，利用计数器或计算机的数据拟合功能得出具体的函数解析式，再用得到的函数模型解决相应的问题，这是函数应用的一个基本过程.四、布置作业课本P126习题3.2A组第8、9题；B组第2、3题.板书设计3.2.2函数模型的应用实例（2）例1例2三、课堂小结与作业布置
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