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3.1.1方程的根与函数的零点
方程x2-2x+1=0x2-2x+3=0y=x2-2x-3y=x2-2x+1函数函数的图象方程的实数根x1=-1,x2=3x1=x2=1无实数根函数的图象与x轴的交点(-1,0)、(3,0)(1,0)无交点x2-2x-3=0xy0-132112-1-2-3-4..........xy0-132112543.....yx0-12112y=x2-2x+3
从上面的表格,你能发现方程的根与函数图象与X轴的交点具有什么样的关系吗?方程的根就是函数图象与X轴交点的横坐标。探究活动
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。函数零点的定义:注意:零点指的是一个实数;方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点等价关系:思考:零点是点吗?
求零点的方法(1)解方程:令f(x)=0,解x。(2)图像法:作y=f(x)的图像,看图像与x轴的交点的横坐标。
练习求下列函数的零点:(1)(2)(3)(4)解:(1)1;(2)0;(3)—2、0、2
如图所示,用几条连续不断的函数图象连接A、B两点。动一动手﹒﹒ABL
﹒﹒ABLOXyOyXOyXababab﹒﹒ABL﹒﹒ABL
思考:通过对图象的观察,分析函数在区间端点上的函数值的符号情况,与函数零点是否存在着一定的关系呢?ab有,但在区间(a,b)内无零点。是否只要满足,就一定存在零点呢?
函数零点存在性定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)0,则y=f(x)在区间(a,b)内是否有零点?想一想OyXab
(2)若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,且有f(a)·f(b)
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