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人教版高中数学1.3.2第1课时函数奇偶性的概念

2022-10-10
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1.3.2奇偶性第1课时函数奇偶性的概念一、偶函数、奇函数的定义1.偶函数：x∈Af(-x)=f(x) 2.奇函数：思考：对于定义在R上的函数f(x),若f(－3)=f(3),则函数f(x)一定是偶函数吗?提示：不一定,仅有f(－3)=f(3)不足以确定函数的奇偶性,不满足定义中的“任意”,故不一定是偶函数.x∈Af(-x)=-f(x) 二、偶函数、奇函数图象的特征1.偶函数图象的特征：关于__轴对称;2.奇函数图象的特征：关于_____对称.y原点判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)=x2的图象关于y轴对称.()(2)若f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=0.()(3)如果一个函数的图象关于原点对称，则有f(x)-f(－x)=0.() 提示：(1)正确.因为函数f(x)=x2是偶函数，故图象关于y轴对称.(2)正确.∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)=-f(x)，即f(－0)=f(0)=-f(0),所以f(0)=0.(3)错误.因为函数的图象关于原点对称，则该函数是奇函数，故f(－x)=-f(x)，则有f(x)+f(－x)=0.答案：(1)√(2)√(3)× 【知识点拨】1.函数的奇偶性与单调性的区别(1)奇偶性是反映函数在定义域上的对称性,是相对于函数的整个定义域来说的,奇偶性是函数的“整体”性质.(2)单调性是反映函数在某一区间上的函数值的变化趋势,此区间是定义域的子集,因此单调性是函数的“局部”性质.2.奇函数、偶函数在x=0处的定义若奇函数f(x)在原点处有意义，则由奇函数定义f(－0)=－f(0)，可得f(0)=0，偶函数则不一定. 3.奇函数、偶函数的图象特征(1)(2)由奇、偶函数的图象特征可知：偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同. 类型一判定函数的奇偶性【典型例题】1.设定义在R上的函数f(x)=则f(x)()A.是奇函数，又是增函数B.是偶函数，又是增函数C.是奇函数，又是减函数D.是偶函数，但不是减函数 2.判断下列函数的奇偶性(1)y=x3+(2)y=(3)y=x4+x.(4) 【解题探究】1.函数的定义域应具备怎样的特点，才讨论函数的奇偶性？2.判断函数的奇偶性应把握好哪几个关键点？探究提示：1.函数的定义域必须关于原点对称.2.把握好两个关键点，一是看定义域是否关于原点对称，二看f(x)与f(－x)的关系. 【解析】1.选D.定义域关于原点对称，且f(－x)=|－x|=|x|=f(x)，所以是偶函数，但是它既有减区间也有增区间，故不是减函数. 2.(1)定义域(－∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称，且f(－x)=－f(x)，奇函数.(2)定义域为{}，不关于原点对称，该函数不具有奇偶性.(3)定义域为R，关于原点对称，但f(－x)=x4－x≠x4+x，f(－x)=x4－x≠－(x4+x)，故其不具有奇偶性.(4)方法一：定义域为R，关于原点对称，当x>0时，f(－x)=－(－x)2－2=－(x2+2)=－f(x)；当x 查看更多

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