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新人教A版必修1 高中数学 1.3.1 单调性与最大（小）值 导学案

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www.canpoint.cn函数的最大（小）值年级：高一学科：数学执笔：审核：学习目标：（1）理解函数的最大（小）值及其几何意义．（2）学会运用函数图象理解和研究函数的最值，培养数形结合的数学思想．（3）利用函数的单调性求函数的最值．（4）能解决日常生活中的简单的实际问题，激发学生学习的积极性．教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值．一、课前准备预习课本的内容，并思考以下问题：1．画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？①②③④2．根据图像指出最高点或最低点：①最高点无，最低点无；②最高点，最低点；③最高点无，最低点；④最高点，最低点．二、自主学习1．函数最大（小）值定义．最大值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得．那么，称是函数的最大值．动动手：依照函数最大值的定义，结出函数的最小值的定义．最小值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：www.canpoint.cn010-5881806758818068canpoint@188.com第4页共4页 www.canpoint.cn（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得．那么，称是函数的最小值．怎么理解上面的概念？①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在，使得；②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的，都有．三、师生互动【例1】求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值．【解析】因为，所以，所以，于是，所以在区间[2，6]上的最大值是，最小值是．图像法：作出图像，可以看出，当，有最大值，当时，有最小值．动动手：求的最大值．【解析】作出图像，如图，当时，有最大值，当时，有最小值．【例2】求函数的最大值．【解析】令，则，，所以，配方得，当，即时，有最大值．动动手：求函数的最小值【解析】解法一：因为与在定义域上都是增函数，所以当时有最小值．解法二：，则，，www.canpoint.cn010-5881806758818068canpoint@188.com第4页共4页 www.canpoint.cn所以，配方得，所以当即时，有最小值．【例3】将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？【解析】设利润为元，每个售价为元，则每个涨（－50）元，从而销售量减少，∴答：为了赚取最大利润，售价应定为70元．动动手：一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：房价（元）住房率（%）16055140651207510085欲使每天的的营业额最高，应如何定价？【解析】根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系．设为旅馆一天的客房总收入，为与房价160相比降低的房价，因此当房价为元时，住房率为，于是得．由于，可知．因此问题转化为：当时，求的最大值的问题．将的两边同除以一个常数0.75，得．由于二次函数在=25时取得最大值，可知也在=25时取得最大值，此时房价定位应是160－25=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）．所以该客房定价应为135元．（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的）．四、归纳总结求函数最值的常用方法有：（1）配方法：即将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值；（2）换元法：通过变量式代换转化为求二次函数在某区间上的最值；（3）数形结合法：利用函数图象或几何方法求出最值．特别提醒：有最值时应指出何时取到，没有时应指出“无最大值”等.五、反馈练习1．函数在区间上是减函数，则y的最小值是（A）www.canpoint.cn010-5881806758818068canpoint@188.com第4页共4页 www.canpoint.cnA．1B．3C．－2D．52．函数的最大值是（B）A．8B．C．4D．3．函数在区间上有最小值，则的取值范围是（A）A．B．C．D．4．的最大（小）值情况为（C）A.有最大值，但无最小值B.有最小值，有最大值1C.有最小值1，有最大值D.无最大值，也无最小值5．函数的最大值是6．6．已知，.则的最大值与最小值分别为12、6．.7．求函数的最大值．【解析】配方为，由，得．所以函数的最大值为8．www.canpoint.cn010-5881806758818068canpoint@188.com第4页共4页 查看更多

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