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第四节最大公约数和最小公倍数的求法及应用
１、公约数；最大公约数；最大公约数性质；２、公倍数；最小公倍数；最小公倍数性质；３、质数与合数；分解质因数的方法。复习
[定理1]一个大于1的整数b整除另一个自然数a的充要条件是：b的每一个质因数都是a的质因数；并且b里任何一个相同质因数的个数，都不超过a里该质因数的个数。一、最大公约数的求法1、用分解质因数的方法求最大公约数
求几个数最大公约数的方法：把这几个数分别分解质因数，再把几个数公有的一切质因数连乘起来。
例1求2700、7560、3960的最大公约数解：得:2700＝22×33×52,7560＝23×33×5×7,3960＝23×32×5×11∴（2700，7560，3960）＝22×32×5＝180
书写简便形式∴（2700，7560，3960）＝22×32×5＝180
用分解质因数法求各组数的最大公约数（1）36和48（2）64和72（3）4、12和42（4）112、124和420练习一
[定理2]如果第一个数能被第二个数整除，那么这两个数的最大公约数就是第二个数。如果b│a,那么（a,b）=b
[定理3]如果第一个数除以第二个数，余数不等于零，那么这两个数的最大公约数就是第二个数与这个余数的最大公约数。如果a÷b=q(余r)(r≠0)，则（a,b）＝（b,r）.2、用辗转相除法求最大公约数
例如527÷102＝5（余17）,∵(527,102)＝(102,17)又∵17│102，∴ （102，17）＝17.因此 （527，102）＝17.
设a＞b,当b│a时，那么（a、b）＝b；当ba时，有余数r1，那么（a、b）=(b、r1).当r1│b时，那么（b,r1）=r1；当r1b时，有余数r2，那么（b,r1）=(r1,r2).依次除下去，余数逐渐减小（b＞r1＞r2＞…＞rn）,必能得到一个rn＝0，这时，rn-1│rn-2，∴（rn-1,rn-2）＝rn-1.由此得出：（a,b）=(b,r1)=(r1,r2)=……=(rn-1,rn-2)=rn-1.这种方法叫做辗转相除法（也叫做欧几里得算法）。
例2求（319，377）.解：∵377÷319＝1（余58），∴（377，319）＝（319，58）；∵319÷58＝5（余29），∴（319，58）＝（58，29）；∵58÷29＝2（余0），∴（58，29）＝29；∴（319，377）＝29。
可以用下面的简便形式来求（319，377）.1319（b）377（a）290319229（r2）58（r1）5580（r3）∴（319，377）＝29，
例3求（418，494，589）.解：先求得（418，494）＝38，再求得（38，589）＝19，∴（418，494，589）＝19
用辗转相除法求下列各组数的最大公约数（1）49和91（2）391和299（3）252和180（4）4935和13912练习二
例1求96、30和132的最小公倍数。解：96＝25×3；30＝2×3×5；132＝22×3×11；∴[96，30，132]=25×3×5×11＝5280二、最小公倍数的求法1、用分解质因数求最小公倍数
∴[96，30，132]＝22×3×8×5×11＝5280书写简便形式
求最小公倍数的方法可以先取出它们公有的一切质因数（可以从小到大依次取），再取出其中的几个数（可以用依次去掉一个数的方法来检验）公有的质因数，然后把所取出的公有的质因数和每个数所有的因数连乘起来。
∵[a,b]•(a,b)=a•b,∴[a,b]=ab÷(a,b).求两个数的最小公倍数，可以用两个数的最大公约数，除两个数的积，所得的商就是这两个数的最小公倍数。2、利用最大公约数求最小公倍数
例2求[105,42].解：∵（105,42）=21,∴[105,42]=105×42÷21=210.
1、用分解质因数法求下列各组数的最小公倍数。（1）36和48（2）64和72（3）4、12和42（4）112、124和4202、用求最大公约数法求下列各组数的最小公倍数；（1）185和338（2）46和2403、指出小明在求三个数的最小公倍数时的错误，并对他作正确的解释。∴[12，18，24]＝22×32×4＝144.练习三
例1某班学生自制教具，把长144厘米、宽48厘米、厚32厘米的长方体木料，锯成尽可能大的同样大小的正方体木块，求正方体木块的棱长和锯成的块数（锯完之后原木料没有剩余。）解：正方体木块的每条棱长是（144，48，32）＝16木料和长所锯成的份数是144÷16＝9，木料的宽所锯成的份数是48÷16＝3，木料的厚所锯成的份数是32÷16＝2，锯成正方体的块数是9×3×2=54（块）。答：正方体木块的棱长是16厘米，可以锯成54块。三、最大公约数和最小公倍数的应用
例2一对啮合齿轮，一个有21个齿，另一个有30个齿，其中某一对指定的齿，从第一次相遇到第二次相遇，每个齿轮要转多少周？解：两个齿轮的某一对指定的齿从第一次接触到下次接触，两个齿轮各转的齿数是[21，30]＝210（齿）.小齿轮转的周数是210÷21＝10（周）.大齿轮转的周数是210÷30＝7（周）.答：小齿轮要转10周，大齿轮要转7周。
解：[8，12]＝24， 在43与53之间的8和12的公倍数是：24×2＝48，48-3＝45（人）.答：学生数是45人。例3某班学生人数在40与50之间，如果每8人分成一个小组，那么最后一个小组只有5人；如果每12人分成一个小组，那么有一个小组少3人，求这班学生人数。
练习四1、某班学生不到50人，每12人站一行或者每16人站一行都正好是整行，这班学生有多少人？2、某数除193余4，除1087余7，求该数（要最大的一个）。3、一个数除以36和48都余5，求这个数（要最小的一个）.4、两个数的最小公倍数是2400，最大公约数是20，已知这两个数中的一个数是60，求另一数。5、两个数的最大公约数是15，最小公倍数是180，求.
1、求最大公约数的方法：分解质因数法、碾转相除法；2、求最小公倍数的方法：分解质因数法、最大公约数法；3、最大公约数与最小公倍数的应用。小结
1、用分解质因数的方法，求下列各组数的最大公约数和最小公倍数；（1）48和64（2）38和56（3）210和154（4）36、40和442、已知两个数的积是5766，它们的最大公约数是31，求这两个数。习题
3、有96朵红花和72朵白花做花束，如果各个花束里红花与白花的朵数分别相同，每个花束里最少要有几朵花？4、长方形砖长42厘米，宽26厘米，用这种砖铺成一块正方形地，至少需要几块砖？5、一个城市某公共汽车站有三条路线通往不同的地方，第一条路线每隔5分钟发车一次，第二条路线每隔6分钟发车一次，第三条路线每隔10分钟发车一次，三条路线的汽车在同一时间发车以后，至少再过多少分钟在同一时间发车？
小学数学听课记录教学过程： 一、创设情境，初步感知 谈话：看老师手中拿的是什么？（三角板），你能找出它有多少个角吗？ 二、组织活动，探究新知1．认识角 投影显示：投影课本里的图片 谈话：找一找，图片上哪些像角？（学生回答） 追问：角在我们的生活中无处不在，一个角有几个顶点？几条边？能从我们身边的一些物体的面上找到角吗？找到后指出它们的顶点和边。
2．折一个角 谈话：我们已经认识了角，能用自己灵巧的小手折一个角吗？看谁折得快折得好。（用准备好的白纸折角）3．角的大小比较 （1）提问：能使你折的角变得再大一些吗？你是怎么办的？能把它变得小一些吗？又是怎么做到的？ （2）钟面上的时针和分针转动时，形成了大小不同的角，同学们能比较出哪个角大些吗？用什么方法比较？ （3）谈话：观察老师手上的这两个三角形（两个纸做的一大一小的三角形），哪个三角形大些呢？还是一样大呢？你知道角的大小和什么有关吗？
三、巩固应用，拓展延伸1．课本练习第1题。谈话：机灵的小猴找来了一些图形，想考考小朋友，敢接受它的挑战吗？投影展示图形：哪些是角，哪些不是角？是角的你能指出它的顶点和边吗？指名回答。2．课本练习第2题。谈话：好学的小猫觉得小朋友学得不错，于是来请教我们了。投影展示，图中各有几个角，说给同桌听。3．课本练习第3、第5题。谈话：聪明的小兔看到大家的本领这么棒，终于忍不住也要来考考我们，投影展示题目。同桌讨论后在班内交流。4．课本练习第4题。谈话：山羊老师对大家很满意，决定带小朋友玩一玩动手拉、合剪刀。说说你看到的角有什么变化
四、总结全课，布置作业 谈话：通过这节课的学习，你有什么收获？回家给爸爸妈妈展示一下你今天学到的本领，找找你们家哪些物体上有角。
点评：1、充分利用学具，调动学生已有的生活经验，激发学生探求新知的强烈欲望，使学生获得对角的感性认识。通过“看”、“找”，体会角在面上，初步建立对角的概念。2、让学生用喜欢的方法折一个角，在实践中探索不同的折角方法，给学生留出充分的思考及表现自我的时间和空间。3、充分利用创造条件，提供大量的感性材料，引导学生进行观察制作等活动，获得感性知识，形成对角的正确表象，掌握角的本质特征，从而亲身感受学习的乐趣，成为学习的主人。4、借助现代化教学手段，使练习更加生动有趣，激发学生的兴趣。
总评：1．引导学生善于从日常生活中发现教学问题，激活生活经验。让学生充分体验数学知识，理解数学知识，并将数学知识应用于实践活动。通过“在生活中常见的物体身上找角”，使学生觉得数学与生活密切联系，增进了学生对数学价值和作用的认识，激发了学生学习数学的热情。2．引导学生动手实践、自主探索，促进数学思考。注重引导学生动手实践，在操作中理解知识，发展思维。一改教师主宰课堂的局面，大胆放手，变过去的单纯看教师演示为学生自己动手，调动学生的主动性。本节课设计“找”、“说”、“做”的环节，帮助学生在数学活动中认识角、感悟角的大小，使得学习兴趣较为浓厚，也有效地培养了学生的观察能力、操作能力、表达能力及分析、概括能力。
谢谢收看
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