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‎2019年四川省自贡市中考数学试卷 一、选择题[共12个小题,每小题4分,共48分,在每题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.(4分)﹣2019的倒数是(  )‎ A.﹣2019 B.﹣ C. D.2019‎ ‎2.(4分)近年来,中国高铁发展迅速,高铁技术不断走出国门,成为展示我国实力的新名片.现在中国高速铁路营运里程将达到23000公里,将23000用科学记数法表示应为(  )‎ A.2.3×104 B.23×103 C.2.3×103 D.0.23×105‎ ‎3.(4分)下列图案中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.(4分)在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中,甲、乙两位同学的平均分都是90分,甲的成绩方差是15,乙的成绩方差是3,下列说法正确的是(  )‎ A.甲的成绩比乙的成绩稳定 ‎ B.乙的成绩比甲的成绩稳定 ‎ C.甲、乙两人的成绩一样稳定 ‎ D.无法确定甲、乙的成绩谁更稳定 ‎5.(4分)如图是一个水平放置的全封闭物体,则它的俯视图是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎6.(4分)已知三角形的两边长分别为1和4,第三边长为整数,则该三角形的周长为(  )‎ 第29页(共29页)‎ A.7 B.8 C.9 D.10‎ ‎7.(4分)实数m,n在数轴上对应点的位置如图所示,则下列判断正确的是(  )‎ A.|m|<1 B.1﹣m>1 C.mn>0 D.m+1>0‎ ‎8.(4分)关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0无实数根,则实数m的取值范围是(  )‎ A.m<1 B.m≥1 C.m≤1 D.m>1‎ ‎9.(4分)一次函数y=ax+b与反比列函数y=的图象如图所示,则二次函数y=ax2+bx+c的大致图象是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎10.(4分)均匀的向一个容器内注水,在注满水的过程中,水面的高度h与时间t的函数关系如图所示,则该容器是下列四个中的(  )‎ A. B. C. D.‎ 第29页(共29页)‎ ‎11.(4分)图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌,将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后,就能形成一个圆形桌面(可近似看作正方形的外接圆),正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.(4分)如图,已知A、B两点的坐标分别为(8,0)、(0,8),点C、F分别是直线x=﹣5和x轴上的动点,CF=10,点D是线段CF的中点,连接AD交y轴于点E,当△ABE面积取得最小值时,tan∠BAD的值是(  )‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题(共6个小题,每小题4分,共24分)‎ ‎13.(4分)如图,直线AB、CD被直线EF所截,AB∥CD,∠1=120°,则∠2=   .‎ ‎14.(4分)在一次有12人参加的数学测试中,得100分、95分、90分、85分、75分的人数分别是1、3、4、2、2,那么这组数据的众数是   分.‎ ‎15.(4分)分解因式:2x2﹣2y2=   .‎ 第29页(共29页)‎ ‎16.(4分)某活动小组购买了4个篮球和5个足球,一共花费了466元,其中篮球的单价比足球的单价多4元,求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为x元,足球的单价为y元,依题意,可列方程组为   .‎ ‎17.(4分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=6,CD∥AB,∠ABC的平分线BD交AC于点E,DE=   .‎ ‎18.(4分)如图,在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中,∠α、∠β如图所示,则cos(α+β)=   .‎ 三、解答題(共8个题,共78分)‎ ‎19.(8分)计算:|﹣3|﹣4sin45°++(π﹣3)0‎ ‎20.(8分)解方程:﹣=1.‎ ‎21.(8分)如图,⊙O中,弦AB与CD相交于点E,AB=CD,连接AD、BC.‎ 求证:(1)=;(2)AE=CE.‎ ‎22.(8分)某校举行了自贡市创建全国文明城市知识竞赛活动,初一年级全体同学参加了知识竞赛.‎ 收集教据:现随机抽取了初一年级30名同学的“创文知识竞赛”成绩,分数如下(单位:分):‎ ‎90 85 68 92 81 84 95 93 87 89 78 99 89 85 97‎ ‎88 81 95 86 98 95 93 89 86 84 87 79 85 89 82‎ 整理分析数据:‎ 第29页(共29页)‎ 成绩x(单位:分)‎ 频数(人数)‎ ‎60≤x<70‎ ‎1‎ ‎70≤x<80‎ ‎   ‎ ‎80≤x<90‎ ‎17‎ ‎90≤x<100‎ ‎   ‎ ‎(1)请将图表中空缺的部分补充完整;‎ ‎(2)学校决定表彰“创文知识竞赛”成绩在90分及其以上的同学.根据上面统计结果估计该校初一年级360人中,约有多少人将获得表彰;‎ ‎(3)“创文知识竞赛”中,受到表彰的小红同学得到了印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案的四枚纪念章,她从中选取两枚送给弟弟,则小红送给弟弟的两枚纪念章中,恰好有恐龙图案的概率是   .‎ ‎23.(10分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y1=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y2=(m≠0)的图象相交于第一、象限内的A(3,5),B(a,﹣3)两点,与x轴交于点C.‎ ‎(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;‎ ‎(2)在y轴上找一点P使PB﹣PC最大,求PB﹣PC的最大值及点P的坐标;‎ ‎(3)直接写出当y1>y2时,x的取值范围.‎ 第29页(共29页)‎ ‎24.(10分)阅读下列材料:小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值,采用以下方法:‎ 设S=1+2+22+…+22017+22018①‎ 则2S=2+22+…+22018+22019②‎ ‎②﹣①得2S﹣S=S=22019﹣1‎ ‎∴S=1+2+22+…+22017+22018=22019﹣1‎ 请仿照小明的方法解决以下问题:‎ ‎(1)1+2+22+…+29=   ;‎ ‎(2)3+32+…+310=   ;‎ ‎(3)求1+a+a2+…+an的和(a>0,n是正整数,请写出计算过程).‎ ‎25.(12分)(1)如图1,E是正方形ABCD边AB上的一点,连接BD、DE,将∠BDE绕点D逆时针旋转90°,旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.‎ ‎①线段DB和DG的数量关系是   ;‎ ‎②写出线段BE,BF和DB之间的数量关系.‎ ‎(2)当四边形ABCD为菱形,∠ADC=60°,点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点,连接BD、DE,将∠BDE绕点D逆时针旋转120°,旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.‎ ‎①如图2,点E在线段AB上时,请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系,写出结论并给出证明;‎ ‎②如图3,点E在线段AB的延长线上时,DE交射线BC于点M,若BE=1,AB=2,直接写出线段GM的长度.‎ 第29页(共29页)‎ ‎26.(14分)如图,已知直线AB与抛物线C:y=ax2+2x+c相交于点A(﹣1,0)和点B(2,3)两点.‎ ‎(1)求抛物线C函数表达式;‎ ‎(2)若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点,以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB,当平行四边形MANB的面积最大时,求此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标;‎ ‎(3)在抛物线C的对称轴上是否存在定点F,使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=的距离?若存在,求出定点F的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 第29页(共29页)‎ ‎2019年四川省自贡市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题[共12个小题,每小题4分,共48分,在每题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.(4分)﹣2019的倒数是(  )‎ A.﹣2019 B.﹣ C. D.2019‎ ‎【分析】直接利用倒数的定义进而得出答案.‎ ‎【解答】解:﹣2019的倒数是﹣.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】此题主要考查了倒数,正确把握倒数的定义是解题关键.‎ ‎2.(4分)近年来,中国高铁发展迅速,高铁技术不断走出国门,成为展示我国实力的新名片.现在中国高速铁路营运里程将达到23000公里,将23000用科学记数法表示应为(  )‎ A.2.3×104 B.23×103 C.2.3×103 D.0.23×105‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.‎ ‎【解答】解:23000=2.3×104,‎ 故选:A.‎ ‎【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.‎ ‎3.(4分)下列图案中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解.‎ ‎【解答】解:A、是轴对称图形,但不是中心对称图形,故此选项错误;‎ B、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项错误;‎ 第29页(共29页)‎ C、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项错误;‎ D、既是中心对称图形也是轴对称图形,故此选项正确.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】此题主要考查了中心对称与轴对称的概念:轴对称的关键是寻找对称轴,两边图象折叠后可重合,中心对称是要寻找对称中心,旋转180°后与原图重合.‎ ‎4.(4分)在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中,甲、乙两位同学的平均分都是90分,甲的成绩方差是15,乙的成绩方差是3,下列说法正确的是(  )‎ A.甲的成绩比乙的成绩稳定 ‎ B.乙的成绩比甲的成绩稳定 ‎ C.甲、乙两人的成绩一样稳定 ‎ D.无法确定甲、乙的成绩谁更稳定 ‎【分析】根据方差的意义求解可得.‎ ‎【解答】解:∵乙的成绩方差<甲成绩的方差,‎ ‎∴乙的成绩比甲的成绩稳定,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题主要考查方差,方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大,则平均值的离散程度越大,稳定性也越小;反之,则它与其平均值的离散程度越小,稳定性越好.‎ ‎5.(4分)如图是一个水平放置的全封闭物体,则它的俯视图是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【分析】根据俯视图是从物体上面看,从而得到出物体的形状.‎ 第29页(共29页)‎ ‎【解答】解:从上面观察可得到:.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查了三视图的概简单几何体的三视图,本题的关键是要考虑到俯视图中看见的棱用实线表示.‎ ‎6.(4分)已知三角形的两边长分别为1和4,第三边长为整数,则该三角形的周长为(  )‎ A.7 B.8 C.9 D.10‎ ‎【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差,而小于两边之和”,求得第三边的取值范围;再根据第三边是整数,从而求得周长.‎ ‎【解答】解:设第三边为x,‎ 根据三角形的三边关系,得:4﹣1<x<4+1,‎ 即3<x<5,‎ ‎∵x为整数,‎ ‎∴x的值为4.‎ ‎ 三角形的周长为1+4+4=9.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】此题考查了三角形的三边关系.关键是正确确定第三边的取值范围.‎ ‎7.(4分)实数m,n在数轴上对应点的位置如图所示,则下列判断正确的是(  )‎ A.|m|<1 B.1﹣m>1 C.mn>0 D.m+1>0‎ ‎【分析】利用数轴表示数的方法得到m<0<n,然后对各选项进行判断.‎ ‎【解答】解:利用数轴得m<0<1<n,‎ 所以﹣m>0,1﹣m>1,mn<0,m+1<0.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查了实数与数轴:数轴上的点与实数一一对应;右边的数总比左边的数大.‎ ‎8.(4分)关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0无实数根,则实数m的取值范围是(  )‎ A.m<1 B.m≥1 C.m≤1 D.m>1‎ ‎【分析】利用判别式的意义得到△=(﹣2)2﹣4m<0,然后解不等式即可.‎ 第29页(共29页)‎ ‎【解答】解:根据题意得△=(﹣2)2﹣4m<0,‎ 解得m>1.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;当△=0时,方程有两个相等的两个实数根;当△<0时,方程无实数根.‎ ‎9.(4分)一次函数y=ax+b与反比列函数y=的图象如图所示,则二次函数y=ax2+bx+c的大致图象是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【分析】根据一次函数与反比例函数图象找出a、b、c的正负,再根据抛物线的对称轴为x=﹣,找出二次函数对称轴在y轴右侧,比对四个选项的函数图象即可得出结论.‎ ‎【解答】解:∵一次函数y1=ax+c图象过第一、二、四象限,‎ ‎∴a<0,b>0,‎ ‎∴﹣>0,‎ ‎∴二次函数y3=ax2+bx+c开口向下,二次函数y3=ax2+bx+c对称轴在y轴右侧;‎ ‎∵反比例函数y2=的图象在第一、三象限,‎ ‎∴c>0,‎ 第29页(共29页)‎ ‎∴与y轴交点在x轴上方.‎ 满足上述条件的函数图象只有选项A.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象,解题的关键是根据一次函数与反比例函数的图象找出a、b、c的正负.本题属于基础题,难度不大,熟悉函数图象与系数的关系是解题的关键.‎ ‎10.(4分)均匀的向一个容器内注水,在注满水的过程中,水面的高度h与时间t的函数关系如图所示,则该容器是下列四个中的(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】由函数图象可得容器形状不是均匀物体分析判断,由图象及容积可求解.‎ ‎【解答】解:相比较而言,前一个阶段,用时较少,高度增加较快,那么下面的物体应较细.由图可得上面圆柱的底面半径应大于下面圆柱的底面半径.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】此题主要考查了函数图象,解决本题的关键是根据用的时间长短来判断相应的函数图象.‎ ‎11.(4分)图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌,将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后,就能形成一个圆形桌面(可近似看作正方形的外接圆),正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近(  )‎ 第29页(共29页)‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】连接AC,根据正方形的性质得到∠B=90°,根据圆周角定理得到AC为圆的直径,根据正方形面积公式、圆的面积公式计算即可.‎ ‎【解答】解:连接AC,‎ 设正方形的边长为a,‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴∠B=90°,‎ ‎∴AC为圆的直径,‎ ‎∴AC=AB=a,‎ 则正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比为:=≈,‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查的是正多边形和圆,掌握圆周角定理、正方形的性质是解题的关键.‎ ‎12.(4分)如图,已知A、B两点的坐标分别为(8,0)、(0,8),点C、F分别是直线x=﹣5和x轴上的动点,CF=10,点D是线段CF的中点,连接AD交y轴于点E,当△ABE面积取得最小值时,tan∠BAD的值是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】如图,设直线x=﹣5交x轴于K.由题意KD=CF=5,推出点D的运动轨迹是以K为圆心,5为半径的圆,推出当直线AD与⊙K相切时,△ABE 第29页(共29页)‎ 的面积最小,作EH⊥AB于H.求出EH,AH即可解决问题.‎ ‎【解答】解:如图,设直线x=﹣5交x轴于K.由题意KD=CF=5,‎ ‎∴点D的运动轨迹是以K为圆心,5为半径的圆,‎ ‎∴当直线AD与⊙K相切时,△ABE的面积最小,‎ ‎∵AD是切线,点D是切点,‎ ‎∴AD⊥KD,‎ ‎∵AK=13,DK=5,‎ ‎∴AD=12,‎ ‎∵tan∠EAO==,‎ ‎∴=,‎ ‎∴OE=,‎ ‎∴AE==,‎ 作EH⊥AB于H.‎ ‎∵S△ABE=•AB•EH=S△AOB﹣S△AOE,‎ ‎∴EH=,‎ ‎∴AH==,‎ ‎∴tan∠BAD===,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查解直角三角形,坐标与图形的性质,直线与圆的位置关系,三角形的面积等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考选择题中的压轴题.‎ 第29页(共29页)‎ 二、填空题(共6个小题,每小题4分,共24分)‎ ‎13.(4分)如图,直线AB、CD被直线EF所截,AB∥CD,∠1=120°,则∠2= 60° .‎ ‎【分析】直接利用平角的定义结合平行线的性质得出答案.‎ ‎【解答】解:∵∠1=120°,‎ ‎∴∠3=180°﹣120°=60°,‎ ‎∵AB∥CD,‎ ‎∴∠2=∠3=60°.‎ 故答案为:60°.‎ ‎【点评】此题主要考查了平行线的性质,正确得出∠2=∠3是解题关键.‎ ‎14.(4分)在一次有12人参加的数学测试中,得100分、95分、90分、85分、75分的人数分别是1、3、4、2、2,那么这组数据的众数是 90 分.‎ ‎【分析】根据众数的定义求解可得.‎ ‎【解答】解:这组数据的众数是90分,‎ 故答案为:90.‎ ‎【点评】本题主要考查众数,求一组数据的众数的方法:找出频数最多的那个数据,若几个数据频数都是最多且相同,此时众数就是这多个数据.‎ ‎15.(4分)分解因式:2x2﹣2y2= 2(x+y)(x﹣y) .‎ ‎【分析】先提取公因式2,再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案.‎ ‎【解答】解:2x2﹣2y2=2(x2﹣y2)=2(x+y)(x﹣y).‎ 故答案为:2(x+y)(x﹣y).‎ ‎【点评】‎ 第29页(共29页)‎ 本题考查了提公因式法,公式法分解因式,提取公因式后利用平方差公式进行二次分解,注意分解要彻底.‎ ‎16.(4分)某活动小组购买了4个篮球和5个足球,一共花费了466元,其中篮球的单价比足球的单价多4元,求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为x元,足球的单价为y元,依题意,可列方程组为  .‎ ‎【分析】根据题意可得等量关系:①4个篮球的花费+5个足球的花费=466元,②篮球的单价﹣足球的单价=4元,根据等量关系列出方程组即可.‎ ‎【解答】解:设篮球的单价为x元,足球的单价为y元,由题意得:‎ ‎,‎ 故答案为:,‎ ‎【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,关键是正确理解题意,找出题目中的等量关系.‎ ‎17.(4分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=6,CD∥AB,∠ABC的平分线BD交AC于点E,DE=  .‎ ‎【分析】由CD∥AB,∠D=∠ABE,∠D=∠CBE,所以CD=BC=6,再证明△AEB∽△CED,根据相似比求出DE的长.‎ ‎【解答】解:∵∠ACB=90°,AB=10,BC=6,‎ ‎∴AC=8,‎ ‎∵BD平分∠ABC,‎ ‎∴∠ABE=∠CDE,‎ ‎∵CD∥AB,‎ ‎∴∠D=∠ABE,‎ ‎∴∠D=∠CBE,‎ ‎∴CD=BC=6,‎ ‎∴△AEB∽△CED,‎ 第29页(共29页)‎ ‎∴,‎ ‎∴CE=AC=×8=3,‎ BE=,‎ DE=BE=×=,‎ 故答案为.‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形,熟练掌握相似三角形的判定与性质以及勾股定理是解题的关键.‎ ‎18.(4分)如图,在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中,∠α、∠β如图所示,则cos(α+β)=  .‎ ‎【分析】给图中各点标上字母,连接DE,利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠α=30°,同理,可得出:∠CDE=∠CED=30°=∠α,由∠AEC=60°结合∠AED=∠AEC+∠CED可得出∠AED=90°,设等边三角形的边长为a,则AE=2a,DE=a,利用勾股定理可得出AD的长,再结合余弦的定义即可求出cos(α+β)的值.‎ ‎【解答】解:给图中各点标上字母,连接DE,如图所示.‎ 在△ABC中,∠ABC=120°,BA=BC,‎ ‎∴∠α=30°.‎ 同理,可得出:∠CDE=∠CED=30°=∠α.‎ 又∵∠AEC=60°,‎ ‎∴∠AED=∠AEC+∠CED=90°.‎ 设等边三角形的边长为a,则AE=2a,DE=2×sin60°•a=a,‎ ‎∴AD==a,‎ ‎∴cos(α+β)==.‎ 故答案为:.‎ 第29页(共29页)‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质以及规律型:图形的变化类,构造出含一个锐角等于∠α+∠β的直角三角形是解题的关键.‎ 三、解答題(共8个题,共78分)‎ ‎19.(8分)计算:|﹣3|﹣4sin45°++(π﹣3)0‎ ‎【分析】原式第一项利用绝对值的意义化简,第二项利用特殊角的三角函数值计算,第三项化为最简二次根式,第四项利用零指数幂法则计算即可得到结果.‎ ‎【解答】解:原式=3﹣4×+2+1=3﹣2+2+1=4.‎ ‎【点评】此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.‎ ‎20.(8分)解方程:﹣=1.‎ ‎【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.‎ ‎【解答】解:去分母得:x2﹣2x+2=x2﹣x,‎ 解得:x=2,‎ 检验:当x=2时,方程左右两边相等,‎ 所以x=2是原方程的解.‎ ‎【点评】此题考查了解分式方程,利用了转化的思想,解分式方程注意要检验.‎ ‎21.(8分)如图,⊙O中,弦AB与CD相交于点E,AB=CD,连接AD、BC.‎ 求证:(1)=;(2)AE=CE.‎ ‎【分析】(1)由AB=CD知=,即+=+,据此可得答案;‎ ‎(2)由=知AD=BC,结合∠ADE=∠CBE,∠DAE=∠BCE可证△ADE≌△‎ 第29页(共29页)‎ CBE,从而得出答案.‎ ‎【解答】证明(1)∵AB=CD,‎ ‎∴=,即+=+,‎ ‎∴=;‎ ‎(2)∵=,‎ ‎∴AD=BC,‎ 又∵∠ADE=∠CBE,∠DAE=∠BCE,‎ ‎∴△ADE≌△CBE(ASA),‎ ‎∴AE=CE.‎ ‎【点评】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系,圆心角、弧、弦三者的关系可理解为:在同圆或等圆中,①圆心角相等,②所对的弧相等,③所对的弦相等,三项“知一推二”,一项相等,其余二项皆相等.‎ ‎22.(8分)某校举行了自贡市创建全国文明城市知识竞赛活动,初一年级全体同学参加了知识竞赛.‎ 收集教据:现随机抽取了初一年级30名同学的“创文知识竞赛”成绩,分数如下(单位:分):‎ ‎90 85 68 92 81 84 95 93 87 89 78 99 89 85 97‎ ‎88 81 95 86 98 95 93 89 86 84 87 79 85 89 82‎ 整理分析数据:‎ 成绩x(单位:分)‎ 频数(人数)‎ ‎60≤x<70‎ ‎1‎ ‎70≤x<80‎ ‎ 2 ‎ ‎80≤x<90‎ ‎17‎ ‎90≤x<100‎ ‎ 10 ‎ 第29页(共29页)‎ ‎(1)请将图表中空缺的部分补充完整;‎ ‎(2)学校决定表彰“创文知识竞赛”成绩在90分及其以上的同学.根据上面统计结果估计该校初一年级360人中,约有多少人将获得表彰;‎ ‎(3)“创文知识竞赛”中,受到表彰的小红同学得到了印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案的四枚纪念章,她从中选取两枚送给弟弟,则小红送给弟弟的两枚纪念章中,恰好有恐龙图案的概率是  .‎ ‎【分析】(1)由已知数据计数即可得;‎ ‎(2)用总人数乘以样本中对应部分人数所占比例即可得;‎ ‎(3)根据题意先画出树状图,得出共有12种等可能的结果数,再利用概率公式求解可得.‎ ‎【解答】解:(1)补全图表如下:‎ ‎(2)估计该校初一年级360人中,获得表彰的人数约为360×=120(人);‎ ‎(3)将印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案分别记为A、B、C、D,‎ 第29页(共29页)‎ 画树状图如下:‎ 则共有12种等可能的结果数,其中小红送给弟弟的两枚纪念章中,恰好有恐龙图案的结果数为6,‎ 所以小红送给弟弟的两枚纪念章中,恰好有恐龙图案的概率为,‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,求出概率,也考查了条形统计图与样本估计总体.‎ ‎23.(10分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y1=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y2=(m≠0)的图象相交于第一、象限内的A(3,5),B(a,﹣3)两点,与x轴交于点C.‎ ‎(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;‎ ‎(2)在y轴上找一点P使PB﹣PC最大,求PB﹣PC的最大值及点P的坐标;‎ ‎(3)直接写出当y1>y2时,x的取值范围.‎ ‎【分析】(1)利用待定系数法,即可得到反比例函数和一次函数的解析式;‎ ‎(2)根据一次函数y1=x+2,求得与y轴的交点P,此交点即为所求;‎ ‎(3)根据AB两点的横坐标及直线与双曲线的位置关系求x的取值范围.‎ ‎【解答】解:(1)把A(3,5)代入y2=(m≠0),可得m=3×5=15,‎ ‎∴反比例函数的解析式为y2=;‎ 把点B(a,﹣3)代入,可得a=﹣5,‎ 第29页(共29页)‎ ‎∴B(﹣5,﹣3).‎ 把A(3,5),B(﹣5,﹣3)代入y1=kx+b,可得,‎ 解得,‎ ‎∴一次函数的解析式为y1=x+2;‎ ‎(2)一次函数的解析式为y1=x+2,令x=0,则y=2,‎ ‎∴一次函数与y轴的交点为P(0,2),‎ 此时,PB﹣PC=BC最大,P即为所求,‎ 令y=0,则x=﹣2,‎ ‎∴C(﹣2,0),‎ ‎∴BC==3.‎ ‎(3)当y1>y2时,﹣5<x<0或x>3.‎ ‎【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式,根据点的坐标求线段长,正确掌握反比例函数的性质是解题的关键.‎ ‎24.(10分)阅读下列材料:小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值,采用以下方法:‎ 设S=1+2+22+…+22017+22018①‎ 则2S=2+22+…+22018+22019②‎ ‎②﹣①得2S﹣S=S=22019﹣1‎ ‎∴S=1+2+22+…+22017+22018=22019﹣1‎ 请仿照小明的方法解决以下问题:‎ ‎(1)1+2+22+…+29= 210﹣1 ;‎ ‎(2)3+32+…+310=  ;‎ ‎(3)求1+a+a2+…+an的和(a>0,n是正整数,请写出计算过程).‎ 第29页(共29页)‎ ‎【分析】(1)利用题中的方法设S=1+2+22+…+29,两边乘以2得到2S=2+22+…+29,然后把两式相减计算出S即可;‎ ‎(2)利用题中的方法设S=1+3+32+33+34+…+310 ,两边乘以3得到3S=3+32+33+34+35+…+311 ,然后把两式相减计算出S即可;‎ ‎(3)利用(2)的方法计算.‎ ‎【解答】解:(1)设S=1+2+22+…+29①‎ 则2S=2+22+…+210②‎ ‎②﹣①得2S﹣S=S=210﹣1‎ ‎∴S=1+2+22+…+29=210﹣1;‎ 故答案为:210﹣1‎ ‎(2)设S=3+3+32+33+34+…+310 ①,‎ 则3S=32+33+34+35+…+311 ②,‎ ‎②﹣①得2S=311﹣3,‎ 所以S=,‎ 即3+32+33+34+…+310=;‎ 故答案为:;‎ ‎(3)设S=1+a+a2+a3+a4+..+an①,‎ 则aS=a+a2+a3+a4+..+an+an+1②,‎ ‎②﹣①得:(a﹣1)S=an+1﹣1,‎ a=1时,不能直接除以a﹣1,此时原式等于n+1;‎ a不等于1时,a﹣1才能做分母,所以S=,‎ 即1+a+a2+a3+a4+..+an=,‎ ‎【点评】本题考查了规律型:数字的变化类:认真观察、仔细思考,善用联想,利用类比的方法是解决这类问题的方法.‎ ‎25.(12分)(1)如图1,E是正方形ABCD边AB上的一点,连接BD、DE,将∠BDE绕点D逆时针旋转90°,旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.‎ ‎①线段DB和DG的数量关系是 DB=DG ;‎ ‎②写出线段BE,BF和DB之间的数量关系.‎ 第29页(共29页)‎ ‎(2)当四边形ABCD为菱形,∠ADC=60°,点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点,连接BD、DE,将∠BDE绕点D逆时针旋转120°,旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.‎ ‎①如图2,点E在线段AB上时,请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系,写出结论并给出证明;‎ ‎②如图3,点E在线段AB的延长线上时,DE交射线BC于点M,若BE=1,AB=2,直接写出线段GM的长度.‎ ‎【分析】(1)①根据旋转的性质解答即可;‎ ‎②根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可;‎ ‎(2)①根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可;‎ ‎②作辅助线,计算BD和BF的长,根据平行线分线段成比例定理可得BM的长,根据线段的差可得结论.‎ ‎【解答】解:(1)①DB=DG,理由是:‎ ‎∵∠DBE绕点B逆时针旋转90°,如图1,‎ 由旋转可知,∠BDE=∠FDG,∠BDG=90°,‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴∠CBD=45°,‎ ‎∴∠G=45°,‎ 第29页(共29页)‎ ‎∴∠G=∠CBD=45°,‎ ‎∴DB=DG;‎ 故答案为:DB=DG;‎ ‎②BF+BE=BD,理由如下:‎ 由①知:∠FDG=∠EDB,∠G=∠DBE=45°,BD=DG,‎ ‎∴△FDG≌△EDB(ASA),‎ ‎∴BE=FG,‎ ‎∴BF+FG=BF+BE=BC+CG,‎ Rt△DCG中,∵∠G=∠CDG=45°,‎ ‎∴CD=CG=CB,‎ ‎∵DG=BD=BC,‎ 即BF+BE=2BC=BD;‎ ‎(2)①如图2,BF+BE=BD,‎ 理由如下:在菱形ABCD中,∠ADB=∠CDB=∠ADC=×60°=30°,‎ 由旋转120°得∠EDF=∠BDG=120°,∠EDB=∠FDG,‎ 在△DBG中,∠G=180°﹣120°﹣30°=30°,‎ ‎∴∠DBG=∠G=30°,‎ ‎∴DB=DG,‎ ‎∴△EDB≌△FDG(ASA),‎ ‎∴BE=FG,‎ ‎∴BF+BE=BF+FG=BG,‎ 过点D作DM⊥BG于点M,如图2,‎ ‎∵BD=DG,‎ ‎∴BG=2BM,‎ 第29页(共29页)‎ 在Rt△BMD中,∠DBM=30°,‎ ‎∴BD=2DM.‎ 设DM=a,则BD=2a,‎ DM=a,‎ ‎∴BG=2a,‎ ‎∴=,‎ ‎∴BG=BD,‎ ‎∴BF+BE=BG=BD;‎ ‎②过点A作AN⊥BD于N,过D作DP⊥BG于P,如图3,‎ Rt△ABN中,∠ABN=30°,AB=2,‎ ‎∴AN=1,BN=,‎ ‎∴BD=2BN=2,‎ ‎∵DC∥BE,‎ ‎∴=,‎ ‎∵CM+BM=2,‎ ‎∴BM=,‎ Rt△BDP中,∠DBP=30°,BD=2,‎ ‎∴BP=3,‎ 由旋转得:BD=BF,‎ ‎∴BF=2BP=6,‎ ‎∴GM=BG﹣BM=6+1﹣=.‎ ‎【点评】‎ 第29页(共29页)‎ 此题是四边形综合题,主要考查了全等三角形的判定和性质,平行线分线段成比例定理,正方形和菱形的性质,直角三角形30度的角性质等知识,本题证明△FDG≌△BDE是解本题的关键.‎ ‎26.(14分)如图,已知直线AB与抛物线C:y=ax2+2x+c相交于点A(﹣1,0)和点B(2,3)两点.‎ ‎(1)求抛物线C函数表达式;‎ ‎(2)若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点,以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB,当平行四边形MANB的面积最大时,求此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标;‎ ‎(3)在抛物线C的对称轴上是否存在定点F,使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=的距离?若存在,求出定点F的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【分析】(1)利用待定系数法,将A,B的坐标代入y=ax2+2x+c即可求得二次函数的解析式;‎ ‎(2)过点M作MH⊥x轴于H,交直线AB于K,求出直线AB的解析式,设点M(a,﹣a2+2a+3),则K(a,a+1),利用函数思想求出MK的最大值,再求出△AMB面积的最大值,可推出此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标;‎ ‎(3)如图2,分别过点B,C作直线y=的垂线,垂足为N,H,设抛物线对称轴上存在点F,使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=的距离,其中F(1,a),连接BF,CF,则可根据BF=BN,CF=CN两组等量关系列出关于a的方程组,解方程组即可.‎ ‎【解答】解:(1)由题意把点(﹣1,0)、(2,3)代入y=ax2+2x+c,‎ 得,,‎ 解得a=﹣1,c=3,‎ 第29页(共29页)‎ ‎∴此抛物线C函数表达式为:y=﹣x2+2x+3;‎ ‎(2)如图1,过点M作MH⊥x轴于H,交直线AB于K,‎ 将点(﹣1,0)、(2,3)代入y=kx+b中,‎ 得,,‎ 解得,k=1,b=1,‎ ‎∴yAB=x+1,‎ 设点M(a,﹣a2+2a+3),则K(a,a+1),‎ 则MK=﹣a2+2a+3﹣(a+1)‎ ‎=﹣(a﹣)2+,‎ 根据二次函数的性质可知,当a=时,MK有最大长度,‎ ‎∴S△AMB最大=S△AMK+S△BMK ‎=MK•AH+MK•(xB﹣xH)‎ ‎=MK•(xB﹣xA)‎ ‎=××3‎ ‎=,‎ ‎∴以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB,当平行四边形MANB的面积最大时,‎ S最大=2S△AMB最大=2×=,M(,);‎ ‎(3)y=﹣x2+2x+3‎ ‎=﹣(x﹣1)2+4,‎ ‎∴对称轴为直线x=1,‎ 当y=0时,x1=﹣1,x2=3,‎ ‎∴抛物线与点x轴正半轴交于点C(3,0),‎ 如图2,分别过点B,C作直线y=的垂线,垂足为N,H,‎ 设抛物线对称轴上存在点F,使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=‎ 第29页(共29页)‎ 的距离,其中F(1,a),连接BF,CF,‎ 则BF=BN=﹣3=,CF=CH=,‎ 由题意可列:,‎ 解得,a=,‎ ‎∴F(1,).‎ ‎【点评】此题考查了待定系数法求解析式,还考查了用函数思想求极值等,解题关键是能够判断出当平行四边形MANB的面积最大时,△ABM的面积最大,且此时线段MK的长度也最大.‎ 第29页(共29页)‎ 查看更多

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