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生活中的变量关系
资料简介
第二章 函 数
通过本章的学习，使学生关注现实，了解函数、映射等知识产生的背景．发展对变量的认识，了解现实世界充满变量间的相互依赖关系．通过操作和思考，感受抽象出函数概念的过程和方法．理解函数和映射等概念的本质，并掌握函数的单调性等性质．在初中学习的基础上，能熟练地说出二次函数图像的大小、位置和单调性、最大(小)值等性质．对幂函数和函数的奇偶性有所了解．使学生能借助图像想象出函数的单调性、奇偶性等性质，也能用解析式的特点抽象地得出函数的性质，能熟练地对二次函数配方，会用解析式证明函数的单调性和奇偶性，能根据需要对各种函数的解析式作变形，会对一些有关函数的应用题求解，会对有关数据作相应的处理．培养学生提出、分析、解决问题的能力，表达交流的能力，独立获取数学知识的能力，同时发展学生的应用意识、创新意识和数学地思考问题的意识．引导学生形成批判性、崇尚理性的思维习惯，体会数学美，树立辩证唯物主义的世界观．引导学生热爱数学，帮助他们建立学好数学的信心，并具有一定的数学视野；使其树立坚韧不拔的态度和崇尚科学的理性精神，强化对真善美的追求．
在中学，函数的学习大致可分为三个阶段．第一阶段是在义务教育阶段，学习了函数的描述性概念，接触了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数，了解了它们的图像、性质等．本章学习的函数概念与后续将要学习的函数的基本性质、基本初等函数(Ⅰ)和基本初等函数(Ⅱ)是学习函数的第二阶段，这是对函数概念的再认识阶段．第三阶段是在选修系列的导数及其应用的学习，这是函数学习的进一步深化和提高．
在章头语里，把函数的地位和意义作了简单说明．有作为背景的意图，也是想让学生在无形中想到曲线、图像和函数．本书从高速公路的里程和加油站的思考引入，一方面，让学生认识现实中处处充满变量间的依赖关系，另一方面，希望学生能由此及彼想到邮局、机场等实例．函数概念从实际引入，让学生在现实情境中体验和理解数学．函数是核心概念，初中讲了，高中还要深化．它将贯穿整个高中阶段，希望使学生遇到问题的时候，马上会有一种想到函数的潜意识产生．这种意识和函数观点是至关重要的．教材对函数概念，努力改变过去把因变量叫作自变量的函数的做法，而明确提出把对应关系f叫作函数．只是为了与学生过去的认识接轨，才又补充说：习惯上我们称y是x的函数．教材中，提到函数的时候，必须要说明函数的定义域．但是，教材有意弱化了求定义域和值域的技巧，不在这里浪费学生过多时间．本教材力图突出本质，而不在技巧上下更多工夫．考虑到分段函数在实际中会经常出现，明确给出了“分段函数”的概念．一般到特殊、特殊到一般，都是人类创造的重要思维方法，都很重要，只是要根据所遇到的具体情况而决定选用哪一种．考虑到与初中知识的衔接，同时又考虑到学生的认知次序，在函数概念和映射概念的处理上，特意先给出函数的概念再引出映射概念，从特殊到一般地安排了这段教材．在函数性质中，教材突出了更具本质的单调性，而弱化了函数的奇偶性．如前所说，我们没有把奇偶性专门列出一节，而是把它和幂函数放在了一起．有意把幂函数留了个尾巴到下一章，意在顺理成章．因为，此前学生只有整数幂，而分数指数幂、无理数指数幂在下章出现，所以，到下一章再重复一下幂函数，也十分自然．
本章教学时间约需9课时，具体分配如下(仅供参考)：
§1
生活中的变量关系
约1课时
2.1
函数概念
约1课时
2.2
函数的表示法
约1课时
2.3
映射
约1课时
§3
函数的单调性
约1课时
4.1
二次函数的图像
约1课时
4.2
二次函数的性质
约1课时
§5
简单的幂函数
约1课时
本章复习
约1课时
§1 生活中的变量关系
教学分析
在学生学习用集合语言刻画函数之前，学生已经把函数看成变量之间的依赖关系．生活中的变量关系一节，从高速公路的实例引入，“思考交流”则引导学生对类似的情境，如邮局、机场等进行思考并与同伴交流．安排了函数关系与非函数关系的对比．教学中一定要注意以人为本，要尊重学生，为了学生，调动学生参与到教学中．
值得注意的是在本节的教学中，一定要给学生“留白”，即为学生留下必要的时间和空间让其自主地活动．当然，学生的数学活动必须以学生的思维为基础，可以是动手实践，也可以是平静的思考．思维，必须以学生独立的悟为前提，在独立思考的前提下，再强调必须与同伴的交流与合作；思维，必须以抓住知识的本质为目的，不能只求热闹．对教材中的“思考交流”应该组织学生进行讨论，不能一说而过．
三维目标
1．通过公路上的实际例子，引起积极的思考和交流，从而使学生认识到生活中处处可以遇到变量间的依赖关系．
2．能够利用初中对函数的认识，了解依赖关系中有的是函数关系，有的则不是函数关系．培养学生广泛的联想能力，树立热爱数学的态度．
重点难点
区分生活中的变量关系是否为函数关系．
课时安排
1课时
导入新课
思路1.现实世界中充满了变化，静止是相对的，运动是永恒的．我们的生活中存在着各种各样的变量关系，其中函数关系是描述这种变化的重要数学模型，也是数学的基本概念，函数思想是研究问题的重要数学思想之一．今天我们学习如何确定函数关系，教师引出课题．
思路2.人的体重和身高是函数关系吗？小麦的亩产量与亩施肥量是函数关系吗？正方体的体积和棱长是函数关系吗？如何判断呢？这就是本节课学习的内容，教师引出课题．
推进新课
(1)说出初中所学函数定义？
(2)如何确定两个变量之间是函数关系？
讨论结果：(1)函数定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数，y是因变量．
(2)定义法：当且仅当变量x每取一个值，另一个变量y总有唯一确定的值与之对应时，变量x，y之间具有函数关系，并且，y是x的函数．
思路1
例1 我国自1998年开始建设高速公路，全国高速公路通车总里程，于1998年底，位居世界第八；1999年底，位居世界第四；2000年底，位居世界第三；2001年底，超过了加拿大，跃居世界第二位．(如下表)
1988—2001年全国高速公路总里程 单位：千米
年份
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
总里程
147
271
522
574
652
1 145
1 603
年份
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
总里程
2 141
3 422
4 771
8 733
11 605
16 314
19 453
根据表内数据作图(如图1)．
问：
(1)高速公路里程数是年度的函数吗？
(2)高速公路里程数与年度的变化有什么特点？
活动：学生回顾函数的定义及确定函数关系的方法，教师适当提示或点拨．
解：不难看出：
(1)高速公路里程数随年度的变化而变化．所以，高速公路里程数可以看成因变量，年度看成自变量，从而高速公路里程数是年度的函数．
(2)从1988年到2001年，里程数是不断增加的，其中从1999年到2000年增长得最快．
点评：本题主要考查函数的定义.
变式训练
一辆汽车在高速公路上行驶的过程中，请指出哪些变量是时间的函数．
解：一辆汽车在高速公路上行驶的过程中，每个时刻都有唯一的行驶路程与它对应．行驶路程(因变量)随时间(自变量)的变化而变化，故行驶路程是时间的函数．同样，汽车的速度、耗油量也是时间的函数.
例2 图2是某高速公路加油站的图片，加油站常用圆柱体储油罐储存汽油．储油罐的长度d、截面半径r是常量；油面高度h、油面宽度ω、储油量v是变量．这些变量中，请指出哪两个具有依赖关系，哪两个变量具有函数关系．
图2
活动：学生结合生活经验思考．教师可提示，也可介绍相关知识．
解：储油量v与油面高度h存在着依赖关系，储油量v与油面宽度ω也存在着依赖关系．
并非有依赖关系的两个变量都有函数关系．只有满足对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值时，才称它们之间有函数关系．对于油面高度h的每一个取值，都有唯一的储油量v和它对应，所以，储油量v是油面高度h的函数．而对于油面宽度ω的一个值可以有两种油面高度和它对应，于是可以有两种储油量v和它对应，所以，储油量v不是油面宽度ω的函数．
点评：本题主要考查依赖关系和函数关系及其区别．由本题可见，函数关系一定是依赖关系，而依赖关系不一定是函数关系.
变式训练
1．进一步分析上述储油罐的问题，讨论：
(1)还有哪些常量？哪些变量？
(2)哪些变量之间存在依赖关系？
(3)哪些依赖关系是函数关系？哪些依赖关系不是函数关系？
解：(1)常量有圆柱底面积、油罐容积、油的密度等，变量有油的体积、圆柱底面上的弓形面积等；
(2)依赖关系有：储油量和油的体积，储油量和圆柱底面上的弓形面积，油的体积和油面宽度；
(3)储油量是油的体积的函数，油的体积也是储油量的函数，储油量是圆柱底面上的弓形面积的函数，油的体积不是油面宽度的函数．
2．请列举一些与公路交通有关的函数关系．
解：如修路中所花的费用和所修公路长度是函数关系等．
3．请思考在其他情境下存在的函数关系，例如邮局、机场等．
解：在邮局中，邮资是邮件重量的函数等．在机场，飞机票价是路程的函数等.
思路2
例1 在学校里你能发现哪些函数关系？
活动：仔细观察，联系学校中老师、学生、师生的生活、校内物品等．
解：(1)学生的学号是学生的函数；
(2)教学任务是老师的函数；
(3)学校的用电量是时间的函数，用水量也是时间的函数．
点评：本题考查观察能力及发现问题、分析问题的能力.
变式训练
1．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，集合B＝{2,4,6,8}．集合A中的元素乘2.若A中的元素为自变量，B中的元素为因变量，能形成函数吗？
答案：不能．因为A中的元素5的2倍为10，并没有在集合B中．
2．在矩形中，若面积值作为自变量，其中一边长为因变量，能形成函数吗？
答案：不能．因为面积一定时，其中一边的长不确定．
3．某人骑车的速度是20千米/时．他骑1.5小时，走的路程是多少？你能写出时间与路程的函数吗？
答案：1.5小时走的路程是20×1.5＝30(千米)．设时间为t，路程为s，则s＝20t(t≥0)．
4．由下列式子是否能确定y是x的函数？
(1)x2＋y2＝2；
(2)＋＝1；
(3)y＝＋.
解：(1)由x2＋y2＝2，得y＝±，因此由它不能确定y是x的函数；
(2)由＋＝1，得y＝(1－)2＋1，
所以当x在{x|x≥1}中任取一值时，
由它可以确定一个唯一的y与之对应，
故由它可以确定y是x的函数；
(3)由得x∈，
故x无值可取，y不是x的函数.
例2 新华网北京2006年3月24日电：中国卫生部24日通报，上海市确诊一例人感染高致病性禽流感病例，患者3月13日发病，后因病情加重，经抢救无效，于3月21日死亡．为了更好地对付禽流感病毒，某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据检测，服药后每毫升血液中含药量y(毫克)与时间x(小时)之间近似满足图3所示的曲线关系．请根据图3中给出的变化曲线，试判断每毫升血液中含药量y(毫克)与时间x(小时)之间是否构成函数关系．
图3
解：时间的变化范围是数集A＝{x|x≥0}，每毫升血液中含药量y(毫克)的变化范围是数集B＝{y|4≥y≥0}，并且，对于数集A中的每一个时间x，按照图中的曲线，数集B中都有唯一确定的y与它相对应．
所以每毫升血液中含药量y(毫克)是时间x(小时)的函数．
点评：本题主要考查实际问题中的函数关系.
变式训练
从20世纪70年代开始，我国就致力于控制人口过快增长，并逐步制定和完善了严格控制人口增长的政策措施.2002年我国颁布了第一部《人口与计划生育法》，将计划生育从一项基本国策上升为国家法律．根据国家统计局普查资料显示，我国人口再生产类型已经转入低生育、低死亡、低增长的发展阶段，进入了世界低生育水平国家行列.2005年底，我国总人口为13.075 6亿人，约占世界人口的20.12%.自实行计划生育以来，全国累计少生人口近3.1个亿．
图4
请根据图4中给出的我国人口出生率变化曲线，试判断我国人口出生率p和时间t(年)是否构成函数关系．
解：时间t的变化范围是数集A＝{t|t≥1950}，我国人口出生率p的变化范围是数集B＝{p|p≥0}，并且，对于数集A中的每一个时间t，按照图中的曲线，数集B中都有唯一确定的p与它相对应，所以我国人口的出生率p是时间t(年)的函数.
1．自由落体运动中，有哪几个常量，哪几个变量？这些变量之间有怎样的关系？
答案：常量有：自由落体的质量和重力加速度；
变量有：时间t、速度v和位移s，其中，速度依赖时间变化，关系是v＝gt；位移也依赖时间变化，关系是s＝gt2.
2．银行的存款利息表算不算函数？
答案：是函数关系．
思考：字母一定是变量吗？
探究：一般地，在研究一个问题的变化过程中，变量通常是一个字母，也就是说，只有字母才可以取不同的值来表示不同的量，那就是变量．但能否这样说，在变化过程中，字母就一定是变量呢？答案是否定的．
例如，我们所熟悉的二次函数y＝ax2(a≠0)，它表示y与x之间存在依赖关系，这时，x、y都是变量，它表示的是y关于x的函数．虽然函数随着a的变化而表示不同的函数，但它是二次项的系数，是一个常量．
如果把y＝ax2看作表示y与a只存在依赖关系，则y＝ax2＝x2a在x≠0时是一个y关于a的一次函数，这里y，a是变量，x是常量．
本节课学习了：用定义法判断变量之间的函数关系．
习题2—1 A组1,2.
本节课内容比较简单，在设计过程中，注重了与下节函数概念的联系．
[备选例题]
【例1】 下表展示了我国从1998年到2002年每年的国内生产总值．
年份
生产总值(亿元)
1998
78 345
1999
82 067
2000
89 442
2001
95 933
2002
102 398
观察上表，年国内生产总值是年份的函数吗？
答案：是函数关系．
【例2】 农业科学家研究玉米的生长过程，把生长过程分为32个时间段，通过实验得到了各时间段与植株高度之间的相关数据，如图5所示．
图5
观察上图，植株高度是时间的函数吗？
答案：是函数关系．
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