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初中数学教学设计《5.12垂线》黄义卿定州市留早初级中学2017年4月4日
初中数学教学设计《5.12垂线》【教学设计主题】探究垂线。促进学生在活动中积极参与教学，彼此互助，共同完成学习任务的有效性和实效性。开发开放式课堂，放飞课堂，让课堂焕发生命的活力，开展生命性课堂，集中体现构建高效课堂理念。【教案设计理念】高效课堂首先“立人”，高效课堂文化的核心是“开放”，高效课堂要达到的目标是：学会，会学，乐学，创学；立足学会，激发兴趣，培养能力，形成智慧。1、采用合作探究的教学，让学生参与问题探究的实践过程，获得科学研究的初步体验，培养团结合作、探索创新的品质。逐步形成共同发展和个体发展的共同学习活动。2、体现以学生为主体的教育观念，让学生成为学习的主人，让学生在合作交流探究中发现问题，探究问题，进而获得结论。从而使学生主体的个性得以充分表现，能力得以有效地培养。3、尝试从不同角度寻求解决问题的方法，并能有效的解决问题，从而达到培养学生的创新精神与实践能力。4、使学生学会分享与合作，形成知识共享。在参与讨论的过程中，培养学生合作意识和能力，使学生学会交流和分享他人的成果，使互助合作，与人沟通能力得到锻炼。5、采用开放式的教学过程，让学生在自由，宽松、愉悦的课堂气氛中完成本节课的学习。【教学内容分析】本节课选自新课标人教版数学七年级下册第五章第一节第二小节《垂线》第一课时，本节是学生在七年级初步认识空间图形，感受相交线之后的另一种位置关系的认识，是相交线有关知识的延伸和拓展，初步向学生参透由一般到特殊的思想。其学习方式和研究方法，对今后认识图形、形成空间观念起到奠基的作用，特别是对今后要学习的三角形、平行四边形和圆都有举足轻重的作用，在物理的领域也不可缺少的重要的知识储备。一、教学目标：今天的教育观“学为至上”。为捍卫“学”的神圣，满足学生“学”的需求，培养学生“学”的能力，制定了如下教学目标：
1、知识与技能 （1）了解垂线的概念。 （2）知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线，并会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。 2、过程与方法 经历操作、探索、归纳、总结的过程，初步形成几何概念的认识方式和几何结论的归纳方法。（1）通过动手实践、合作探究能够将多边形的问题转化为三角形的问题，体会转化思想在几何中的运用；（2）积累数学活动经验，发展学生的合情推理能力和语言表达能力；（3）通过探索垂线的画法，尝试从不同角度寻求解决问题的方法并能有效地解决问题。3、情感态度价值观 在探究活动中，让学生获得亲自参与合作探究的情感体验，让学生感受成功的喜悦和成就感。，从而增强学生学习数学的热情和团结合作、勇于探索的精神。体会数学与现实生活的联系，能对感性认识到理性认识有初步的体验。 二、教学重点与教学难点 1、教学重点： （1）通过动手操作了解垂线的概念。 （2）通过动手操作进行垂线的性质的归纳。 2、教学难点： 如何引导学生对垂线的性质归纳的语言表述，运用这些知识解决相关问题。 三、教学方法设计：在新课程的实施过程中，要求教师不再是单一的数学知识的传授者，而是学生学习的组织者、引导者与合作者。教学是师生交流、共同发展的过程。所以，本课是在“教师启发为主，学生自主探究”为指导下进行教学的。 本节课从学生已有知识经验即相交线及相交线所构成的四个角的关系角和垂线的画法出发，通过动手实践，合作探究、讨论交流、质疑辨析、比较碰撞，达到互相影响、启迪、感染的效果。激发学生学习兴趣和求知欲，并结合教具直观操作，师生共同总结归纳，在良好的情感环境中指导学生画图、抽象出垂线的几何性质。并
设计一系列有梯度的习题，通过运用来巩固新知。 时教师深入学习小组，鼓励学生积极参与，参与学生的讨论，使学生在合作交流中发现问题、得出结论，采用“兵教兵”的方法面，使差生获得优生解惑，优生有机会施展才华，让不同层次学生都得到提高，从而实现双赢。学生是学习的主人，课堂中要给学生充分从事数学活动的时间和空间。“操作观察—发现交流—归纳运用”是本节课学生学习的主要模式，是观察归纳学习法。先在教师的引导下对相交直线所成的角的大小进行讨论，并加以图形观察，对垂直关系形成的感性认识，再通过动手操作有了自身体验，思考后发现新知并与同伴交流归纳出结论，在此教学过程中，教师主导、学生主体地位得以充分的体现四、学生情况分析；从七年级下学期开始开展小组合作学习，学生已有了合作学习的意识，形成了合作学习的习惯，学生的动手实践、合作探究能力都得到一定的训练。八年级的学生经历了七年级初步认识空间图形，能进行简单推理论证，且具有较强的感性认知基础。本节课针对学生的认知规律，引导小组合作学习，通过动手操作、合作交流体验到参与的乐趣、合作的价值。五、教具、学具准备：三角尺、直尺、多媒体课件、练习题一份。【教学实施过程】一、回顾旧知引出课题1、回顾上节课内容：请学回答。两条直线相交的特征。2、两条直线相交有什么特殊情况？设计意图：让学生借助已有的知识发现数学问题，引出垂直情况.二、创设情景归纳新知演示操作：课件展示相交线模型旋转， 将两根木条钉在一起(如图1)，固定其中一根木条a，转动木条b，请学生观察：
问题1.在木条b的转动过程中，什么量也随之发生改变？师生活动：学生发言，相互补充.引导学生从角的变化过程中体会垂直与角大小的关系。教师追问⑴：当a与b所成角为90?时，其余各角分别为多少度？师生活动：教师引导学生发现，当a与b所成角为90?时，其余各角都为90°，是木条相交中最特殊的一种情况。教师追问⑵：这时木条a与b有何位置关系呢？师生活动：学生根据小学已学的知识可以知道，此时，木条a与b互相垂直，教师揭示课题. 教师活动：板书课题：5.1.2 垂线 设计意图：让学生借助已有的知识发现数学问题，并解决问题，进一步提高对垂直概念的认识.变换角度，认识垂直问题2.仔细观察图2，当两条直线相交时所形成的4个角中，有一个角为90°，就得出这两条直线有何位置关系呢？师生活动：学生回答，并归纳概括出垂直的定义.教师补充指出垂线和垂足的概念.并给出垂直的符号表示. 1、垂直的定义：四个角有一个是直角时，两直线就垂直了，此时四个角都是直角。 垂直：两条直线相交，有一个角是直角，这两条直线互相垂直。 垂线：两条直线互相垂直，其中一条叫作另一条的的垂线。2、垂直的书写形式：如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O。①∵∠AOD=90°（已知）∴AB⊥CD（垂直的定义）
反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么，∠AOD=90°。②∵AB⊥CD（已知）∴∠AOD=90°（垂直的定义）(∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°)师生活动：学生观察图形，学习用符号语言表示垂直定义，教师点拨，规范学生的书写过程.设计意图：教师引导学生用几何语言描述图形的位置关系，并学会用符号语言表示，培养学生表达几何图形的能力.三、设疑激思升华感知（多媒体展示）练习1.两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能断定两条直线垂直的是（）（A）有一个角为90°（B）有两个角相等（C）有三个角相等（D）有两对角相等（E）有一对对顶角互补（F）有一对邻补角相等学生活动：学生独立思考后再小组内交流。请学生学生发表自己的见解，生生互助完成练习。设计意图：教师引导学生用几何语言表达自己的见解，培养学生表达几何图形的能力.加深对垂直定义的理解。四、例题解析知识应用例1：如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，∠1=55°,求∠EOD的度数.学生活动：学生交流讨论后请一学生讲解思路,解题方法，并板书过程。
教师活动：对学生完成情况进行评价和归纳。设计意图：教师引导学生用几何语言描述图形的位置关系，并学会用符号语言表示，培养学生表达几何图形的能力.五、动手实践再探性质(展示)问题:1、已知直线m，如何画直线m的垂线,可以画几条?学生活动：学生动手操作，生生互助完成画图。请一学生演示自己画图的方法。教师活动：对学生完成情况进行评价，讲解并多媒体展示画图的方法。师生共同归纳结论：一条直线可以有无数条垂线。（展示）问题2:过直线m和m上(或外)的一点A,如何画直线m的垂线,可以画几条?[学生活动]：学生动手操作，生生互助完成画图。请学生归纳自己的画法。教师活动：对学生完成情况进行评价，讲解并多媒体展示画图的方法。师生共同归纳结论：垂线的性质（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.师生活动：学生交流讨论后作答.教师引导学生归纳垂线的第一个性质，重点关注学生对“在同一平面内”、“有且只有”的理解，体会数学语言的丰富与精练.教师活动：（展示）问题3.线段、射线的垂线应怎么画呢？学生活动：学生动手操作，生生互助完成画图。请学生归纳自己的画法。教师活动：对学生完成情况进行评价，讲解并多媒体展示画图的方法。师生共同归纳结论：画线段(或射线)的垂线,就是画线段(或射线)所在直线的垂线。画线段(或射线)的垂线时，有时要先将线段延长(或将射线反向延长)，然再画垂线.
师生活动：学生积极踊跃发言，教师做总结，提醒学生注意：两条线段垂直、两条射线垂直、射线与直线垂直、线段与射线垂直、线段与直线垂直，都是指它们所在的直线垂直。 师生活动：，教师做总结，提醒学生注意：两条线段垂直、两条射线垂直、射线与直线垂直、线段与射线垂直、线段与直线垂直，都是指它们所在的直线垂直. 设计意图：教师利用层层递进的提问，引导学生动手作图，并尝试自己探究、归纳出直线垂直的第一个性质“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，着重培养学生的逻辑推理能力和语言表达能力.设计意图：通过观察发现，体会这一性质。（在本环节我不做更多的引导，完全把解决问题的权力交给了学生,让学生通过自己动手观察，将已有知识、经验和方法进行对比，从不同角度寻求解决问题的方法。）（在探究学习中学生会惊讶地发现“数学就在我手上”，对培养学生的创新意识和激发学习兴趣无疑又起了很好的作用，只有激发起学生良好情感体验，学生才能最有效地学习，才最有利于创造力的发展。）六、对点突破巩固强化 （展示）对点突破：练习1如图，ABm，BCm,B为垂足，那么A，B，C三点在同一条直线上吗？ 学生活动：学生独立思考后后请学生讲解思路,解题依据。设计意图：通过一道练习，体会“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”和垂线的存在性和唯一性.2.过点P向线段AB所在直线引垂线，正确的是（）.
2：如图，已知AB.CD相交于O,OE⊥CD于O,∠AOC=36°，则∠BOE=_______。学生活动：学生独立思考后交流讨论。请学生讲解思路,解题方法。3:如图，已知直线AB、CD都经过O点，OE为射线，若∠1＝35°,∠2＝55°，则OE与AB的位置关系是.学生活动：学生独立思考后交流讨论。请每小组学生代表到讲台，讲述想法，展示解决问题的过程和成果。教师活动：教师巡视，观察每个学生的参与度，重点关注各小组中不积极参与讨论的学生，对他们进行引导，参加小组的讨论。各小组展示成果，汇总了解决问题的方法。4、如图，点O是直线AB上的一点，OC是射线，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，试确定OE与OF的位置关系．并说明理由．
学生活动：交流讨论。学生在讨论中互相借鉴，弥补不足，完善答案，形成知识共享。请每小组学生代表到讲台，讲述想法，展示解决问题的过程和成果。教师活动：教师巡视，观察每个学生的参与度，重点关注各小组中不积极参与讨论的学生，对他们进行引导，参加小组的讨论。巡回指导检验评价。设计意图：通过设计分层变式题，将实际问题转化成数学问题去解决，层层递进，提高思维度，使学生对问题的推理判断能力进一步深化和提高. （在本环节，我设置了五道题，练习的配置上，选用一些有梯度练习，前两道是对知识直接运用；3，4题是灵活运用和综合运用；第5题综合性强，题意构思精巧。使学生要用“动”的观点去分析已知条件和面临结论之间的关系，在讨论、争辩的矛盾冲突中建立新的知识结构，进一步激发学习热情和求知欲望。学生的智慧和创造力又上了一个新层次，同时在参与讨论争辩的过程中，培养学生合作意识，使学生学会交流和分享他人的成果。）七、提问梳理 归纳小结 本节课的学习，你在数学思想方法方面还有哪些收获？1、提问1：今天我们学习了垂线的有关知识，我们得到了哪些结论？ 2、提问2：通过学习我们发现，几何结论可以通过观察图形来得到，请你们回忆一下垂线的性质是如何得出的？ 以上问题先由学生发言，不足之处教师给于补充。 设计意图：通过问题对本节课内容进行梳理，掌握本节课的主要内容——垂直定义和，及其中蕴含的数学思想方法。八、布置作业
教科书习题5.1第6、7题[板书设计]：b5.12垂线垂线：a┴b或b┴a例1：垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直a[教学反思]：我在这节课中做了大胆的尝试和探索，在设计过程中每步探究先让学生自己尝试，把学生推到主动位置，放手让学生自己学习，教学过程主要靠学生自己去完成。第一，这节课我几乎没有什么参与，减少了对学生的思维干预，真正做到了“把课堂还给学生”，给学生创造一个开放、自由、民主、和谐的学习氛围。学生在这个氛围中可以按自己的方式展开想象，畅所欲言。第二，本节课向学生提供了从事数学活动的机会，学生不是停留在学会课本知识层面，而是站在研究者的角度深入其境。学生小组合作活动在已有的经验基础上，组员按自己思想方法，在小组合作交流、动手实践、比较猜想、探究归纳中积极思考，能够主动地参与数学活动，尝试着用自己的方式去解决问题，培养了学生的合作精神和创新能力；第三，本节课注重引导学生探索获取知识的过程，用学生亲身经历，亲自看得到、感受得到的基本素材来激活思维，获得情感体验和智慧升华。教学中存在的问题：在合作探究活动中，有的学生思维敏捷，还没等其他组员审清题，他已把结果说出来了，有的学生参与度不高，有“偏离轨道”现象。没达到合作探究的目的。今后的教学中，培养学生学会整理自己的思想脉络，学会倾听和换位思考，对“偏离轨道”的个别行为有针对性地作调节、矫正和引导，同时尽量满足“离心倾向”的个别学生的合理需求，使个性发展和共同发展达到统一。
附：练习题5.1.2 垂线(1)1、画已知直线m的垂线,可以画几条?m2、过直线m和m上(或外)的一点A,画直线m的垂线,可以画几条?AmAm3.过A点作已知线的垂线垂线。4．(和平区期中)画一条线段的垂线，垂足在()A．线段上B．线段的端点C．线段的延长线上D．以上都有可能5．(贺州中考)如图，OA⊥OB，若∠1＝55°，则∠2的度数是()A．35°B．40°C．45°D．60°6．下列说法正确的有()①在平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；②在平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线；5题③在平面内，可以过任意一点画一条直线垂直于已知直线；④在平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线．A．1个B．2个C．3个D．4个
7．如图，当∠1与∠2满足条件________________时，OA⊥OB.7题8题9题8．(河南中考改编)如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM＝35°，则∠CON的度数为__________. 9．如图，直线AB，CD相交于点O，若∠AOC＝90°，则AB与CD的位置关系是____；若已知AB⊥CD，则∠AOC＝∠COB＝∠BOD＝∠AOD＝________. 10．如图，已知直线AB，CD，EF相交于点O，AB⊥CD，∠DOE＝127°，求∠AOF的大小．11．如图，已知DO⊥CO，∠1＝36°，∠3＝36°.(1)求∠2的度数；(2)AO与BO垂直吗？说明理由．
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