资料简介
第27课时 图形的相似
考点一 比例线段
考点梳理 自主测试
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考点二 平行线分线段成比例定理及推论
1.三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
2.平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,
截得的对应线段成比例.
考点三 相似多边形
1.定义
各角分别相等,各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似
多边形对应边的比叫做相似比,相似比为1的两个多边形全等.
2.性质
(1)相似多边形的对应角相等,对应边的比相等;
(2)相似多边形周长的比等于相似比;
(3)相似多边形面积的比等于相似比的平方.
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考点四 相似三角形
1.定义
三角分别相等,三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.
2.判定
(1)平行于三角形一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形
与原三角形相似;
(2)两角对应相等,两三角形相似;
(3)两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似;
(4)三边对应成比例,两三角形相似;
(5)斜边和一条直角边对应成比例,两直角三角形相似.
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3.性质
(1)相似三角形的对应角相等,对应边的比相等;
(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比
都等于相似比;
(3)相似三角形周长的比等于相似比;
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方.
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4.相似三角形的应用
相似三角形的知识在实际生产和生活中有着广泛的应用.这一应
用是建立在数学建模思想和数形结合思想的基础上,把实际问题转
化为数学问题,通过求解数学问题达到解决实际问题的目的.
(1)相似三角形的应用主要有如下两个方面:①利用相似三角形的
性质测量不能直接到达的河的宽度;②利用相似三角形的性质计算
不能直接测量的物体的高度.
(2)解相似三角形实际问题的一般步骤:①审题;②构建图形;③利
用相似解决问题.
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方法指导:1.与三角形有关的实际应用题解题步骤:
(1)审题:通读题干(结合图形),第一时间锁定采用的知识点,如:通
过题图观察是否含有已知角度数,如果含有,考虑利用锐角三角函
数解题;如果仅涉及三角形的边长,则采用相似三角形的性质解题.
(2)筛选信息:由于实际问题文字阅读量较大,因此筛选有效信息
尤为关键.例如题干中的关键词:视角→与相似三角形有关的等量
角;距离→与三角形有关的边长等,都是获取与要求三角形有关的
几何量.
(3)构造图形:只要是与三角形有关的实际问题都会涉及图形的构
造,若题干中给出了相应的图形,则可直接利用所给图形进行计算,
必要时还需添加辅助线;若未给出图形,则需要通过(2)中获取的信
息构造几何图形进行解题.
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(4)列关系式:当出现相似三角形的实际应用题时,通常采用的方
法是列出比例式构造方程求解;若出现锐角三角函数的实际应用题
时,则利用直角三角形中锐角三角函数的表达式求解即可.
(5)检验:解题完毕后,可能会存在一些较为特殊的数据,例如含有
复杂的小数等.因此,要特别注意所求数据是否符合实际意义,同时
还要注意题干中有无要求保留整数的条件.
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2.在实际测量高度、宽度、距离等问题中,常结合视角知识构造
直角三角形,利用三角函数来解决问题,常见的构造的基本图形有
如下几种:
(1)构造一个直角三角形:
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(2)构造两个直角三角形:
①不同地点测量
②同一地点测量
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考点五 位似变换与位似图形
1.定义
取定一点O,把图形上任意一点P对应到射线OP(或它的反向延长
线)上一点P',使得线段OP'与OP的比等于常数k(k>0),点O对应到它
自身,这种变换叫做位似变换,点O叫做位似中心,常数k叫做位似比,
一个图形经过位似变换得到的图形叫做与原图形位似的图形.
注意:位似图形是一种特殊的相似图形,而相似图形未必能构成
位似图形.
2.性质
两个位似的图形上每一对对应点都与位似中心在一条直线上,并
且新图形与原图形上对应点到位似中心的距离之比等于位似比.
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3.画位似图形的步骤
(1)确定位似中心;
(2)连接图形各顶点与位似中心的线段(或延长线);
(3)按位似比进行取点;
(4)顺次连接各点,所得的图形就是所求图形.
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答案:D
2.如图,若两个四边形相似,则∠α的度数是( )
A.87° B.60°C.75° D.120°
答案:A
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3.下列各组中的四条线段成比例的是( )
A.a=1,b=3,c=2,d=4 B.a=4,b=6,c=5,d=10
C.a=2,b=4,c=3,d=6 D.a=2,b=3,c=4,d=1
答案:C
4.如图,已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形,每个小正
方形的顶点称为格点,若△ABC与△A1B1C1是位似图形,且顶点都在
格点上,则位似中心的坐标是 .
答案:(9,0)
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4
命题点1 相似图形的性质
【例1】 如图,在长为8 cm、宽为4 cm的矩形中,截去一个矩形,
使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似,则留下矩形的面积
是( )
A.2 cm2 B.4 cm2 C.8 cm2D.16 cm2
解析:根据相似多边形面积的比等于相似比的平方,
答案:C
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4
命题点2 相似三角形的性质与判定
【例2】 如图,在△ABC和△ADE中,∠ABC=∠ADE,
∠BAD=∠CAE.
(1)写出图中两对相似三角形(不得添加字母和线);
(2)请分别说明两对三角形相似的理由.
解:(1)△ABC∽△ADE,△ABD∽△ACE.
(2)①△ABC∽△ADE.
理由:∵∠BAD=∠CAE,
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC,
即∠BAC=∠DAE.
又∠ABC=∠ADE,∴△ABC∽△ADE.
②△ABD∽△ACE.
理由:∵△ABC∽△ADE, .
又∠BAD=∠CAE,∴△ABD∽△ACE.
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4
变式训练如图,△ABC是等边三角形,CE是外角平分线,点D在AC
上,连接BD并延长与CE交于点E.
(1)求证:△ABD∽△CED;
(2)若AB=6,AD=2CD,求BE的长.
(1)证明:∵△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=∠ACB=60°,∠ACF=120°.
∵CE是外角平分线,∴∠ACE=60°,∴∠BAC=∠ACE.
又∠ADB=∠CDE,∴△ABD∽△CED.
(2)解:作BM⊥AC于点M(如图),
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4
命题点3 位似图形
【例3】 如图,△ABC与△A'B'C'是位似图形,点O是位似中心,若
OA=2AA',S△ABC=8,则S△A'B'C'= .
解析:位似图形一定是相似图形,并且对应点到位似中心的距离
之比等于位似比.
答案:18
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4
命题点4 相似三角形的应用
【例4】 问题背景:在某次活动课中,甲、乙、丙三个学习小组
于同一时刻在阳光下对校园中的一些物体进行了测量,下面是他们
通过测量得到的一些信息:
甲组:如图①,一根长为80 cm的竹竿直立于平地,测得其影长为60
cm.
乙组:如图②,测得学校旗杆的影长为900 cm.
丙组:如图③,测得校园景灯(灯罩视为球体,灯杆为圆柱体,其粗
细忽略不计)的高度为200 cm,影长为156 cm.
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4
任务要求:
(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度.
(2)如图③,设太阳光线NH与☉O相切于点M.请根据甲、丙两组
得到的信息,求景灯灯罩的半径.(提示:如图③,景灯的影长等于线段
NG的影长;需要时可采用等式1562+2082=2602)
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4
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