资料简介
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2020-2021 学年高二上学期期中考试试卷
数学
命题人： 审核人：高二数学备课组
试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟
一、选择题(本大题共有 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，每小题在给出的四个选
项中，只有一项符合题目要求的)
1.抛物线 21
2y x 的焦点坐标是（ ）
A． 0,1 B． 10 2
, C． 10, 4
D． 10, 8
2.已知 (2, 1,4), ( 1,1, 2), (7,5, )a b c m ，若 , ,a b c
共面，则实数m 的值为
（ ）
A． 60
7
B．14 C．12 D． 62
7
3.如图，在四面体O ABC 中， 1G 是 ABC 的重心，G 是 1OG 上的一点，且
12OG GG ，若OG xOA yOB zOC ，则( , , )x y z 为（ ）
A. 1 1 1( , , )2 2 2
B. 2 2 2( , , )3 3 3
C. 1 1 1( , , )3 3 3
D. 2 2 2( , , )9 9 9
4.在一平面直角坐标系中，已知 1,6A ， 2, 6B ，现沿 x 轴将坐标平面折成
60°的二面角，则折叠后 A， B 两点间的距离为（ ）
A． 2 7 B． 41 C． 17 D．3 5
5.抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物
线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线
的焦点.已知抛物线 2 4y x 的焦点为 F ，一条平行于 x 轴的光线从点 3,1M 射
2
出，经过抛物线上的点 A反射后，再经抛物线上的另一点 B 射出，则 ABM 的周
长为（ ）
A． 71 2612
B．9 10 C． 83 2612
D．9 26
6.直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1AB AC AA ， 60BAC ，则异面直线 1BA 和 1AC
所成角的余弦值为（ ）
A． 3
2
B． 3
4
C． 1
4
D． 1
3
7.已知 F 是椭圆 E ：
2 2
2 2 1 0x y a ba b
的左焦点，经过原点O的直线l 与椭圆
E 交于 P ，Q 两点，若 3PF QF ，且 120PFQ ，则椭圆 E 的离心率为（ ）
A． 7
4
B． 1
2
C． 3
4
D． 3
2
8.已知水平地面上有一篮球，球的中心为O，在斜平行光线的照射下，其阴影
为一椭圆（如图），在平面直角坐标系中，椭圆中心 O 为原点，设椭圆的方程为
2 2
14 2
x y ，篮球与地面的接触点为 H，则| |OH 的长为（ ）
A． 6
2
B． 2 C． 3
2
D． 10
3
二．选择题(本大题共有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题在给出的四个
选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对
的得 3 分)
9.设 m，n 是空间两条不同直线， ， 是空间两个不同平面，则下列选项中正
确的是（ ）
A．当 n⊥ 时，“n⊥ ”是“ ∥ ”成立的充要条件
3
B．当 时，“m⊥ ”是“ ”的充分不必要条件
C．当 时，“n// ”是“ ”必要不充分条件
D．当 时，“ ”是“ ”的充分不必要条件
10．已知抛物线 2 4x y 的焦点为 F ， 1 1,A x y ， 2 2,B x y 是抛物线上两点，则
下列结论正确的是（ ）
A．点 F 的坐标为 1,0
B．若 A， F ， B 三点共线，则 3OA OB
C．若直线OA与OB 的斜率之积为 1
4
，则直线 AB 过点 F
D．若 6AB ，则 AB 的中点到 x 轴距离的最小值为 2
11.已知 1F 、 2F 分别为双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的左、右焦点，且
2
1 2
2bF F a
，点 P
为双曲线右支一点，I 为 1 2PF F△ 的内心，若 1 2 1 2IPF IPF IF FS S Sl= +△ △ △ 成立，则下列结论正
确的有（ ）
A．当 2PF x 轴时， 1 2 30PF F B．离心率 1 5
2e
C． 5 1
2
D．点 I 的横坐标为定值 a
12.在如图所示的棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，点 P 在侧面 1 1BCC B 所
在的平面上运动，则下列命题中正确的为（ ）
A．若点 P 总满足 1PA BD ，则动点 P 的轨迹是一条直线
B．若点 P 到点 A 的距离为 2 ，则动点 P 的轨迹是一个周长为2 的圆
4
C．若点 P 到直线 AB 的距离与到点 C 的距离之和为 1，则动点 P 的轨迹是椭圆
D．若点 P 到直线 AD 与直线 1CC 的距离相等，则动点 P 的轨迹是双曲线
二:填空题(本大题共有 4 个小题，每题 5 分，共 20 分)
13.已知命题 p： x R ， 2 2 0x x a ，若命题 p 是假命题，则实数 a 的取值
范围是______.
14.已知双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的一条渐近线方程为 3y x ，若其右顶点到
这条渐近线的距离为 3 ，则双曲线方程为______．
15.设 A，B 分别是直线 y＝2x 和 y＝﹣2x 上的动点，满足|AB|＝4，则 A 的中点
M 的轨迹方程为_____．
16.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示
的鳖臑 P ABC 中，PA 平面 ABC ， 90ACB ， 4CA ， 2PA ，D 为 AB
中点， E 为 PAC 内的动点（含边界），且 PC DE .①当 E 在 AC 上时，
AE ______；②点 E 的轨迹的长度为______.
三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分，解答时要求写出必要的文字说明或推
演步骤．)
17.（本小题满分 10 分）已知命题 :p 实数t 满足 2 25 4 0t at a ， :q 实数t 满足
曲线
2 2
12 6
x y
t t
为双曲线.
（1）若 1a ，且 p 为假，求实数t 的取值范围；
（2）若 0a ，且q是 p 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围.
5
18.（本小题满分 12 分）如图在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD为矩形，PD
底面 ABCD， E 是 AB 上一点， 2PD ， 3
2AD , 2CD ， 1
2AE ．
(1) 求二面角 E PC D 的大小；
(2) 求点 B 到平面 PEC 的距离．
19.（本小题满分 12 分）已知 F 是抛物线C ： 2 2y px ( 0)p 的焦点，点 A 在C 上，
A 到 y 轴的距离比| |AF 小 1.
（1）求C 的方程；
（2）设直线 AF 与C 交于另一点 B ， M 为 AB 的中点，点 D 在 x 轴上，| | | |DA DB .若
| | 6DM ，求直线 AF 的斜率.
20.（本小题满分 12 分）正四棱锥 P ABCD 的底面正方形边长是 4，O 是 P 在
底面上的射影， 2 2PO ，Q 是 AC 上的一点， ACAQ 4
1 ,过Q 且与 PA 、BD 都
平行的截面为五边形 EFGHL ．
（1）在图中作出截面 EFGHL (写出作图过程）；
（2）求该截面面积．
6
21.（本小题满分 12 分）在四棱锥 P ABCD 中，平面 PAD 平面 ABCD，底面
ABCD为直角梯形， //BC AD ， 90ADC ， 1 12BC CD AD ，E 为线段 AD
的中点，过 BE 的平面与线段 PD ， PC 分别交于点G ， F ．
（1）求证：GF PA ；
（2）若 2PA PD ，是否存在点G ，使得直线 PB 与平面 BEGF 所成角的正
弦值为 10
5
，若存在，请确定G 点的位置；若不存在，请说明理由．
22.（本小题满分 12 分）已知椭圆
2 2
1 2 2: 1 ( 0)x yC a ba b
的左右焦点是 1 2,F F ，且
1C 的离心率为 3
2
.抛物线 2
2 : 2 0C y px p 的焦点为 2F ，过 2OF 的中点Q 垂直
于 x 轴的直线截 2C 所得的弦长为 2 6 .
（1）求椭圆 1C 的标准方程；
（2）设椭圆 1C 上一动点T 满足： 2OT OA OB ，其中 ,A B 是椭圆 1C 上的点，
且直线 ,OA OB 的斜率之积为 1
4
.若 ( , )N 为一动点，点 P 满足 1 2
1
2PQ F F .试
探究 NP NQ 是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由.
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2020-2021 学年度上学期第一学段考试试卷
高二 数学 选修 2-1
二、选择题
BBDDD CAB ABD BCD BCD ABD
三、填空题 13. , 1 14.
2 2
14 12
x y 15.
2
2 116
yx 16．2 2 5
5
三、解答题
17、解：（1） p 为假，∴ p 为真， 21, 5 4 0a t t ， 解得 1,4t ；
（2） :p 由 2 25 4 0t at a 得( )( 4 ) 0t a t a
:q 由实数t 满足曲线
2 2
12 6
x y
t t
为双曲线.得(2 )(6 ) 0t t 解之2 6t
由 0a 且( )( 4 ) 0t a t a 得， 4a t a 设 | 4A t a t a ， | 2 6B t t ，
因为q是 p 的充分不必要条件，所以集合 B 是集合 A的真子集，
故有
0
2
4 6
a
a
a
，得 3 22 a .
18. （1）以 D 为原点，向量 DA
， DC
， DP
的方向分别为 x ， y ，轴的正方向
建立空间直角坐标系，
∴ 3 1, ,02 2E
， 3 1, , 22 2PE
， 3 3, ,02 2EC
．
设平面 PEC 的一个法向量为 , ,n x y z ，
由 0n PE ， 0n EC ，
得
3 1 2 02 2
3 3 02 2
x y z
x y
，令 1y ，则 3, 2x z .
所以 3,1, 2n ，
取平面 PCD的一个法向量为 1,0,0m ，
8
设二面角 E PC D 的大小为 ，由图可知 为锐角.
∴ 2cos 2
m n
m n
，∴
4
，
即二面角 E PC D 的大小为
4
．
（2）由（1）知平面 PEC 的一个法向量为 ( 3,1, 2)n ，
又 3 ,2,02B
，∴ 30, ,02BE
，
∴点 B 到平面 PEC 的距离 | | 6
4| |
BE nd
n
．
19.（1）设C 的准线为l ，过 A 作 AH l 于 H ，则由抛物线定义，得| | | |AF AH ，
因为 A 到 F 的距离比到 y 轴的距离大 1，所以 12
p ，解得 2p ，
所以C 的方程为 2 4y x
（2）由题意，设直线 AF 方程为 ( 1)y k x ，
由 2
( 1),
4 ,
y k x
y x
消去 y ，得 2 2 2 22 4 0k x k x k ，
设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，则
2
1 2 2
2 4kx x k
，
所以 1 2 1 2
42y y k x x k k
，
又因为 M 为 AB 的中点，点 M 的坐标为
2
2
2 2,k
k k
，
9
直线 DM的方程为
2
2
2 1 2ky xk k k
，
令 0y ，得 2
23x k
，点 D 的坐标为 2
23 ,0k
，
所以
2
2
2
2 42 4 6DM k k
，
解得 2 2k ，所以直线 AF 的斜率为 2 .
20、解：（1）由题可知，Q 是 AC 上的一点，过Q 且与 PA 、 BD 都平行的截面为
五边形 EFGHL ，过Q 作 / /EL BD ，交 AB 于点 E ，交 AD 于点 L ，
过Q 作 / /QG PA，交 PC 于点G ，再过点 E 作 / /EF PA，交 PB 于点 F ，
过点 L 作 / /HL PA交 PD 于点 H ，连接 , ,FG GH FH ，
/ /EF PA ， / /HL PA ， / /GQ PA， / / / /EF HL GQ ，
所以 , , , ,E F G H L 共面，Q平面 EFGHL ，
/ /EL BD ， EL 平面 EFGHL ，
/ /BD 平面 EFGHL ，同理 / /PA 平面 EFGHL .
所以过Q 且与 PA 、 BD 都平行的截面 EFGHL 如下图：
（2）由题意可知， / /PA 截面 EFGHL ， / /BD 截面 EFGHL ，
/ / , / / , / /PA EF PA HL PA GQ ， / / , / /BD EL BD FH ，
而O是在底面上的射影， 2 2PO ， PO 平面 ABCD， BD AC ，
PO BD ，且 AC BD O ，所以 BD 平面 PAC ，则 BD PA ，
EF EL ，又 / /FH BD ， P ABCD 为正四棱锥，
10
PH PF ，故 PFG PHG△ △ ，于是GF GH ，
因此截面 EFGHL 是由两个全等的直角梯形组成，
因 / /EL BD ，则 AEL△ 为等腰直角三角形，
2 2 4PA PO OA 1 22EF PA ，同理得， 3 34QG PA ，
设截面 EFGHL 面积为 S ，
所以 (2 3)* 2 5 2S EF QG EQ ，
所以截面 EFGHL 的面积为5 2 .
21、（1）证明： 1
2BC AD ，且 E 为线段 AD 的中点， BC DE ，
又 //BC AD ，四边形 BCDE 为平行四边形， //BE CD ，
又CD 平面 PCD， BE 平面 PCD， //BE 平面 PCD，
又平面 BEGF 平面 PCD GF ， //BE GF ，
又 BE AD ，且平面 PAD 平面 ABCD，平面 PAD 平面 ABCD AD ，
BE 平面 PAD ， GF 平面 PAD ，
又 PA 平面 PAD ， GF PA .
（2）存在，G 为 DP 的靠近 D 点的三等分点．
PA PD ， E 为线段 AD 的中点， PE AD∴ ，
又平面 PAD 平面 ABCD， PE 平面 ABCD，
以 E 为坐标原点， EA
的方向为 x 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系
E xyz ，
则 0,0,1P ， 0,1,0B ， 0,0,0E ， 1,0,0D ，
11
则 0,1, 1PB ， 0, 1,0BE ， 1,0,1DP
uuur ，
设 DG DP ，得 1,0,G ， 1,0,EG
uuur ，
设平面 BEGF 的法向量为 , ,n x y z ，
则 0,
0,
BE n
EG n
即
0,
1 0,
y
x z
令 x λ ，可得 ,0,1n 为平面 BEGF 的一个法向量，
设直线 PB 与平面 BEGF 所成角为 ，
于是有
22
1 10sin cos , 52 1
n PBn PB
n PB
；
得 1
3
或 1 （舍），
所以存在点 2 1,0,3 3G
，使得直线 PB 与平面 BEGF 所成角的正弦值为 10
5
，故
G 为 DP 的靠近 D 点的三等分点．
22.解：（1）抛物线 2
2 : 2C y px 的焦点为 2 ( ,0)2
pF ，∴ ( ,0)4
pQ
过Q 垂直于 x 轴的直线截 2 2y px 所得的弦长为 2 6
所以 2
6 2 4
pp ，解得 2 3p .
所以 2 ( 3,0)F 又∵椭圆 1C 的离心率为 3
2
，∴ 2, 1a b
椭圆 1C 的方程为
2
2 14
x y ，.
（2）设 ( , )T x y ， 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ，则由 2OT OA OB ，
得 1 22x x x ， 1 22y y y
∵点 , ,T A B 在椭圆
2
2 14
x y 上，
∴所以 2 2
1 14 4x y ， 2 2
2 24 4x y ， 2 24 4x y
12
故 2 2 2 2
1 2 1 24 ( 2 ) 4( 2 )x y x x y y
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2( 4 ) 4 ( 4 ) 4 ( 4 ) 4x y x y x x y y .
设 ,OA OBk k 分别为直线 ,OA OB 的斜率，由题意知， 1 2
1 2
1
4OA OB
y yk k x x
因此 1 2 1 24 0x x y y
所以 2 24 1 ..
所以 N 点是椭圆上
2
2 11
4
上的点，.
∵ 3( ,0)2Q ，又∵ 1 2
1
2PQ F F ，∴ 3 ,02P
.
∴ ,P Q 恰为椭圆
2
2 11
4
的左、右焦点，由椭圆的定义， 2NP NQ 为定值.
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