资料简介
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2020-2021 学年高
二上学期期中联考数学试题
（考试时间：120 分钟 总分：150 分）
试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1．若 A,B 为互斥事件，P(A)=0.4 ， P(A∪B)=0.7 ，则 P(B)= （ ）
A．0.1 B．0.3 C．0.4 D．0.7
2．某班有学生 60 人，将这 60 名学生随机编号为 1-60 号，用系统抽样的方法从中抽出 4 名学
生，已知 4 号、34 号、49 号学生在样本中，则样本中另一个学生的编号为（ ）
A. 28 B. 23 C. 19 D. 13
3．已知直线 MN 的斜率为 4，其中点 N(1，－1)，点 M 在直线 1 xy 上，则点 M 的坐标为
( )
A．(2,3) B．(4,5) C．(2,1) D．(5,7)
4．如右图，在圆心角为直角的扇形OAH 中，分别以 ,OA OH 为直径作两个
半圆，在扇形OAH 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）
A． 1
B． 1
2 C． 4
2
D． 2
5．已知直角三角形的两直角边分别为1， 3 ，若绕三角形的斜边旋转一周形成的几何体，则
该几何体的体积为（ ）
A．
4
B．
3
C．
2
D．
- 2 -
6．已知某几何体的三视图如右图所示，若该几何体外接球的表面
积为 32 ，则该几何体的高 h 为（ ）
A．3 B． 32 C． 4 D． 6
7.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都是直角三角
形的四面体称为“鳖臑”，在鳖臑 A BCD 中， AB 平面 BCD，
BD CD ，且 ,AB BD CD M 为 AD 的中点，则异面直线
BM 与CD 所成的角为（ ）
A．30 B． 45 C． 60 D．90
8．已知点 )0)(0,1(),0,1( mmBmA ，若圆 C： 0288822 yxyx 上存在一点 P ，
使得 PBPA ，则实数 m 的取值范围是( )
A． 3m B． 73 m C． 72 m D． 64 m
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 在每小题给出的四个选项中，有多项是符合
题目要求的。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。
9．某赛季甲、乙两名篮球运动员 5 场比赛得分的茎叶图如图所示，已知甲得分的极差为 32，
乙得分的平均值为 24，则下列结论正确的是（ ）
A． 8x B．甲得分的方差是 736
C． 26y D． 乙得分的方差小于甲得分的方差
10．设 nml ,, 表示三条不同的直线， ，， 表示三个不同的平面，给出
下列四个选项中正确的是（ ）
A．若 mlml ,//,// ，则 ；
B．若 ,, nmm 则 //n ；
C．若 nm, 为异面直线， //,//,//,// nmnm ，则 // ；
D．若 ， ，则 ．
11．若直线 bxy 与曲线 21 yx 恰有一个公共点，则
b 的可能取值是( )
A． 1 B． 0 C． 1 D． 2
12．已知球 O 的直径 4SD ， CBA 、、 是球 O 表面上的三
- 3 -
个不同的点， 30ASD BSD CSD ，则（ ）
A． AB SD
B． 线段 AB 的最长长度为 32
C．三棱锥 ABCS 的体积最大值为 3
D．过 SA作球的截面中，球心 O 到截面距离的最大值为 1.
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．具有线性相关关系的变量 yx、 的一组数据如下表所示， y 与 x 的回归直线方程为
1.5y bx ，则 b 的值为 .
x 0 1 2 3
y 1 1 4 8
14．已知直线 bxyl : 被圆 6)2()3( 22 yxC： 截得的弦长等于该圆的半径,则
b .
15．在长方体 1111 DCBAABCD 中， 1,1 AAADAB ，且 DC1 与底面 1111 DCBA 所成角为
60 ，则直线 DC1 与平面 11DCB 所成的角的正弦值为 ．
16．在平面直角坐标系 xoy 中，过圆 1)4()( 22
1 kykxC ： 上任一点 P 作圆
1)1( 22
2 yxC ： 的一条切线，切点为Q ，则当 PQ 取最小值时， k ________.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题 10 分）
某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了 100 人就该城市共享单车的推行情
况进行问卷调查，并将问卷中的这 100 人根据其满意度评分值（百分制）按照 )60,50[ ，
)70,60[ ， ， ]100,90[ 分成 5 组，制成如图所示频率分布直方图．
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（1）求图中 x 的值，并求出满意度评分值在 100,90 的人数；
（2）若调查的满意度评分值的平均数超过 75，则可在该城市
继续推行共享单车，试判断该城市能否继续推行共享单车。
18．（本小题 12 分）
如图，在四棱锥 ABCDP 中，底面 ABCD 为菱形，
60DAB ，侧面 PAD 是边长为 2 的正三角形，M 为 AD
的中点，且 PM 平面 ABCD
（1）证明：平面 PBM 平面 PAD ；
（2）求三棱锥 PBDC 的高。
19．（本小题 12 分）
如今,中国的“双十一”已经从一个节日变成了全民狂欢的“电商购物日”.某宝电商分
析了近 8 年“双十一”期间的宣传费用 x (单位:万元)和利润 y (单位:十万元)之间的关系,
得到下列数据:
请回答:
（1）由表中数据，求线性回归方程 axby ˆˆˆ ，并预测当 14x 时,对应的利润 yˆ 为多少
( ˆ ˆ ˆ, ,b a y 精确到 0.1)；
附参考公式:回归方程中 ˆˆ ˆy bx a 中 ˆb 和 ˆa 最小二乘估计分别为
1
2 2
1
ˆ
n
i i
i
n
i
i
x y nx y
b
x nx
, ˆˆa y bx ,
参考数据:
8 8
2
1 1
2 4 1, 3 5 6i i i
i i
x y x
.
x 2 3 4 5 6 8 9 11
y 1 2 3 3 4 5 6 8
M
- 5 -
（2）为了更好地完成任务，某宝电商决定让宣传部门的 3 名成员各自制定两个方案，从中任
选 2 个方案进行宣传，求这 2 个方案出自同一个人的概率。
20．（本小题 12 分）
己知一个动点 M 在圆 1622 yx 上运动，它与定点 8,0Q 所连线段的中点为 P 。
（1）求点 P 的轨迹方程；
（2）若点 P 的轨迹的切线在两坐标轴上有相等的截距，求此切线方程。
21．（本小题 12 分）
已知圆心为C 的圆经过点 (1, 1)A 和 (2, 2)B ，且圆心 C 在直线 : 1 0l x y 上
（1）求圆 C 的方程；
（2）已知直线 nxym ： 圆C 截得的弦与圆心构成 CDE ，若 CDE 的面积有最大值，
求出直线 nxym ： 的方程；若 CDE 的面积没有最大值，请说明理由。
22．（本小题 12 分）
如图甲，设长方形 ABCD 的边 3, 3AB BC ，点 E F、 分别满足
AE EB CF FD 2 2
， ，如图乙，将直角梯形 AEFD 沿直线 EF 折到 1 1A EFD 的位置。
（1）证明： 1 / /A E 平面 1CD F ；
- 6 -
（2）当二面角 1A EF C 为直二面角时，求多面体 1 1A EBD FC 的体积;
（3）若 FC 中点的G ，当 1A 在底面上的射影 H 恰好落在 EG 上，且 HGEH 2 时，求二面
角 1D FC B 所成角的余弦值．（如图丙）
答案
一、二、选择题：
三、填空题：
13.
3
14． 42 或b 15.
5
15 16. 2
3
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题 10 分）
解：（1）由 110030.0035.002.0005.0 ）（ x
∴ 01.0x ……………… 3 分
则满意度评分值在 100,90 的有 101001001.0 人 …………5 分
(2)这组数据的平均数为
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B C A D C C D B A D A C BC ABD
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771.0953.08535.0752.06505.055 ……………9 分
∵ 7577 ，故能够继续推行共享单车。 ……………10 分
18．（本小题 12 分）
证明：（1）连接 BDBM、
∵ ABCDPM 平面 ， ABCDBM 平面
∴ BMPM ………… 2 分
∵底面 ABCD是菱形且 60DAB ，
∴ ABD 是等边三角形，
又点 M 是 AD 的中点
∴ MADPMADBM 又, ………… 4 分
∴ PADBM 平面 ，又 PBMBM 平面
∴平面 PADPBM 平面 ； ………… 6 分
（2）法一：由（1）得 PMBMBMPM 且
∴ PBM 是等腰直角三角形
又 2 PDADPA ，∴ 6PB
在 PBD 中， 2 BDPD ，∴ PB 边上的高为
2
10
∴
2
15
2
1062
1 PBDS ………… 9 分
设点 PBDC到平面 的距离为 h ，由 BCDPPBDC VV ，
∴ PMSS BCDPBD 3
1h3
1
，
即 3)24
3(3
1h2
15
3
1 2
5
152h
，
所以三棱锥 PBDC 的高为
5
152
。
………… 12 分
z
- 8 -
法二：由（1）知 ADBM 且 ABCDPM 平面
为为坐标原点，以向量以 MPMBMAM ,, x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴建立空间直角
坐标系。
);0,3,2();0,3,0();0,0,0( CBM );3,0,0();,0,1( POD
)0,3,1();3,0,1();0,0,2( DBDPCB ………… 8 分
设平面 PBD 的一个法向量为 ),,( zyxn
0z3xn DP 且 0y3xn DB
令 3x ，得 ），，（ 1-1-3n ……… 10 分
5
152
5
32
n
nCBd 所以三棱锥的高为
5
152 ………… 12 分
19．（本小题 12 分）
解：（1） 4,6 yx …………2 分
8
1
8 22 2
1
8 24ˆ 1 8 6 4 49= 0.7356 8 6 688
i ii
ii
x y xy
b
x x
因为 4 0.7 6 0ˆˆ .2a y bx ,
所以回归直线方程为 0.7 .2ˆ 0y x , ………… 5 分
当 14x 时, 6.92.0147.0ˆ y ,
即利润约为 9.6 万元. ………… 6 分
（2）记 3 名成员的方案分别为 21,aa ； 21,bb ； 21,cc
y
x
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从中任选 2 个方案的基本事件含有： ),( 21 aa 、 ),( 11 ba 、 ),( 21 ba 、 ),( 11 ca 、 ),( 21 ca 、 ),( 12 ba 、
),( 22 ba 、 ),( 12 ca 、 ),( 22 ca 、 ),( 21 bb 、 ),( 11 cb 、 ),( 21 cb 、 ),( 12 cb 、 ),( 22 cb 、 ),( 21 cc
共 15 种。 ………… 10 分
其中这 2 个方案出自同一个人的基本事件含有 ),( 21 aa 、 ),( 21 bb 、 ),( 21 cc ，共 3 种。
5
1
15
3 p
。
答：这 2 个方案出自同一个人的概率为
5
1 ………… 12 分
20．（本小题 12 分）
解：（1）设 ,P x y ， 0 0,M x y ，根据中点公式得
0
0
8
2
0
2
xx
yy
，
解得 0
0
2 8
2
x x
y y
………… 2 分
由 2 2
0 0 16x y ，得 2 22 8 2 16x y
∴点 P 的轨迹方程是 2 24 4x y . ………… 5 分
（2）当切线在两坐标轴上截距均为 0 时，设切线 y kx ，由相切得 2
1
4
2
k
k
3
3k ,所以切线方程为 xy 3
3 , …………8 分
当切线在两坐标轴上截距相等且不为 0 时，设切线 0x y a a
由相切有 224,2
2
4
aa
，切线方程为 224 yx ………… 11 分
综上：切线方程为 xy 3
3 或 224 yx . ………… 12 分
21．（本小题 12 分）
解：（1）设圆的方程为 2 2 0x y Dx Ey F 因为点 (1, 1)A 和 (2, 2)B 在圆上，圆
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心C 在直线 : 1 0l x y 上，
所以
1 1 0
4 4 2 2 0
( ) 1 02 2
D E F
D E F
D E
，解得 6,E 4,F 12D ， …………3 分
所以圆的方程为 2 2 6 4 12 0x y x y ，即 2 23 2 25x y ………… 4 分
（2）设圆心 C 到直线 m 的距离为 h(h>0)，H 为 DE 的中点，连接 CH.
在△CDE 中，∵|DE|＝2 |CE|2－|CH|2＝2
225 h ，
∴△CDE 的面积为 S△CDE＝1
2|DE|·|CH|＝1
2·2
225 h ·h＝h·
225 h ……7 分
∴S△CDE＝ )25( 22 hh ≤ 2
25
2
25 22
hh
，
当且仅当 h2＝25－h2，即 h＝ 2
25
时等号成立，
此时△CDE 的面积取得最大值． ………9 分
∵CH＝ 11
n23
|3－2＋n|
1＋1
＝ 2
2 ·|n-1|＝h＝ 2
25
，
∴|n-1|＝5，∴n＝-4 或 n=6,故存在 n＝-4 或 n=6，使得△CDE 的面积最大，最大
值为 2
25
，此时直线 m 的方程为 y＝x-4 或 y＝x+6. ………… 12 分
22．（本小题 12 分）
解：
（1）证明：在图甲中，易知 ,从而在图乙中有 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ………… 3 分
- 11 -
（2）在图甲中，连 .AC EF O AEO CFO O EF AC 交 于 ，由 ，可得 为 、 中点
由勾股定理可得 ,AOE AC EF90 即 ，在图乙中有 , EFAO EF OC
1 1
1 1 1
,
, 3.
A EFD BCFE
AO BCFE O A EFD AO OC
平面 平面
平面 ，C 平面 且
在图甲中， 3,BCOES S 四 形 四 形A O FD
1 1 1 1 1
1 3 3 2 23A EBCFD A EBOC C A OFDV V V ………… 7 分
（3）方法一、由（1） 1 1 1 1/ / , / / ,A E D FC EB D FC A E EB E平面 同理 平面 又 ＝
1 1 1 1/ / , .A EB D FC D FC B A EB C 平面 平面 二面角 的平面角与 的平面角互补
1 1
1
1 1
1 1
, ,
, ,
.
A H EBCF A H EB
EB EH EH A H H
EB A EH EB EA
A EH A EB C
平面
又 且
平面
为二面角 的平面角，记为
在图甲中， EH OH AO Rt A OH A H1 1
2 3 3 2 2, , 3,3 3 3
中 ，
1
2 3
8 12 2 5 153, cos .9 9 3 52 5
3
EA
所求角的余弦值为 15
5
………… 12 分
方法二、
如图建立空间直角坐标系.
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1
1 1 1
2 2 2 3 3 3 3(0,0, ), ( ,0,0), ( , 1,0), ( ,1,0), ( ,0,0)3 3 3 3 3
1 1 2 3 2 2 2 3 2( ,0, ) ( ,1, )2 2 3 3 3 3
A E C F G
FD EA D
可得
记平面 1D FC 的一个法向量为 ( , , )n x y z
1
( , , ) (0, 1,0) 0
3 2 3 2( , , ) ( ,1, ) 03 3 3 3
n GC x y z y
n GD x y z x y z
记 61, (1,0, ) (0,0,1)2x n EBCF m ，又平面 的一个法向量为 …… 10 分
6(1,0, ) (0,0,1) 152cos , 561 0 14
n m
所求角的余弦值为 15
5
………… 12 分
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