资料简介
1
安徽省蚌埠第三中学 2020-2021 学年高二上学期期中考试数学试题
考试时间：120 分钟 试卷分值：150 分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分，将答案填在题后的表格中）
1. 如果一个几何体的正视图是矩形，则这个几何体不可能是( )
A. 棱柱 B. 棱台 C. 圆锥 D. 圆柱
2. 若空间两个角
与
的两边对应平行，当
㌳䁠
时，则
等于( )
A.
䁠
B.
䁠
或
′䁠
C.
㌳䁠
D.
㌳䁠
或
′䁠3. 已知一个正三棱锥的高为 3，如图是其底面用斜二测画法所画出的水平放置
的直观图，其中
̵̵ ̵ൌ̵
，则此三棱锥的体积为( )
A.
B.
C.
D.
4. 已知三角形的三个顶点
y′sr
，
ys ㌳r
，
ൌys′r
，则过 A 点的中线长为( )
A.
䁠
B.
′ 䁠
C.
′
D.
䁠5. 已知某几何体的三视图如图所示，其正视图与侧视图都是边长为 1 的正三角形，俯视图为正方形，则
该几何体的表面积是( )
A. 1
B. 2
C.
D. 3
6. 设 l，m 是两条不同的直线，
是一个平面，则下列命题正确的是( )
A. 若
，
，则
B. 若
，
，则
ᦙᦙC. 若
ᦙᦙ
，
，则
ᦙᦙ
D. 若
ᦙᦙ
，
ᦙᦙ
，则
ᦙᦙ7. 已知点
yܽs′ryܽ 䁠r
到直线
䁠
的距离为 1，则 a 的值为( )
A.
′
B.
′ ′
C.
′
D.
′ 8. 下列命题是公理的是( )
A. 平行于同一个平面的两个平面互相平行
B. 垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
D. 空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
9. 如果两个球的体积之比为
′
，那么两个球的表面积之比为( )
2
A.
′
B.
′
C.
D.
′ 10. 已知直线 l 过点
y s r
，
y′sr
两点，若直线 l 的倾斜角是
′
，则
( )
A.
′
B. 0 C.
′
D.
11. 如图所示，在正方体
ൌܥ ൌܥ
中，E，F 分别是
，
ൌ
的中点，
则异面直线 EF 与
ൌܥ
所成的角为( )
A.
䁠
B.
C.
㌳䁠
D.
䁠12. 若圆心坐标为
y′s r
的圆被直线
䁠
截得的弦长为
′ ′
，则圆的方
程为( )
A.
y ′r
′
y r
′
B.
y ′r
′
y r
′
′C.
y ′r
′
y r
′
D.
y ′r
′
y r
′
㌳题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）
13. 直线
䁠
的倾斜角为______．
14. 用一个平面去截半径为 5cm 的球，截面面积是
′
.
则球心到截面的距离为_______cm．
15. 已知直线
：
ܽ ܽ 䁠
，
′
：
y′ܽ r ܽ ܽ 䁠
，互相平行，则 a 的值是______．
16. 如图所示，在三棱锥
ൌܥ
中，E，F，G，H 分别是棱 AB，BC，CD，DA 的中点，则当 AC，BD
满足条件______时，四边形 EFGH 是正方形．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）
17. （10 分）如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO 底面 ABCD，E 是 PC 的中点。求证：
yrሻᦙᦙ
平面 BDE
y′r
平面 PAC 平面 BDE
3
18.（10 分）已知直线 l 的方程为
䁠
.
yr
求过点
y ′s′r
且与直线 l 垂直的直线方程；
y′r
求与直线 l 平行且距离为 2 的直线方程．
19.（12 分）如图，在正三棱柱
ൌ ൌ
中，点 D 在边 BC 上，
ܥ ൌܥ
．
yr
求证：
ܥ
平面
ൌൌ
y′r
若点 E 为
ൌ
的中点，求证：平面
ᦙᦙ
平面
ܥൌ
.
20.（12 分）已知圆 C 经过
ys′r
、
ys㌳r
，且圆心在直线
′
上．
(1) 求圆 C 的方程．
y′r
若直线 l 经过点
ሻy sr
与圆 C 相切，求直线 l 的方程．
4
21.（12 分）已知曲线 C：
′
′
′ 䁠
表示圆，圆心为 C．
yr
求实数 m 的取值范围；
y′r
若曲线 C 与直线
′ 䁠
交于 M、N 两点，且
ൌ ൌ
，求实数 m 的值．
22.（14 分）如图所示，正方形 ABCD 与直角梯形 ADEF 所在平面互相垂直，
ܥ 䁠
∘，
oᦙᦙܥ
，
ܥ ܥ ′o ′
．
yr
求证：
ൌ
平面 BDE；
y′r
求证：
ൌᦙᦙ
平面 BEF；
yr
若 AC 与 BD 相交于点 O，，求四面体 BOEF 的体积．
5
高二数学答案
1. C 2. D 3. A 4. B 5. D 6. B 7. C
8. C 9. C 10. A 11. C 12. A
13.
14. 4cm
15.
16.
ൌ ܥ
且
ൌ ܥ17. 证明：
yr
连接 OE，
是 AC 的中点，E 是 PC 的中点，
ᦙᦙሻ
，
又
平面 BDE，
ሻ
平面 BDE，
ሻᦙᦙ
平面 BDE；
y′r ሻ
底面 ABCD，
ሻ ܥ
，
又
ൌ ܥ
，且
ൌ ሻ
，
ܥ
平面 PAC，
ܥ
平面 BDE，
平面
ሻൌ
平面 BDE．
18. 解：
yr
设与直线 l：
䁠
垂直的直线方程为
䁠
，
把点
y ′s′r
代入，得：
㌳ 䁠
，解得
′
，
过点
y ′s′r
且与直线 l 垂直的直线方程为：
′ 䁠
．
y′r
设与直线 l 平行且距离为 2 的直线方程为
䁠
，
则
㌳ ′
，
解得
或
′
．
与直线 l 平行且距离为 2 的直线方程为
′ 䁠
或
䁠
．
19.
yr
因为正三棱柱
ൌ ൌ
所以
ൌൌ
平面 ABC ，
因为
ܥ
平面 ABC 所以
ൌൌ ܥ
，
因为
ܥ ൌܥ
，
ൌൌ ൌܥ ൌ
，
ൌൌ
平面
ൌൌ
，
ൌܥ
平面
ൌൌ
，
所以
ܥ
平面
ൌൌ
，
y′r
由
yr
知
ܥ
平面
ൌൌ
，
ൌ
平面
ൌൌ
，
所以
ܥ ൌ
，
因为正三棱柱
ൌ ൌ
，
所以
ൌ
为正三角形 ，
所以
ൌ
所以
ܥ ൌܥ
，
因为正三棱柱
ൌ ൌ
，
所以
ൌ ൌ
，
ൌᦙᦙൌ
，
因为
ൌ
，
所以
ܥ ൌ
，
ܥᦙᦙൌ
，
所以四边形
ൌൌൌ
是平行四边形，
所以
ᦙᦙܥൌ
，
因为
ܥൌ
平面
ܥൌ
，
平面
ܥൌ
，
所以
ᦙᦙ
平面
ܥൌ
，
因为正三棱柱，
所以
ᦙᦙ
，
．
ൌൌᦙᦙ
，
ൌൌ .
，
因为
ܥ ൌܥs ൌ
，
6
所以
ܥᦙᦙsܥ
，
所以
ܥᦙᦙsܥ
，
所以四边形
ܥ
是平行四边形 ，
所以
ᦙᦙܥ
，
因为
平面
ܥൌ
，
ܥ
平面
ܥൌ
所以
ᦙᦙ
平面
ܥൌ
，
因为
，
所以平面
ᦙᦙ
平面
ܥൌ
．
20. 解：
yr
圆心在直线
′
上，
故可设圆心
ൌyܽs′ܽr
，半径为 r，
则圆 C 的标准方程为
y ܽr
′
y ′ܽr
′
′
，
圆 C 经过
ys′r
、
ys㌳r
，
y ܽr
′
y′ ′ܽr
′
′
y ܽr
′
y㌳ ′ܽr
′
′
，
解得
ܽ ′
，
，
圆 C 的标准方程为
y ′r
′
y r
′
y′r
由
y
Ⅰ
r
知，圆 C 的圆心为
ൌy′sr
，半径
，
直线 l 经过点
ሻy sr
，
若直线斜率不存在，
则直线 l：
．
圆心
ൌy′sr
到直线 l 的距离为：
ሻ
，故直线与圆相交，不符合题意，
若直线斜率存在，设斜率为 k，
则直线 l：
y r
，
即
䁠
，
圆心
ൌy′sr
到直线 l 的距离为：
′
′
′
，
直线与圆相切，
，即
′
，
y r
′
′
，
解得
′
或
′
，
直线 l 的方程为
′ 䁠
或
′ 䁠
．
21. 解：
yr
由
ܥ
′
′
o ㌳ ′䁠 䁠
，得
ሻ
．
y′r
由题可知
ൌ
的圆心为
ൌys′r
，半径
C 到直线
′ 䁠
的距离
ൌ ൌ ′即
䁠
，解得
′
，满足
ሻ
，
故
′
．
22. 解：
yr
面
ൌܥ
面
ܥo ܥ
面
ൌܥ ܥ ൌ
，
ൌ ܥ
ൌ ܥ ൌ
面 BDE
y′r
取 EB 中点 G ，连 FG ，
ൌᦙᦙo쳌 ൌᦙᦙ
面 EFB．
yr
平面
ൌܥ
平面 ADEF，
ܥ
，
平面
ܥo.
因为
oᦙᦙܥ
，
ܥ 䁠
，
ܥ ܥ ′o ′
，
ܥo
的面积为
ܥo
′ ܥ ܥ ′
，
四面体 BDEF 的体积
ܥo
又因为 O 是 BD 中点，所以
o
′ o
′
o
′
.
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