资料简介
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安徽省滁州市定远县重点中学 2020-2021 学年高二 10 月月考
数学（文）试题
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
1.某中学举办电脑知识竞赛，满分为 100 分，80 分以上为优秀(含 80 分)，现将高一两个班参赛学
生的成绩进行整理后分成五组：第一组[50,60)，第二组[60,70)，第三组[70,80)，第四组[80,90)，第
五组[90,100]，其中第一、三、四、五小组的频率分别为 0.30,0.15,0.10,0.05，而第二小组的频数是
40，则参赛的人数以及成绩优秀的概率分别是( )
A． 50,0.15 B． 50,0.75 C． 100,0.15 D． 100,0.75
2.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分).已知甲
组数据的中位数为 106，乙组数据的平均数为 105.4，则 x，y 的值分别为( )
A． 5,7 B． 6,8 C． 6,9 D． 8,8
3.已知底面为正方形，侧棱相等的四棱锥 S－ABCD 的直观图和正视图如图所示，则其侧视图的面
积为( )
A． B． C． 2 D． 2
4.已知 x 与 y 之间的几组数据如下表：
假设根据上表数据所得线性回归方程为 ＝ x＋ .若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求
得的直线方程为 y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是( )
A． ＞b′， ＞a′ B． ＞b′， ＜a′ C． ＜b′， ＞a′ D． ＜b′， ＜a′
5.如图，已知曲线 C1：y＝ ，曲线 C2 和 C3 是半径相等且圆心在 x 轴上的半圆.在曲线 C1 与 x
轴所围成的区域内任取一点，则所取的点来自于阴影部分的概率为( )
2
A． B． C． D．
6.已知直线 y＝x＋b 在 x 轴上的截距在[－2,3]范围内，则直线在 y 轴上的截距 b 大于 1 的概率是
( )
A． B． C． D．
7.如图，圆周上的 6 个点是该圆周的 6 个等分点，分别连接 AC，CE，EA，BD，DF，FB，向圆内
部随机投掷一点，则该点不落在阴影部分内的概率是( )
A． 1－ B． C． 1－ D．
8.运行下面的程序，当输入 n＝123 和 m＝288 时，输出结果是( )
A． 2 B． 3 C． 4 D． 7
9.在空间中，α表示平面，m，n 表示两条直线，则下列命题中错误的是( )
A． 若 m∥α，m，n 不平行，则 n 与α不平行
B． 若 m∥α，m，n 不垂直，则 n 与α不垂直
C． 若 m⊥α，m，n 不平行，则 n 与α不垂直
D． 若 m⊥α，m，n 不垂直，则 n 与α不平行
10.如图，在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，D 为 A1B1 的中点，AB＝BC＝2BB1＝2，AC＝2 ，则异面
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直线 BD 与 AC 所成的角为( )
A． 30° B． 45° C． 60° D． 90°
11.已知直线(1＋k)x＋y－k－2＝0 恒过点 P，则点 P 关于直线 x－y－2＝0 的对称点的坐标是( )
A． (3，－2) B． (2，－3) C． (1，－3) D． (3，－1)
12.如图，四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PD⊥平面 ABCD，且 PD＝AD＝1，AB＝2，
点 E 是 AB 上一点，当二面角 P－EC－D 为 45°时，AE 等于( )
A． 1 B． C． 2－ D． 2－
二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.已知直线 ax＋y－2＝0 与圆心为 C 的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4 相交于 A，B 两点，且△ABC 为等边
三角形，则实数 a＝________.
14.设直线 l 过点 A(2,4)，它被平行线 x－y＋1＝0 与 x－y－1＝0 所截的线段的中点在直线 x＋2y－3
＝0 上，则 l 的方程是________．
如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，有下面结论：
①AC∥平面 CB1D1；
②AC1⊥平面 CB1D1；
③AC1 与底面 ABCD 所成角的正切值是 ；
④AD1 与 BD 为异面直线.其中正确的结论的序号是________.
16.今年一轮又一轮的寒潮席卷全国．某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量 y(件)与月平均气温
x(℃)之间的关系，随机统计了某 4 个月的月销售量与当月平均气温，数据如下表：
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由表中数据算出线性回归方程中的 ＝ x＋ 中的 ≈－2.气象部门预测下个月的平均气温约为 6℃，
据此估计，该商场下个月毛衣的销售量的件数约为________．
三、解答题(共 6 小题,共 70 分)
17.（10 分）通过市场调查，得到某种产品的资金投入 x 万元与获得的利润 y 万元的数据，如表所
示：
(1)根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归方程；
(2)现投入资金 10 万元，求获得利润的估计值为多少万元？
(参考公式： ＝ ， ＝ － )
18.（12 分）如图，在三棱锥 ABCD 中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面 ABD⊥平面 BCD，点 E，F(E 与
A，D 不重合)分别在棱 AD，BD 上，且 EF⊥AD.
求证：(1)EF∥平面 ABC；
(2)AD⊥AC.
19.（12 分）已知直线 l：y＝4x 和点 P(6,4)，点 A 为第一象限内的点且在直线 l 上，直线 PA 交 x 轴
的正半轴于点 B，
(1)当 OP⊥AB 时，求 AB 所在直线的方程；
(2)求△OAB 面积的最小值，并求当△OAB 面积取最小值时点 B 的坐标．
20.（12 分）如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中．
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(1)求 A1C1 与 B1C 所成角的大小；
(2)若 E，F 分别为 AB，AD 的中点，求 A1C1 与 EF 所成角的大小．
21.（12 分）已知圆 C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0 与圆 C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0 相交于 A、B 两
点．
(1)求公共弦 AB 的长；
(2)求圆心在直线 y＝－x 上，且过 A、B 两点的圆的方程；
(3)求经过 A、B 两点且面积最小的圆的方程．
22.（12 分）如图所示，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 a 的菱形，∠DAB＝60°，侧
面 PAD 为等边三角形，其所在平面垂直于底面 ABCD.
(1)求证：AD⊥PB；
(2)若 E 为 BC 边上的中点，能否在棱 PC 上找到一点 F，使平面 DEF⊥平面 ABCD？并证明你的结
论．
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答案解析
CBACB AABAC DD
1.【答案】C
【解析】由已知得第二小组的频率是 1－0.30－0.15－0.10－0.05＝0.40，频数为 40，
设共有参赛学生 x 人，则 x×0.4＝40，∴x＝100.
成绩优秀的概率为 0.15，故选 C.
2.【答案】B
【解析】∵甲组数据的中位数为 106，
∴x＝6.
又∵乙组数据的平均数为 105.4，
∴ ＝105.4，
解得 y＝8.
综上，x，y 的值分别为 6,8.故选 B.
3.【答案】A
【解析】由题意，侧视图与正视图是全等的三角形，面积为×2× ＝ .
4.【答案】C
【解析】由(1,0)，(2,2)求 b′，a′.
b′＝ ＝2，a′＝0－2×1＝－2.
求 ， 时， iyi＝0＋4＋3＋12＋15＋24＝58，
＝ ， ＝ ，
＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91，
∴ ＝ ＝ ，
＝ － × ＝ － ＝－ ，
∴ ＜b′， ＞a′.
5.【答案】B
【解析】曲线 C1：y＝ 是圆(x－1)2＋y2＝1 在 x 轴上方的一半，面积为 π.
C2，C3 是以 为半径的半圆，所以阴影部分的面积为
π 2＝ ，
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所以所取的点来自阴影部分的概率为 P＝ ＝ .
故选 B.
6.【答案】A
【解析】由题意知 b∈[－3,2]，所以 P(截距 b 大于 1)＝ ＝ .
7.【答案】A
【解析】设圆的半径为 1，则正六边形 ABCDEF 的边长为 1，其面积为 ，
如图将整个正六边形割成了 3×6＝18 个小三角形，那么整个阴影部分的面积是正六边形的面积的
＝ ，故 S 阴影＝ × ＝ ，圆的面积为 S 圆＝π.故向圆内部随机投掷一点，该点不落在阴影部分
内的概率是 1－ .
故选 A.
8.【答案】B
【解析】由辗转相除法可得．
9.【答案】A
【解析】对于 A，若 m∥α，m，n 不平行，则 n 与α可能平行、相交或 n⊂α，故不正确．故选 A.
10.【答案】C
【解析】如图，取 B1C1 的中点 E，连接 BE，DE，
则 AC∥A1C1∥DE，
则∠BDE 即为异面直线 BD 与 AC 所成的角．
由条件可知 BD＝DE＝EB＝ ，
所以∠BDE＝60°.
11.【答案】D
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【解析】由直线(1＋k)x＋y－k－2＝0 化为 k(x－1)＋(x＋y－2)＝0，
令 解得
于是此直线恒过点 P(1,1)．
设点 P 关于直线 x－y－2＝0 的对称点为 P′(m，n)，
则 解得
∴P′(3，－1)．故选 D.
12.【答案】D
【解析】过点 D 作 DF⊥CE 于点 F，连接 PF，
因为 PD⊥平面 ABCD，所以 DF 是 PF 在平面 ABCD 内的投影，
因为 DF⊥CE，所以 PF⊥CE，
可得∠PFD 为二面角 P－EC－D 的平面角，
即∠PFD＝45°.
在 Rt△PDF 中，PD＝DF＝1，
因为在矩形 ABCD 中，△EBC∽△CFD，
所以 ＝ ，
得 EC＝ ＝2.
在 Rt△BCE 中，根据勾股定理，
得 BE＝ ＝ ，
所以 AE＝AB－BE＝2－ ，故选 D.
13.【答案】4±
【解析】圆心 C(1，a)到直线 ax＋y－2＝0 的距离为 .因为△ABC 为等边三角形，所以|AB|＝
|BC|＝2，所以( )2＋12＝22，解得 a＝4± .
14.【答案】3x－y－2＝0
【解析】到平行线 x－y＋1＝0 与 x－y－1＝0 距离相等的直线方程为 x－y＝0.
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联立方程组 解得
∴直线 l 被平行线 x－y＋1＝0 与 x－y－1＝0 所截的线段的中点为(1,1)．
∴直线 l 的两点式方程为 ，
即 3x－y－2＝0.
16.【答案】46
【解析】由表格得( ， )为(10,38)，
又( ， )在线性回归方程 ＝ x＋ 上且 ≈－2，
∴38＝10×(－2)＋ ，
解得 ＝58，
∴ ＝－2x＋58.
当 x＝6 时， ＝－2×6＋58＝46.
17.【答案】(1) ＝ ＝4，
＝ ＝5.
＝ ＝ ＝1.7，
＝ － ＝5－1.7×4＝－1.8，
所以线性回归方程为 ＝1.7x－1.8.
(2)当 x＝10 万元时， ＝1.7×10－1.8＝15.2(万元)．
18.证明 (1)在平面 ABD 内，
因为 AB⊥AD，EF⊥AD，
则 AB∥EF.
又因为 EF⊄ 平面 ABC，AB⊂平面 ABC，
所以 EF∥平面 ABC.
(2)因为平面 ABD⊥平面 BCD，
平面 ABD∩平面 BCD＝BD，BC⊂平面 BCD，BC⊥BD，
所以 BC⊥平面 ABD.
因为 AD⊂平面 ABD，所以 BC⊥AD.
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又 AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面 ABC，
BC⊂平面 ABC，
所以 AD⊥平面 ABC.
又因为 AC⊂平面 ABC，
所以 AD⊥AC.
19.解 (1)∵点 P(6,4)，∴kOP＝ .
又∵OP⊥AB，∴kAB＝－ .
∵AB 过点 P(6,4)，∴直线 AB 的方程为 y－4＝－ (x－6)，化为一般式可得 3x＋2y－26＝0.
(2)设点 A(a,4a)，a>0，点 B 的坐标为(b,0)，b>0，当直线 AB 的斜率不存在时，a＝b＝6，此时
△OAB 的面积 S＝ ×6×24＝72.当直线 AB 的斜率存在时，
有 ＝ ，解得 b＝ ，
故点 B 的坐标为 ，故△OAB 的面积 S＝ · ·4a＝ ，即 10a2－Sa＋S＝0.①
由题意可得方程 10a2－Sa＋S＝0 有解，
故判别式Δ＝S2－40S≥0，∴S≥40，
故 S 的最小值为 40，此时①为 a2－4a＋4＝0，解得 a＝2.
综上可得，△OAB 面积的最小值为 40，
当△OAB 面积取最小值时，点 B 的坐标为(10,0)．
20.解 (1)如图所示，连接 AC，AB1.
由六面体 ABCD－A1B1C1D1 是正方体知，四边形 AA1C1C 为平行四边形，
∴AC∥A1C1，从而 B1C 与 AC 所成的角就是 A1C1 与 B1C 所成的角．
在△AB1C 中，由 AB1＝AC＝B1C，
可知∠B1CA＝60°，
即 A1C1 与 B1C 所成的角为 60°.
(2)如图所示，连接 BD.
由(1)知 AC∥A1C1，
∴AC 与 EF 所成的角就是 A1C1 与 EF 所成的角．
∵EF 是△ABD 的中位线，∴EF∥BD.
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又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，∴EF⊥A1C1，
即 A1C1 与 EF 所成的角为 90°.
21.【答案】(1)由两圆方程相减即得 x－2y＋4＝0，
此为公共弦 AB 所在的直线方程．
圆心 C1(－1，－1)，半径 r1＝ .
C1 到直线 AB 的距离为 d＝ ＝ ，
故公共弦长|AB|＝2 ＝2 .
(2)圆心 C2(1，－5)，过 C1，C2 的直线方程为 ＝ ，即 2x＋y＋3＝0.
由 得所求圆的圆心为(－3,3)．
它到 AB 的距离为 d＝ ＝ ，
∴所求圆的半径为 ＝ ，
∴所求圆的方程为(x＋3)2＋(y－3)2＝10.
(3)过 A、B 且面积最小的圆就是以 AB 为直径的圆，
由
得圆心(－2,1)，半径 r＝ .
∴所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝5.
22.【答案】(1)证明 设 G 为 AD 的中点，连接 PG，BG，BD，如图．
因为△PAD 为等边三角形，
所以 PG⊥AD.
在菱形 ABCD 中，∠DAB＝60°，所以△ABD 为等边三角形，
又因为 G 为 AD 的中点，所以 BG⊥AD.
又因为 BG∩PG＝G，BG，PG⊂平面 PGB，
所以 AD⊥平面 PGB.
因为 PB⊂平面 PGB，所以 AD⊥PB.
(2)解 当 F 为 PC 的中点时，满足平面 DEF⊥平面 ABCD.
如图，设 F 为 PC 的中点，则在△PBC 中，EF∥PB.
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在菱形 ABCD 中，GB∥DE，而 PB∩GB＝B，EF∩DE＝E，PB，GB⊂平面 PGB，EF，DE⊂平面
DEF，
所以平面 DEF∥平面 PGB，由(1)得，PG⊥AD，又因为平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD∩平面
ABCD＝AD，PG⊂平面 PAD，所以 PG⊥平面 ABCD，而 PG⊂平面 PGB，
所以平面 PGB⊥平面 ABCD，所以平面 DEF⊥平面 ABCD.
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