资料简介
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A B CDA1 D1 C1B1P
池州一中 2020-2021 学年第一学期高二年级九月考
数 学 试 卷 （理科）
(考试时间：120 分钟 满分：150 分)
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。每小题只有一个正确答案，请把正
确答案涂在答题卡上）
1．在下列命题中，不是公理的是（ ）
A．平行于同一条直线的两条直线互相平行
B．空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两角相等或互补
C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
2．已知 a、b 是两条平行直线，且 a∥平面β，则 b 与β的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交
C．b 在平面β内 D．平行或 b 在平面β内
3．把 3个半径为 R 的铁球熔成一个底面半径为 R 的圆柱，则圆柱的侧面积为
A． 22 R B． 24 R C． 26 R D． 28 R
4．在空间四边形 ABCD中， AB AD ， BC CD ，则 AC 与 BD 所成的角为（ ）
A．90o B． 60o ； C． 45o D． 30o
5．设 ,m n 是两条不同的直线， , 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若 m n ， //n ，则 m B．若 //m ， 则 m
C．若 , ,m n n 则 m D．若 m n ， n ， ，则 m
6．已知圆锥的全面积是底面积的 3倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是（ ）
A． 0120 B． 0150 C． 0180 D． 0240
7．在 ABC 中， 6AB ， 8BC ， 10AC ， ABC 所在平面外一点 P 到 A 、 B 、C 的
距离都为13 ，则 P 到平面 ABC 的距离为（ ）
A．12 B．11 C．10 D．8
8．将边长为 a 的正方形 ABCD沿对角线 AC 折起，使得 BD a ，则三棱锥 D ABC 的体
积为（ ）
A． 31
6 a B． 31
12 a C． 33
12 a D． 32
12 a
9．如图，在棱长为 1 的正方体中 ABCD－A1B1C1D1，点 P 在线段 AD1 上运动，则下列命题错
误的是( )
- 2 -
A．异面直线 C1P 和 CB1 所成的角为定值
B．直线 CD 和平面 BPC1 平行
C．三棱锥 D－BPC1 的体积为定值
D．直线 CP 和平面 ABC1D1 所成的角为定值
10．如图，在平面四边形 ABCD中，AB BC ，AD CD ， 120BAD ， 2AB AD ．
若点 E 为边 CD 上的动点，则 EA BE
uur uur
的最大值为
A． 25
4
B． 6
C． 21
4
D． 9
2
11．在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若
C
c
B
b
A
a
cos4cos3cos2
，
则 （ ）
A． 3
35 B． 4
35 C． 1
7 D． 6
35
12．设 A ， B ，C ， D 是同一个半径为 2 的球的球面上四点， 2, DAABCDA 平面 ，
60BAC ，则三棱锥 D ABC 体积的最大值为 .
A． 3
2 B． 3 3
2 C． 5 3
2 D． 7 3
2
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．一个水平放置的平面图形，其斜二测直观图是一个等腰梯形，
其底角为 45°，腰和上底均为 1．如图，则平面图形的实际面
积为______________．
14．在 ABC 中， ,4,6 BCAB 边 AC 上的中线长为 10 ，则 BABC
.
15．直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 090BCA ， D 、 F 分别是 1 1A B 、 1 1AC 中点，若
1BC CA CC ，则异面直线 BD 与 AF 所成的角的余弦值为 .
16．已知三棱锥 ABCP 的四个顶点在球 O 的球面上， 3 PCPBPA ， ABC 是正
三角形， NM , 分别是 PA，AB 的中点， 90CMN ，则球 O 的表面积为 .
三、解答题
17．（本题满分 10 分）
如图，直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， D ， E 分别是 AB ， 1BB 的中点．
（Ⅰ）证明： 1BC ∥平面 1ACD ；
- 3 -
（Ⅱ）设 1 2AA AC CB ， 32AB ，求三棱锥 1C A DE 的体积．
18．（本题满分 12 分）
在锐角 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 3,3 22 abccba 且 .
（Ⅰ）求角 A.
（Ⅱ）求 bc 3 的取值范围.
19．（本题满分 12 分）
从一张半径为 3 米的圆形铁皮中裁剪出一块扇形铁皮（如图 1 阴影部分），并卷成一个深
度为 h 米的圆锥筒（如图 2），若所裁剪的扇形铁皮的圆心角为 2
3 rad .
（1）求圆锥筒的容积；
（2）在（1）中的圆锥内有一个底面圆半径为 x 米的内接圆柱（如图 3），求内接圆柱侧面积
最大时 x 的值.
20．（本题满分 12 分）如图，四棱锥 P ABCD 中， AP PCD 平面 ， AD BC∥ ，
1 , ,2AB BC AD E F 分别为线段 ,AD PC 的中点.
（Ⅰ）求证： AP BEF∥平面 ；
（Ⅱ）求证： BE PAC 平面 .
A1 C1A CBD E B1
- 4 -
21．（本题满分 12 分）
如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形．已知 42 ADABPA ，
52PD ， 60PAB ∠ ．
（1）证明： AD 平面 PAB ；
（2）求直线 PC 与平面 ABCD所成的角的正弦值；
22．（本题满分 12 分）
在底面是菱形的四棱锥 P-ABCD 中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝ 2a，点 E
在 PD 上，且 PE：ED＝2：1
（1）点 F 在棱 PC 上且 BF∥平面 AEC，求线段 CF 的长度；
（2）在（1）的条件下，求点 F 到平面 ACE 的距离.
AB C DP
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池州一中 2020-2021 学年第一学期高二年级九月考
数 学 试 卷 （理科）答 案
一、选择题：
1．B . 2.D． 3.D． 4．A． 5.C． 6.Ｃ． 7．Ａ． 8.Ｄ． 9.D． 10.C． 11.B．12.B．
二．填空题
13. 22 . 14. 6 . 15.
10
30 . 16. 9
三、解答题
17. 【解析】：
（Ⅰ）连接 点，于交 OCAAC 11 连接 OD .
因为四边形 11AACC 为矩形，所以O 为 的中点，1AC
又因为 D 是 AB 的中点.
所以 1 ODBC ∥ ，又因为 1 1 1A A 平面 OD 平面BC CD, CD
所以 1BC ∥平面 1ACD ……………………………………………… 分5
（ Ⅱ ） 因 为 1 ,AA ABC CD ABC 平面 平面 ， 所 以 1AA CD ， 又 因 为
BDADBCAC ,
所以 AB CD ，又因为 DEAABAAAABAA 111 ,, 平面
所以 1CD DE 平面A ……………………………………… 分7
又因为 1,2
33
1
CDS DEA ，
所以三棱锥 1C A DE 的体积
2
3
3
1
1
CDSV DEA …………………………… 分10
18.【解析】：（Ⅰ）因为 3,3 22 abccba ，
所以
2
3
2
3
2cos
22222
bc
cb
bc
acbA ，所以
6
A ………………………… 分6
（Ⅱ ）因为 ,3a 6
A ，所以 32sinsinsin
C
c
B
b
A
a ，
所以 BbCc sin32,sin32
所以 BBBCbc sin326sin6sin32sin63
3sin32cos3sin3 BBB ………………………… 分9
A1 C1
A
C
B
D
E
B1
- 6 -
因为 ABC 为锐角三角形，所以
2,3
B ……………………… 分10
所以 bc 3 的取值范围为 33， ………………………………… 分12
19.【解析】：（Ⅰ）设圆锥的底面半径为 r ，母线长为l
所以 33
232
1 2 rl ，因为 3l ，所以 1r ，圆锥筒的容积为
3
22 ………… 分6
（Ⅱ ）设圆柱的高为 ,d 因为圆锥的高 22h ， 1r ， h
dh
r
x
所以 xd 122 ，圆柱的侧面积 xxxdS 1242 侧面积
当 时，
2
1x 圆柱的侧面积 侧面积S 取最大值，最大值为 2 ……………… 分12
20.【解析】（Ⅰ）设 AC BE O ，连结 OF，EC，
由于 E 为 AD 的中点， 1 , / /2AB BC AD AD BC ，
所以 / / ,AE BC AE AB BC ,
因此四边形 ABCE 为菱形，所以 O 为 AC 的中点，
又 F 为 PC 的中点，
因此在 PAC 中，可得 / /AP OF ．………… 分4
又OF 平面 BEF ， AP 平面 BEF ，所以 AP ∥平面 BEF ．……………… 分6
（Ⅱ）由题意知， / / ,ED BC ED BC ，所以四边形 BCDE 为平行四边形，
因此 / /BE CD ．又 AP 平面 PCD，所以 AP CD ，因此 AP BE ．………… 分8
因为四边形 ABCE 为菱形，所以 BE AC ．………………………………………… 分10
又 AP AC A ，AP，AC 平面 PAC，所以 BE 平面 PAC ．…………………… 分12
21.【解析】
（1）因为底面 ABCD 是矩形，所以 AD AB ，
又因为 5224 PDADPA ，， ，
所以 222 PDADPA ，即 AD PA
又 AP AB A ， PABABPA 平面, ，
所以 AD 平面 PAB ． …………………… 分6
（2）设 AB 的中点为 O 点，连接 OCPO, ，因为 ,ABPA 60PAB ∠
所以 PAB 为正三角形， PO AB …………………………………………………… 分8
又 AD 平面 PAB ， PABPO 平面 ，所以 PO AD
又 AD AB A ， ABCDABAD 平面, ，所以 ABCDPO 平面
所以 PCO 为直线 PC 与平面 ABCD所成的角…………………………………… 分10
又 52,22,32 PCOCPO ，所以
5
15sin PCO
A
B C
D
P
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即线 PC 与平面 ABCD所成的角的正弦值为
5
15 .……………………………… 分12
22.【解析】
（1）设 PE 的中点为 M 点，连接 MB ,在连接 MFOEOACBD ,点，连接于交
因为四边形 ABCD为菱形，所以 ODOB ，又 MEMP
所以 BM ∥ OE ，又 AECOEAECBM 平面平面 ,
所以 BM ∥ AEC平面 ，又 BF ∥ AEC平面 ， BMFBFBMBBFBM 平面 ,,
所以 BMF平面 ∥ AEC平面 ，又 BMFMF 平面
所以 MF ∥ AEC平面 ，又 CEAECPCDPCDMF 平面平面平面 ,
所以 MF ∥CE ， F 为 PC 的中点， aPCCF 2
2
2
1 …………………… 分6
（2）因为 BF ∥ AEC平面 ，所以 FB, 两点到平面 AEC 的距离相等
设 F 点到平面 AEC 的距离为 h …………………………………………… 分7
因为 aPDPBaADABPA 2,
所以 ADPAABPA , ，又 ABCDADPAAADPA 平面 ,,
所以 ABCDPA 平面 ……………………………………………………………… 分8
又 aCEaAEaAC 3
22,3
5, ，所以 2
3
1 aS ACE ……………………… 分10
所以 ABCPABCEACEB VVV
3
1 即 ABCACE SPASh
9
1
3
1
即 2
2
4
3
933
1 aaah 即 ah 4
3 ……………………………………………… 分12
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