资料简介
7.4 ”综合与实践•排队问题”导学案
学习目标：
1 .初步学会排队问题中从数学角度发现问题和提出问题， 并综合运用不等式 和数据统
计的相关知识和方法解决问题，增强应用意识，提高实践能力。
2.在与他人合作交流过程中，能较好地理解他人的思考方法和结论， 并能针 对他人提出
问题进行反思，初步形成评价和反思的意识。
问题1:阅读教科书第38页至40页，说说你对排队问题有怎样的感受。如果你 是一名“排队者”，
什么样的状况让你最不满意？什么样的状况让你最满意？如 果你是服务机构你会为了所有顾客都
满意而大量设置服务窗口吗？
问题 2:各学习小组讨论服务机构应怎样设置窗口，才能使服务机构与顾客都满
问题 3:某服务机构开设了一个窗口办理业务，并按顾客“先到达，先服务”的
方式服务，该窗口每 2min 服务一位顾客。已知当窗口开始工作时，已经有 6 位 顾客在等待，
在窗口开始工作 1min 后，又有一位“新顾客”到达，且预计以后 每 5min 都有一位“新顾客”
到达。
(1)设 ei,e 2,…,e 6 表示当窗口开始工作时已经在等待的 6 位顾客，ci,c 2,…,c n 表示在窗口开
始工作以后，按先后顺序到达的“新顾客”，请将下面表格补充完 整(这是假设 巳鸟,…,e6 的到
达的时间为 0)
顾客 ei e2 e3 e4 e e6 Ci C2 C3 C4 C5 C6 …
到达时间/min 0 0 0 0 0 0 1 …
服务开始时间
/min
0 2 4 …
服务结束时间
/min
2 4 6 …
(2)下面表格表示每一位顾客得到服务之前所需等待的时间， 试将表格补充完整
顾 客 e1 e2 e3 e4 e5 ee C1 C2 C3 C4 C5 Ce …
等待时间/min1 0 2 4 6 8 8 5 …
(3)根据上述两个表格，能否知道“新顾客”中，哪一位是第一位到达服务机构 而不需要排队的？
求出他的到达时间。
(4)在第一位不需要排队的顾客到达之前，该窗口已经服务了多少位顾客？为 这些顾客服务共
花费了多长时间？
(5)平均等待时间是一个重要的服务质量指标，为考察服务质量，问排队现象 消失之前，所有
顾客的平均等待时间有多少？
问题 4:在问题 3 的条件中，当服务机构的窗口开始工作时，如果已经有 10 位
顾客在等待(其他条件不变)，且当“新顾客” Cn 离去时，排队现象就此消失了， 即 Cn+1 为第
一位到达后不需要排队的“新顾客”，问：
(1)用关于 n 的代数式来表示，在第一位不需要排队的“新顾客” Cn+1 到达之前， 该窗口已经
服务了多少位顾客？为这些顾客服务共花费了多长时间？
(2)用关于 n 的代数式表示 Cn+1 的到达时间。
3）根据（ 1）和（ 2）得到的代数式以及它们的数量关系，求 n+1 的值。
问题 5： 某服务机构开设了一个窗口办理业务，并按照“先到达，先服务”的方
式服务。该窗口每 tomin 服务一位顾客，已知当窗口开绐工作时，已经有 m 位顾
客在等待，在窗口开始工作 tmin 后，又有一位“新顾客”到达，且预计以后每
t'omin 都有一位“新顾客”到达。令开始时 m 位等待的顾客为 e,e2,…,emm,后来
的顾客分别为 Cl,C 2, , , ,C no
假设某人到达的时刻为窗口开始办理业务后的第 timin,如果此时窗口正在
办理前面的业务， 他就需要排队等到可以为他办理业务的时刻为止。 设窗口可以
为他办理业务的时刻为 t 2 ，即他前面客户办好业务的时刻。
问：
（ 1）当他到达窗口后，需要排队， t 1 与 t 2 之间是什么关系？
（2）用代数式表示 Cn 到达的时刻 tl 和窗口可以为他办理业务的时刻 t2
（3）若出现了第一个不需要排队客户，则此时 ti 与 t2 有怎样的关系?
（4） 若 Cn 为第一个不需要排队的客户，求 n 的值；
指出 Cn 到达时，窗口已经开
始工作了多长时间？
（5） 在第一个不需要排队的客户后面的都不需要排队办理业务，也就是说排队现 象消失了，
你能说明原因吗？
(6)当 t t 0 时，排队现象不可能消失。服务机构要想使窗口开始办理业务后 一段时间，就能做到
客户不用排队，可以通过怎样的途径来实现， t ‘0 和 to 又要
满足怎样的关系？
问题 6:如若实际情形符合问题 5 的抽象和假设，怎样获得 to, m^ t,t'o 的数
值？
学后感悟 ：
作业 1： 各学习小组充分讨论，分工协作，选择一个“排队现象”进行调查，发
现问题设计一个解决方案。每个小组的“排队现象”调查不能一样，例如，甲组
选择的是医院挂号付费， 乙组选择银行办理业务， 丙组选择的是超市结算， 丁组
选择的是车站购票，戊组选择的是生产线原料加工等待， ……。学习委员负责协
调各学习小组的课题选择。
作业 2： 各学习小组将作业 1 编制成调查报告或小论文并组间交流。每个小组评
述其他小组的成果，并尽可能地提出可以作得更好的一些想法。
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