资料简介
二次函数（一）
知识考点：
掌握二次函数的图像和性质以及抛物线的平移规律；会确定抛物线的顶点坐标、对称轴及最值等。
精典例题：
【例 1】二次函数 cbxaxy 2 的图像如图所示，那么 abc 、 acb 42 、 ba 2 、 cba 24 这四个代数式
中，值为正的有（ ）
A、4 个 B、3 个 C、2 个 D、1 个
解析：∵
a
bx 2
＜1
∴ ba 2 ＞0
答案：A
评注：由抛物线开口方向判定 a 的符号，由对称轴的位置判 定b 的符号，由抛物线与 y
轴交点位置判定 c 的符号。由抛物线与 x 轴的交点个数判定 acb 42 的符号，若 x 轴标出了 1 和－1，则结合函数值可
判定 ba 2 、 cba 、 cba 的符号。
【例 2】已知 0 cba ， a ≠0，把抛物线 cbxaxy 2 向下平移 1 个单位，再向左平移 5 个单位所得到
的新抛物线的顶点是（－2，0），求原抛物线的解析式。
分析：①由 0 cba 可知：原抛物线的图像经过点（1，0）；②新抛物线向右平移 5 个单位，再向上平移 1
个单位即得原抛物线。
解：可设新抛物线的解析式为 2)2( xay ，则原抛物线的解析式为 1)52( 2 xay ，又易知原抛物线过
点（1，0）
∴ 1)521(0 2 a ，解得
4
1a
∴原抛物线的解析式为： 1)3(4
1 2 xy
评注：解这类题的关键是深刻理解平移前后两抛物线间的关系，以及所对应的解析式间的联系，并注意逆向思维
的应用。
另外，还可关注抛物线的顶点发生了怎样的移动，常见的几种变动方式有：①开口反向（或旋转 1800），此时顶
点坐标不变，只是 a 反号；②两抛物线关于 x 轴对称，此时顶点关于 x 轴对称， a 反号；③两抛物线关于 y 轴对称，
此时顶点关于 y 轴对称；
探索与创新：
【问题】已知，抛物线 22)1( ttxay （ a 、 t 是常数且不等于零）的顶点是 A，如图所示，抛物线
122 xxy 的顶点是 B。
（1）判断点 A 是否在抛物线 122 xxy 上，为什么？
（2）如果抛物线 22)1( ttxay 经过点 B，①求 a 的值；②这条抛物线与 x 轴的两个交点和它的顶点 A 能
否构成直角三角形？若能，求出它的值；若不能，请说明理由。
解析：（1）抛物线 22)1( ttxay 的顶点 A（ 1t ， 2t ） ， 而 1 tx 当 时 ，
222 )11()1(12 xxxxy ＝ 2t ，所以点 A 在抛 物线 122 xxy 上。
（2）①顶点 B（1，0）， 0)11( 22 tta ，∵ 0t ，∴ 1a ；②设抛物线 22)1( ttxay 与 x 轴
的另一交点为 C，∴B（1，0），C（ 12 t ，0），由抛物线的对称性可知，△ABC 为等腰直角三角形，过 A 作 AD
⊥ x 轴于 D，则 AD＝BD。当点 C 在点 B 的左边时， )1(12 tt ，解得 1t 或 0t （舍）；当点 C 在点 B 的右
边时， 1)1(2 tt ，解得 1t 或 0t （舍）。故 1t 。
评注：若抛物线的顶点与 x 轴两交点构成的三角形是直角三角形时，它必是等腰直角三角形，常用其“斜边上的
中线（高）等于斜边的一半”这一关系求解有关问题。
跟踪训练：
一、选择题：
1、二次函数 cbxaxy 2 的图像如图所示，OA＝OC，则下列结论：
① abc ＜0；
② 24 bac ；
③ 1 bac ；
④ 02 ba ；
⑤
a
cOBOA ；
⑥ 024 cba 。其中正确的有（ ）
A、2 个 B、3 个 C、4 个 D、5 个
2、二次函数 cbxxy 2 的图像向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，得到函数图像的解析式为 122 xxy ，
则b 与 c 分别等于（ ）
A、6、4 B、－8、14
C、4、6 D、－8、－14
3、如图，已知△ABC 中，BC＝8，BC 边上的高 4h ，D 为 BC上一点，EF∥BC交 AB 于 E，
交 AC 于 F（EF 不过 A、B），设 E 到 BC 的距离为 x ，△DEF 的面积为 y ，那么 y 关于 x 的函
数图像大致是（ ）
A B C D
4、若抛物线 2axy 与四条直线 1x ， 2x ， 1y ， 2y 围成的正方形有公共点，则 a 的取值范围是（ ）
A、
4
1 ≤ a ≤1 B、
2
1 ≤ a ≤2 C、
2
1 ≤ a ≤1 D、
4
1 ≤ a ≤2
5、如图，一次函数 bkxy 与二次函数 cbxaxy 2 的大致图像是（ ）
A B C D
二、填空题：
第 3 题图
FE
D CB
A
1、若抛物线 232)1( 2 mmxxmy 的最低点在 x 轴上，则 m 的值为 。
2、二次函数 54 2 mxxy ，当 2x 时，y 随 x 的增大而减小；当 2x 时，y 随 x 的增大而增大。则当 1x
时， y 的值是 。
3、已知二次函数的图像过点（0，3），图像向左平移 2 个单位后的对称轴是 y 轴，向下平移 1 个单位后与 x 轴只有一
个交点，则此二次函数的解析式为 。
4、已知抛物线 nmxxmy 4)2( 22 的对称轴是 2x ，且它的最高点在直线 12
1 xy 上，则它的顶点
为 ， n ＝ 。
三、解答题：
1、已知函数 mxmxy )2(2 的图像过点（－1，15），设其图像与 x 轴交于点 A、B，点 C 在图像上，且
1ABCS ，求点 C 的坐标。
2、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程。下面的二次函数图象
（部分）刻画了该公司年初以来累积利润 S（万元）与销售时间t （月）之间的关系（即前 t 个月的利润总和 S 与 t 之
间的关系）。根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润 S（万元）与时间t （月）之间的函数关系式；
（2）求截止到几月末公司累积利润可达到 30 万元；
（3）求第 8 个月公司所获利润是多少万元？
3、抛物线 2xy ， 2
2
1 xy 和直线 ax （ a ＞0）分别交于 A、B 两点，已知∠AOB＝900。
（1）求过原点 O，把△AOB 面积两等分的直线解析式；
（2）为使直线 bxy 2 与线段 AB 相交，那么b 值应是怎样的范围才适合？
4、如图，抛物线 taxaxy 42 与 x 轴的一个交点为 A（－1，0）。
（1）求抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标；
（2）D 是抛物线与 y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以 AB 为一底的梯形 ABCD 的面积为 9，求此抛物线的
解析式；
（3）E 是第二象限内到 x 轴、 y 轴的距离的比为 5∶2 的点，如果点 E 在（2）中的抛物线上，且它与点 A 在此抛
物线对称轴的同侧。问：在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使△APE 的周长最小？若存在，求出点 P 的坐标；若不
存在，请说明理由。
参考答案
一、选择题：BCDDC
二、填空题：
1、2；2、－7；3、 1)2(2
1 2 xy ；4、（2，2）， 2n ；
三、解答题：
1、C（ 23 ，1）或（ 23 ，1）、（3，－1）
2、（1） ttS 22
1 2 ；（2）10 月；（3）5.5 万元
3、（1） xy 4
2 ；（2）－3≤b ≤0
4、（1）B（－3，0）；（2） 342 xxy 或 342 xxy ；
（3）在抛物线的对称轴上存在点 P（－2，
2
1 ），使△APE 的周长最小。
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