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天天资源网 / 初中数学 / 一轮复习 / 中考数学:一轮考点复习 二次函数

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二次函数(一) 知识考点: 掌握二次函数的图像和性质以及抛物线的平移规律;会确定抛物线的顶点坐标、对称轴及最值等。 精典例题: 【例 1】二次函数 cbxaxy  2 的图像如图所示,那么 abc 、 acb 42  、 ba 2 、 cba  24 这四个代数式 中,值为正的有( ) A、4 个 B、3 个 C、2 个 D、1 个 解析:∵ a bx 2  <1 ∴ ba 2 >0 答案:A 评注:由抛物线开口方向判定 a 的符号,由对称轴的位置判 定b 的符号,由抛物线与 y 轴交点位置判定 c 的符号。由抛物线与 x 轴的交点个数判定 acb 42  的符号,若 x 轴标出了 1 和-1,则结合函数值可 判定 ba 2 、 cba  、 cba  的符号。 【例 2】已知 0 cba , a ≠0,把抛物线 cbxaxy  2 向下平移 1 个单位,再向左平移 5 个单位所得到 的新抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式。 分析:①由 0 cba 可知:原抛物线的图像经过点(1,0);②新抛物线向右平移 5 个单位,再向上平移 1 个单位即得原抛物线。 解:可设新抛物线的解析式为 2)2(  xay ,则原抛物线的解析式为 1)52( 2  xay ,又易知原抛物线过 点(1,0) ∴ 1)521(0 2  a ,解得 4 1a ∴原抛物线的解析式为: 1)3(4 1 2  xy 评注:解这类题的关键是深刻理解平移前后两抛物线间的关系,以及所对应的解析式间的联系,并注意逆向思维 的应用。 另外,还可关注抛物线的顶点发生了怎样的移动,常见的几种变动方式有:①开口反向(或旋转 1800),此时顶 点坐标不变,只是 a 反号;②两抛物线关于 x 轴对称,此时顶点关于 x 轴对称, a 反号;③两抛物线关于 y 轴对称, 此时顶点关于 y 轴对称; 探索与创新: 【问题】已知,抛物线 22)1( ttxay  ( a 、 t 是常数且不等于零)的顶点是 A,如图所示,抛物线 122  xxy 的顶点是 B。 (1)判断点 A 是否在抛物线 122  xxy 上,为什么? (2)如果抛物线 22)1( ttxay  经过点 B,①求 a 的值;②这条抛物线与 x 轴的两个交点和它的顶点 A 能 否构成直角三角形?若能,求出它的值;若不能,请说明理由。 解析:(1)抛物线 22)1( ttxay  的顶点 A( 1t , 2t ) , 而 1 tx 当 时 , 222 )11()1(12  xxxxy = 2t ,所以点 A 在抛 物线 122  xxy 上。 (2)①顶点 B(1,0), 0)11( 22  tta ,∵ 0t ,∴ 1a ;②设抛物线 22)1( ttxay  与 x 轴 的另一交点为 C,∴B(1,0),C( 12 t ,0),由抛物线的对称性可知,△ABC 为等腰直角三角形,过 A 作 AD ⊥ x 轴于 D,则 AD=BD。当点 C 在点 B 的左边时, )1(12  tt ,解得 1t 或 0t (舍);当点 C 在点 B 的右 边时, 1)1(2  tt ,解得 1t 或 0t (舍)。故 1t 。 评注:若抛物线的顶点与 x 轴两交点构成的三角形是直角三角形时,它必是等腰直角三角形,常用其“斜边上的 中线(高)等于斜边的一半”这一关系求解有关问题。 跟踪训练: 一、选择题: 1、二次函数 cbxaxy  2 的图像如图所示,OA=OC,则下列结论: ① abc <0; ② 24 bac  ; ③ 1 bac ; ④ 02  ba ; ⑤ a cOBOA  ; ⑥ 024  cba 。其中正确的有( ) A、2 个 B、3 个 C、4 个 D、5 个 2、二次函数 cbxxy  2 的图像向右平移 3 个单位,再向下平移 2 个单位,得到函数图像的解析式为 122  xxy , 则b 与 c 分别等于( ) A、6、4 B、-8、14 C、4、6 D、-8、-14 3、如图,已知△ABC 中,BC=8,BC 边上的高 4h ,D 为 BC上一点,EF∥BC交 AB 于 E, 交 AC 于 F(EF 不过 A、B),设 E 到 BC 的距离为 x ,△DEF 的面积为 y ,那么 y 关于 x 的函 数图像大致是( ) A B C D 4、若抛物线 2axy  与四条直线 1x , 2x , 1y , 2y 围成的正方形有公共点,则 a 的取值范围是( ) A、 4 1 ≤ a ≤1 B、 2 1 ≤ a ≤2 C、 2 1 ≤ a ≤1 D、 4 1 ≤ a ≤2 5、如图,一次函数 bkxy  与二次函数 cbxaxy  2 的大致图像是( ) A B C D 二、填空题: 第 3 题图 FE D CB A 1、若抛物线 232)1( 2  mmxxmy 的最低点在 x 轴上,则 m 的值为 。 2、二次函数 54 2  mxxy ,当 2x 时,y 随 x 的增大而减小;当 2x 时,y 随 x 的增大而增大。则当 1x 时, y 的值是 。 3、已知二次函数的图像过点(0,3),图像向左平移 2 个单位后的对称轴是 y 轴,向下平移 1 个单位后与 x 轴只有一 个交点,则此二次函数的解析式为 。 4、已知抛物线 nmxxmy  4)2( 22 的对称轴是 2x ,且它的最高点在直线 12 1  xy 上,则它的顶点 为 , n = 。 三、解答题: 1、已知函数 mxmxy  )2(2 的图像过点(-1,15),设其图像与 x 轴交于点 A、B,点 C 在图像上,且 1ABCS ,求点 C 的坐标。 2、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利的过程。下面的二次函数图象 (部分)刻画了该公司年初以来累积利润 S(万元)与销售时间t (月)之间的关系(即前 t 个月的利润总和 S 与 t 之 间的关系)。根据图象提供的信息,解答下列问题: (1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润 S(万元)与时间t (月)之间的函数关系式; (2)求截止到几月末公司累积利润可达到 30 万元; (3)求第 8 个月公司所获利润是多少万元? 3、抛物线 2xy  , 2 2 1 xy  和直线 ax  ( a >0)分别交于 A、B 两点,已知∠AOB=900。 (1)求过原点 O,把△AOB 面积两等分的直线解析式; (2)为使直线 bxy  2 与线段 AB 相交,那么b 值应是怎样的范围才适合? 4、如图,抛物线 taxaxy  42 与 x 轴的一个交点为 A(-1,0)。 (1)求抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标; (2)D 是抛物线与 y 轴的交点,C 是抛物线上的一点,且以 AB 为一底的梯形 ABCD 的面积为 9,求此抛物线的 解析式; (3)E 是第二象限内到 x 轴、 y 轴的距离的比为 5∶2 的点,如果点 E 在(2)中的抛物线上,且它与点 A 在此抛 物线对称轴的同侧。问:在抛物线的对称轴上是否存在点 P,使△APE 的周长最小?若存在,求出点 P 的坐标;若不 存在,请说明理由。 参考答案 一、选择题:BCDDC 二、填空题: 1、2;2、-7;3、 1)2(2 1 2  xy ;4、(2,2), 2n ; 三、解答题: 1、C( 23  ,1)或( 23  ,1)、(3,-1) 2、(1) ttS 22 1 2  ;(2)10 月;(3)5.5 万元 3、(1) xy 4 2 ;(2)-3≤b ≤0 4、(1)B(-3,0);(2) 342  xxy 或 342  xxy ; (3)在抛物线的对称轴上存在点 P(-2, 2 1 ),使△APE 的周长最小。 查看更多

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